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1、数学问题解答 2002年1月号问题解答 解答由问题提供人给出 1351 求证20022000 1为合数 山东聊城三中 王章琪 252000 证明 因为 20022000 2002400 5 设x 2002400 所以 20022000 1 x5 1 x5 x4 x3 x2 x 1 x4 x3 x2 x x 1 x 5 x4 x3 x2 x 1 x 1 x 4 x3 x2 x x6 1 x 1 x4 x3 x2 x x 3 1 x 3 1 x 1 x4 x3 x2 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x x2 1 x 1 x
2、 4 x3 x2 x 1 2002400 1 20021600 20021200 2002800 2002400 1 所以 20022000 1可被2002400 1 20021600 20021200 2002800 2002400 1整除 又因为 2002400 1 1 20021600 20021200 2002800 2002400 1 1 所以20022000 1为合数 1352 如图示 在直径 为AB的半圆中 半径 CO AB交AB于O 以 OC为直径作 O1 AE 切 O1于E 交半圆于 F 交OC延长线于D BF交OD于M 交CE于 N 求证 EN NC 四川内江市中区永安镇初
3、中 邱力争 641101 证明 连结O1E 设半圆半径为R 则 O1 的半径为 R 2 因为 AE切 O1于E 则 O1ED 90 因为 DO AB 所以 DO1E DAO 所以 O1E OA DE DO 因为 O1E R 2 OA R 所以 2DE DO 因为 AE AO都是 O1的切线 所以 OA AE R 在 DOA中由勾股定理得 AD2 AO2 DO2 即 R ED 2 R2 2 ED 2 所以 ED 2 3 R OD 4 3 R 因为 AB是半圆的直径 所以 AFB 90 且 BOM 90 OMB A 所以 DAO BMO 所以 AO OM DO OB 所以 OM DO R2 故OM
4、 3 4 R 因为 O1是 O1的圆心 所以 OO1 O1C R 2 所以O1M MC 因为 O1E AD BF AD 所以 O1E MF 所以 NE NC 1353 已知 点E D1 D2在 ABC AB AC 的 边BC上 BAD1 CAD2 EF1 AD1交AB于F1 又与CA的延长线交于 G1 EF2 AD2交AB于 F2 又与CA的延长线交于G2 求证 BE2 CE2 BF1 BF2 CG1 CG2 北京市朝阳区教研中心 郭璋 100028 证明 因为 EG1 AD1 所以 AF1G1 BAD1 842002年 第2期 数学通报 因为 EG2 AD2 所以 AG2F2 CAD2 因为
5、 BAD1 CAD2 所以 AF1G1 AG2F2 又 G2AF2为 F1AG1和 G2AF2的公共 角 所以 F1AG1 G2AF2 AF1 AG2 AG1 AF2 AF1 AF2 AG1 AG2 1 ABC被直线EG1所截 由梅涅劳斯定理得 BE EC CG1 G1A AF1 F1B 1 2 ABC被直线EG2所截 同理可得 BE EC CG2 G2A AF2 F2B 1 3 2 3 得 BE2 CE2 CG1 CG2 BF1 BF2 AF1 AF2 AG1 AG2 1 由 1 得 BE2 CE2 CG1 CG2 BF1 BF2 1 即 BE2 CE2 BF1 BF2 CG1 CG2 说明
6、 1 点E为直线BC上除C点以外任意 一点结论都成立 2 AD 1和AD2为 ABC的 BAC的外等角 线结论成立 3 还可以利用等角线的性质定理证明此题 AB2 AC2 BD1 BD2 CD1 CD2 1354 有 一 条 宽 为 10km的东西流向的河 一只船从南岸A点出 发 在垂直于北岸的方 向上以10km h的速度 行驶 同时河水向东流 流速是 1 2 d h d是水与 岸边的距离 求 1 船到达北岸的位置 2 船实际航行的轨迹 江苏泰州市寺巷中学 张金仁 225316 解 1 A 点的正对岸为B点 船到达北岸的 位置为D点 如图 建立直角坐标系 设经过时间 t小时 船的位置为P x
