《高中数学备课参考数学通报问题解答0006pdf.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学备课参考数学通报问题解答0006pdf.pdf（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学问题解答 2000年5月号问题解答 解答由问题提供人给出 1251 设数列 an 满足 a1 1 且 an 1 1 2 an 4 9an 1 求证对任何n N 数4 9an2 8恒为自 然数 命题背景 本题由1991年全苏数学冬令营的 一道试题改编而成 证 只须用数学归纳法证明 在所述题设 下 4 9an2 8和24an 9 an2 8 均为自然数 1 n 1时 结论显然成立 2 设当n k k N 时结论成立 即 4 9ak2 8和24ak 9 ak2 8 均为自然数 则 当n k 1时 24ak 1 9 a2k 1 8 24 1 2 ak 4 9ak 3 2 ak 4 3ak 2 8
2、24 1 2 ak 4 9ak 3ak 2 4 3ak 2 48ak 9 ak2 8 9 ak2 8 2 24ak 9 ak2 8 2 1 16 9 ak2 8 由归纳假设 24ak 9 ak2 8 和16 9 ak2 8 均为自然数 故24ak 1 9 a2k 1 8 为自然数 又易知an 22 3 故 4 9a2k 1 8 4 9 1 2 ak 4 9ak 2 8 4 3a k 2 4 3ak 2 4 3a k 2 4 3ak 24ak 9a2k 8 24ak 9 a2k 8 故由归纳假设知4 9a2k 1 8亦为自然 数 故当n k 1时结论仍成立 由1 和2 知对任何n N 结论成立
3、1252 设a b c是周长为1的三角形的三条边长 试证 a2b b2c c2a 1 8 证 由条件a b c 1易知a b c a b c 2 0 2 a2b b2c c2a 2 a2b b2c c2a a b c a b c 2 2 a2b b2c c2a a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a a2 b b2 c c2 2 ab 2a2b 2 bc 2b2c 2 ca 2c2a a 1 a b 1 b c 1 c 2ab 1 a 2bc 1 b 2ca 1 c a 1 a 1 2b b 1 b 1 2c c 1 c 1 2a a 1 a a b c 2b b 1 b a
4、 b c 2c c 1 c a b c 2a a 1 a a c b b 1 b a b c c 1 c b c a 由题设条件及算术 几何平均值不等式得 a 1 a a c b 1 4 a c b b 1 b a b c 1 4 a b c c 1 c b c a 1 4 b c a a b c 1 上面三式不能全取等号 式 1 4 a c b 1 4 a b c 1 4 b c a 1 4 a b c 1 4 即 2 a2b b2c c2a 1 4 a2b b2c c2a 1 8 1253 设四面体A1A2A3A4的外接球与内切球的 半径分别为R与r 则R 3r 证明 记四面体A1A2A3
5、A4的外接球球心为 O Ai对面三角形的面积为Si 1 i 4 球心O 到Ai对面的距离为ri 1 i 4 四面体体积为 842000年 第6期 数学通报 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved V 过顶点A1的高A1H h1 如图所示 易知r1 oA1 r1 R h1 1 3 S1 r1 R 1 3 S1h1 V 即 1 3 S1r1 1 3 S1R V 同理得 1 3 S2r2 1 3 S2R V 1 3 S3r3 1 3 S3R V 1 3 S4r4 1 3 S4R
6、V 将 并注意到 1 3 S1r1 S2r2 S3r3 S4r4 V得 V R 3 4 i 1 Si 4V 即R 4 i 1 Si 9V V r 3 4 i 1 Si R 4 i 1 Si 3r 4 i 1 Si 即R 3r 1254 设ma mb mc分别是 A B C的三边a b c 上的中线 且a b a c 求证 mb mc 2ma 1 2 2 a b c 1 证 先证mb ma 1 2 a b 2 a b mb ma 由三角形中线公式 mb ma 1 2 a b 1 2 2c2 2a2 b2 2b2 2c2 a2 1 2 a b 4c2 a2 b2 2 2 c2 2a2 b2 2 b
7、2 2c2 a2 a2 b2 2ab 2c2 ab 2 c2 2a2 b2 2 b2 2c2 a2 2 c2 ab 2 2 c2 2a2 b2 2 b2 2c2 a2 a4 b4 2a2b2 b2c2 c2a2 2abc2 0 a2 b2 2 c2 a b 2 0 a b 2 a b c a b c 0 由此 2 式成立 同理可证 mc ma 1 2 a c 3 2 3 知 1 成立 1255 四面体A B CD三组对棱分别为a a b b c c 这三组对棱距离为d1 d2 d3 这三组对棱 中点距离为m1 m2 m3 外接球半径为R 内切球 半径为r 试证 3 i 1 mi d i 2 4
