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1、数学问题解答 2001年3月号问题解答 解答由问题提供人给出 1301 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F G 分别是棱AB CC1 D1A1的中 点 如图 若AB 1 1 证 明B1D 平 面 EFG 2 求平面EFG与平面 ABCD所成的锐二面角 3 求A1到平面EFG的距离 湖 北 天 门 市 皂 市 高 级 中 学 李 德 钦 431703 解 1 连DE与B1E 依题意 DE B1E 5 2 则E在线段B1D的中垂面上 同理 F G也在B1D的中 垂面上 而E F G不在同一直线 上 它们确定的平面是唯一 的 所以B1D 平面EFG 2 由B1D 平面EFG 则平面BB1D
2、1D 平面EFG 且平面BB1D1D 平面ABCD 取A1B1中点M 连GM与ME 则 GM B1D1 ME BB1 则平 面EMG 平面BB1D1D 平面EMG 平面EFG 平面EMG 平面 ABCD 则 EGM为平面EFG与平面A1B1C1D1所 成锐二面角的平面角 tg EGM EM GM 1 2 2 2 则平面EFG与平面ABCD所成角为arctg 2 3 过M作EG的垂线交EG于N 则由平面 EMG 平面EFG于EG 则MN 平面EFG 在 Rt EMG中 MN ME MG ME2 MG2 3 3 连A1C1交MG于P 则A1P MG 且MP PG A1P 平面EFG A1到平面EF
3、G的距离为 3 6 1302 正方形ABCD的边BC CD上各有一点M N 满足 MAN 45 求证 BM DN BC2 BC MN 福建厦门市九中 陈四川 361004 证明 作 AMN的三 条高AG ME NF AG ME NF共点于P 延长CB到Q 使DN BQ 连结AQ ADN ABQ AN AQ 1 2 又 1 3 90 MAN 45 2 3 QAM 45 MAN AM为 公 共 边 AMQ AMN AB AB1 BC Rt AMB Rt AMG BM MG BQ GN ND ANF 90 NAF 45 NAF AF NF 又 4 AMN 90 5 AMN 90 4 5 Rt AFP
4、 Rt NFM AP MN 又 NPG AMG PG NG MG AG MG GN AG PG AG AG AP BM DN BC2 BC MN 1303 ABC中 BC a CA b AB c D E F分别是三条边BC CA AB上的点 求证 DE EF FD acosA bcosB ccosC 浙江衢州市教研室 李世杰 324002 证 记AF x BD y CE z 则BF c x CD a y AE b z根 据余弦定理 在 AEF中 EF2 x2 b z 2 2x b z cosA x2 b z 2 2x b z cos B C xcosC b z cosB 2 xsinC b z
5、 sinB 2 xcosC b z cosB 2 EF xcosC b z cosB 1 同理 DF ycosA c x cosC 2 DE zcosB a y cosA 3 1 2 3 即可得 DE EF FD acosA bcosB ccosC 1304 x y z 0 2 求证 842001年 第4期 数学通报 cos y z cos z x cos x y sin2xsin2ysin2z 江西永修县一中 宋庆 330304 证明 cos2 y z cosycosz sinzsin y 2 cos2ycos2z sin2zsin2y 2cosycoszsinysinz 4cosycosz
6、sinysinz sin2ysin2z 且sin2ysin2z 0 cos y z 0 cos y z sin2ysin2z 同理可得cos z x sin2zsin2x cos x y sin2xsin2y 以上三式相乘 即得 cos y z cos z x cos x y sin2xsin2ysin2z 1305 设a b c m n R 求证 a mb nc b mc na c ma nb 3 m n 1 江苏吴县市外贸公司 褚小光 215128 证明 令x mb nc y mc na z ma nb 则由x y z的表达式易求得 a m3 n3 n2y m2z mnx b m3 n3
7、n2z m2x mny c m3 n3 n2x m2y mnz 那么 1 式左边经代换等于 1 左边 1 m3 n3 n2y m2z mnx x n2z m2x mny y n2x m2y mnz z 1 m3 n3 n2 y x z y x z m2 z x x y y z 3mn 而 y x z y x z 3 z x x y y z 3 x y z R 所以 1 左边 1 m3 n3 3n2 3m2 3 mn 3 m n 从而 1 式成立 命题得证 2001年4月号问题 来稿请注明出处 编者 1306 ABC中 ABC 70 ACB 30 P 为形内一点 PBC 40 PCB 20 求证
8、 CA AB BP AP PC CB 1 黑龙江绥化教育学院 田永海 152054 1307 设a1 a2 a3 a4 a5 N a5 a4 a3 a2 a1 p1 a2 a3 a4 a5 p 2 a1 a3 a4 a5 p3 a1 a2 a4 a5 p 4 a1 a2 a3 a5 p5 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 a5 1 其中p1 p2 p3 p4 p5是互异的素数 1 证明 存在无穷多组数a1 a2 a3 a4 a5 满足题目条件 2 求合于题设条件的a5的最小值 湖南吉首大学数学与计算机科学系 彭明 海 416000 1308 已知递推式 3an an 1 an 1 2an an 1 n N a0 1 a1 16 1 求证 an可被2 n 整除 2 求证 a2000能被101000整除 江 苏 省 江 都 市 滨 湖 中 学 王 庆 国 225268 1309 已知a1 a2 an b1 b2 bn 1 2 且 n i 1 ai n i 1 bi 求证 n i 1 a2i bi 3 2 n i 1 ai 广东省中山市中山纪念中学 吴新华 528454 1310 设a b c R 且abc 1 n N 证明 an 1 1 bn bn 1 1 cn cn 1 1 an 1 陕西武功县绿野中学 贺中杰 712203