7、y 则 y 10 t 0 t 1 1 船与岸边的距离 d 10t 0 t 1 2 10 10t 1 2 t 1 相应的水的流速大小 V1k 5t 0 t 1 2 5 5t 1 2 t 1 根据位移公式 当0 t 1 2 时x 1 2 5 t2 2 当 1 2 t 1时 x 5 8 5 2 t 1 2 1 2 5 t 1 2 2 5 2 t 1 2 5 4 3 所以 当t 1时 x 5 4 所以船到达北岸D的位置满足BD 5 4 km 2 当0 t 1 2 时 x 5 2 t2 y 10t 消t得 y2 40 x 0 y 5 当 1 2 t 1时 x 5 2 t 1 2 5 4 y 10t 消t
8、得 y 10 2 40 5 4 x 5 y 10 所以 船实际航行的轨迹是两段抛物线 y2 40 x 0 y 5 和 y 10 2 40 5 4 x 5 y 10 1355 已知a b c是三角形的三边的长 求证 a2b b2c c2a 1 12 a b c 3 3 4 b c a c a b a b c 1 等号当且仅当a b c时成立 江西宁都县固厚中学 张树生 342814 证明 记p a b c 则 pa c a b 2a2 c a b a p 2a c a b a b c a c a b 2 同理pb a b c 2b2 a b c b c a b a b c 3 pc b c a
9、2c2 b c a c b c a a b c 4 2 3 4 得 p a c a b b a b c c b c a 2 a2 c a b b2 a b c c2 b c a a b c a c a b b c a b a b c c a b c b c a 5 上式的左边 p a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 a b c 2 a 2 b b2c c2a 4 a 2 b b2c c2a a2 b2 c2 a b c 熟知 abc b c a c a b a b c 故 5 的右边 3 3 abc b c a 2 c a b 2 a b c 2 3 b c a c a b a b c 所
10、以 4 a 2 b b2c c2 a a 2 b2 c2 a b c 3 b c a c a b a b c 熟知 a2 b2 c2 1 3 a b c 2 所以 a2b b2c c2a 1 12 a b c 3 3 4 b c a c a b a b c 从上述过程易知 1 中等号当且仅当a b c时成立 2002年2月号问题 来稿请注明出处 编者 1356 正 ABC的内切圆圆心为I 半径为r 在 I内任取一点P 设P点到BC CA AB的距离分 别为r1 r2 r3 求证 以r1 r2 r3为边可以构 成一个三角形 且其面积为 3 4 r2 PI2 山东枣庄市立新学校 孔令恩 27710
11、1 1357 ABC的内切圆 O切AB于D S ABC AD DB的充分必要条件是 C 90 安 徽 省 潜 山 县 源 潭 中 学 琚 国 起 246314 1358 设 函 数 f x 满 足 f x f y f x y 1 xy 且存在反函数 则 1 f x 的定义域为 1 1 2 若在某区间 a b 内f 1 x 0 0 a b 则函数f 1 x 是单调递增函数 山东单县二中 齐行超 274300 1359 若0 ai 1 i 1 2 n n N n 2 则 n i 1 ai n 1 n i 1 1 ai n 1 1 当且仅当a1 a2 an中至少有n 1个数取 1时等号成立 甘肃徽县
12、一中 李宗奇 742300 1360 数列 an 满足a1 1 an 1 an 1 an 其中 an 表示不超过an的最大整数 求 an 的 通项公式 四 川 省 篷 安 县 周 口 中 学 蒋 明 斌 638250 数学通报 月刊 2002年第2期 电话62207753 62207741 传真62207753 网址 http www shuxuetongbao com E mail shxtb bnu edu cn 主 编 刘绍学 本期责任编辑 刘庆生 编辑出版 数 学 通 报 编 辑 委 员 会 地址邮编 北 京 师 范 大 学 1 0 0 8 7 5 印刷 河 北 徐 水 县 印 刷 厂 发行 北京报刊发行局 订购 全国各地邮电局 刊号 ISSN 0583 1458 CN11 2254 01 代号 2 501 2002年2月28日出版 定价 3150元