8、 R 2 r 27 证明 分别记A B CD A C BD A D B C分 别为a a b b c c 若取A B CD的中点E F 在 A CD B CD A B F中 由中线长公式 有 A F 2 1 4 2 b2 c2 a 2 B F 2 1 4 2 b 2 c 2 a 2 EF 2 1 4 2 A F 2 B F 2 a2 由 此求得 m 2 1 EF 2 1 4 b2 b 2 c2 c 2 a2 a 2 对 两边取 可见 3 i 1 m 2 i 1 4 a2 a 2 b2 b 2 c2 c 2 由本栏1054题之解答 知 16 4 i 1 S 2 i 4a 2a 2 b2 b 2
9、c2 c 2 2 4b2b 2 a2 a 2 c2 c 2 2 4c2c 2 a2 a 2 b2 b 2 2 若记a a b b c c 夹角为 1 2 3 有 aa d1sin 1 bb d2sin 2 cc d3sin 3 6V 见本栏1010题之解答 由此结合对棱夹角 公式cos 1 b2 b 2 c2 c 2 2 aa 可见 6 V 2 3 i 1 d 2 i aa 2sin2 1 bb 2sin2 2 cc 2sin2 3 1 4 4a2 a 2 b2 b 2 c2 c 2 2 4b2b 2 a2 a 2 c2 c 2 2 4c2c 2 a2 a 2 b2 b 2 2 若记四面体各高
10、为hi 1 i 4 由 可 见 3 i 1 1 d 2 i 1 3 V 2 4 i 1 S 2 i 4 i 1 1 h2i 由本栏975题之解答 可见 下转第40页 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 组 将表2数据代入 3 15 31 7 得 a 51909090909 b 11950086435 a 71784615385 b 2152642192 3 1 8 解 3 1 8 有 a 01134264343 b 01307292969 3 1 9 于是 ea 111
11、43695108 b 01307292969 3 1 10 t 11143695108 e01307292969 n 3 1 11 3 1 11 就是所求地球温室效应的指数函数型数 学模型 以 3 1 11 进行预报 即已知t求n 算式为 n ln t 11143695108 01307292969 3 1 12 N 1870 10 n 3 1 13 以地球气温比1860年上升5 6 7 为 例 即以t分别用500 600 700代入 3 112 再由 3 1 13 可算得 N 5 2060 年 N 6 2073 年 N 7 2078 年 以上数据表明 按目前人类活动趋势 到21 世纪50年代
12、以后 地球大气气温将有较大的上 升 比1860年将高出5 以上 这意味着地球的 南北极冰雪将融化 喜马拉雅山山顶及世界各国 高山山顶的终年积雪将消失 换来的是整个地球 海平面将有极大的上升 海洋中许多岛屿将被吞 没于海水之中 据推测英国三岛也将位于海平面 之下 到那时将是一种什么情景 因此 人类为了 全球的共同利益 从现在起必须齐心协力 系手合 作 采取有效措施 防止悲剧发生 4 结束语 数学建模在实际应用中 占有一定比重 用初 等方法来探讨解决实际应用问题是许多数学工作 者和其他学科工作者近年来感兴趣的课题 人们 总是希望方法尽可能初等些 而解决的问题相对 的说并不初等 以上一点不成熟的探讨
13、 仅供参 考 实为抛砖引玉 相信有许多看来复杂的实际问 题 经过人们刻苦研究 会给出一些十分有用的精 彩结果 使我们初等数学模型探讨工作得到进一 步发展 参考文献 11 姜启源编 数学模型 北京 高等教育出版社 1993 21David Burghes M athematicalM odelling 中译本 数学建模 D1 佰格斯著 叶其孝 吴庆保译 北京 北京图书出版公司北京公司 1997 31 葛福生编 数值计算方法 南京 河海大学出版社 1996 41 邓成梁编 运筹学的原理和方法 武汉 华中理工大学出版社 1998 上接封三 16R 2 a2 a 2 b2 b 2 c2 c 2 9 4
14、 4 i 1 h2i 9 h1h2h3h4 1 2 则应用 可知 3 i 1 mi di 2 3 i 1 m 2 i 3 i 1 1 d 2 i 1 4 a2 a 2 b2 b 2 c2 c 2 4 i 1 1 h2i 4R 2 4 i 1 1 hi 2 2 1 i j 4 1 hihj 4R 2 4 i 1 1 hi 2 12 h1h2h3h4 1 2 4R 2 4 i 1 1 hi 2 12 16 R 2 9 4R 2 1 r 2 27 4 R 2 4 R r 2 27 2000年6月号问题 来稿请注明出处 1256 求77 7 n个7 n 3 的末四位数 徐道提供 1257 已知a b
15、c为正数 求证 b c a a c b a b c 32 宋庆提供 1258 C是以A B为直径的半圆上一点 A C B C D在B C上 BD A C F是A C上的一点 B F交A D于E 且 B ED 45 求证 A F CD 陈开龙提供 1259 已知 A B C边a b上的旁切圆半径为ra rb C边上的高 角平分线分别为hc wc 求证 ra rb 2hc 4wc 阙浩涛提供 1260 设二次曲线 的内接六边形的三组对边 都不平行 则三组对边所在直线的交点共线 邹明提供 042000年 第6期 数学通报 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved
