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1、三角函数的图象与性质要点梳理1 五点法 作图原理 在确定正弦函数y sinx在 0 2 上的图象形状时 起关键作用的五个点是 余弦函数呢 0 0 基础知识自主学习 2 三角函数的图象和性质 函 数 性 质 1 1 1 1 R R k Z 奇 奇 偶 3 一般地对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 把所有周期中存在的最小正数 叫做最小正周期 函数的周期一般指最小正周期 函数y Asin x 或y Acos x 0且为常数 的周期函数y Atan x 0 的周期 基础自测1 函数
2、y 1 2sinxcosx的最小正周期为 解析 B 2 设点P是函数f x sinx 0 的图象C的一个对称中心 若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则f x 的最小正周期是 解析由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的故f x 的最小正周期为T B 3 函数y sin的图象 A 关于点对称B 关于直线对称C 关于点对称D 关于直线对称解析验证法 A 4 在下列函数中 同时满足以下三个条件的是 在上递减 以为周期 是奇函数 A y tanxB y cosxC y sinxD y sinxcosx解析y tanx的周期为 故A错 y cosx为偶函数 故B错 y sinx
3、cosx sin2x的周期为 故D错 y sinx的周期为2 是奇函数 由图象知在上是递减函数 故C正确 C 5 2009 四川文 4 已知函数f x sin x R 下面结论错误的是 A 函数f x 的最小正周期为2B 函数f x 在区间上是增函数C 函数f x 的图象关于直线x 0对称D 函数f x 是奇函数解析A正确 由图象知y cosx关于直线x 0对称 C正确 y cosx是偶函数 D错误 D 题型一与三角函数有关的函数定义域求下列函数的定义域 1 y lgsin cosx 2 y 本题求函数的定义域 1 需注意对数的真数大于零 然后利用弦函数的图象求解 2 需注意偶次根式的被开方数
4、大于或等于零 然后利用函数的图象或三角函数线求解 解 1 要使函数有意义 必须使sin cosx 0 1 cosx 1 0 cosx 1 题型分类深度剖析 方法一利用余弦函数的简图得知定义域为方法二利用单位圆中的余弦线OM 依题意知0 OM 1 OM只能在x轴的正半轴上 其定义域为 2 要使函数有意义 必须使sinx cosx 0 方法一利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为再结合正弦 余弦函数的周期是2 所以定义域为 方法二利用三角函数线 如图MN为正弦线 OM为余弦线 要使sinx cosx 即MN
5、OM 方法三 1 对于含有三角函数式的 复合 函数的定义域 仍然是使解析式有意义即可 2 求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式 或等式 3 求三角函数的定义域经常借助两个工具 即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象 有时也利用数轴 知能迁移1求下列函数的定义域 解 1 要使函数有意义 必须有 可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集 如图所示 题型二三角函数的单调性与周期性 1 化为再求单调区间 2 先化为 再求单调区间 解 1 求形如y Asin x 或y Acos x 其中A 0 0 的函数的单调区间 可以利用解不等式的方法去解答 列不等式的原则是 把 x 0 视为一个 整
6、体 A 0 A 0 时 所列不等式的方向与y sinx x R y cosx x R 的单调区间对应的不等式方向相同 反 2 对于y Atan x A 为常数 其周期单调区间利用解出x的取值范围 即为其单调区间 对于复合函数y f v v x 其单调性判定方法是 若y f v 和v x 同为增 减 函数时 y f x 为增函数 若y f v 和v x 一增一减时 y f x 为减函数 知能迁移2求函数的单调区间 解方法一 方法二 题型三三角函数的对称性与奇偶性已知f x sinx cosx x R 函数y f x 的图象关于直线x 0对称 则的值可以是 先求出f x 的函数表达式 f x 关于
7、x 0对称 即f x 为偶函数 解析 答案D f x Asin x 若为偶函数 则当x 0时 f x 取得最大值或最小值 若f x Asin x 为奇函数 则当x 0时 f x 0 如果求f x 的对称轴 只需令x 求x 如果求f x 的对称中心的横坐标 只需令x k即可 知能迁移3使奇函数f x sin 2x cos 2x 在上为减函数的的值为 解析 D 题型四三角函数的值域及最值 12分 已知函数f x 2asin的定义域为函数的最大值为1 最小值为 5 求a和b的值 求出2x 的范围 a 0时 利用最值求a b a 0时 利用最值求a b 解 3分 7分 11分 12分 解题示范 解决此
8、类问题 首先利用正弦函数 余弦函数的有界性或单调性求出y Asin x 或y Acos x 的最值 再由方程的思想解决问题 知能迁移4 2009 江西理 4 若函数f x 1 tanx cosx 0 x 则f x 的最大值为 A 1B 2C D 解析 B 方法与技巧1 利用函数的有界性 1 sinx 1 1 cosx 1 求三角函数的值域 最值 2 利用函数的单调性求函数的值域或最值 3 利用换元法求复合函数的单调区间 要注意x系数的正负号 4 正余弦函数的线性关系式都可以转化为f x asinx bcosx 特别注意把 思想方法感悟提高 5 注意sinx cosx与cosxsinx的联系 令
9、t sinx cosx t 时 失误与防范1 闭区间上最值或值域问题 首先要在定义域的基础上分析单调性 含参数的最值问题 要讨论参数对最值的影响 2 求三角函数的单调区间时 应先把函数式化成形如y Asin x 0 的形式 再根据基本三角函数的单调区间 求出x所在的区间 应特别注意 考虑问题应在函数的定义域内考虑 注意区分下列两题的单调增区间不同 3 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性 如 y sin2x 4sinx 5 令t sinx t 1 则y t 2 2 1 1 解法错误 一 选择题1 2009 福建理 1 函数f x sinxcosx的最小值是 解析 f x sinxcos
10、x B 定时检测 2 2009 全国 理 8 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 那么 的最小值为 解析由y 3cos 2x 的图象关于点 A 3 已知函数在区间 0 t 上至少取得2次最大值 则正整数t的最小值是 A 6B 7C 8D 9解析 C 4 已知在函数f x 图象上 相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2 y2 R2上 则f x 的最小正周期为 A 1B 2C 3D 4解析 x2 y2 R2 x R R 函数f x 的最小正周期为2R D 5 2009 浙江理 8 已知a是实数 则函数f x 1 asinax的图象不可能是 解析图A中函数的最大值小于2 故0 a
11、1 而其周期大于2 故A中图象可以是函数f x 的图象 图B中 函数的最大值大于2 故a应大于1 其周期小于2 故B中图象可以是函数f x 的图象 当a 0时 f x 1 此时对应C中图象 对于D可以看出其最大值大于2 其周期应小于2 而图象中的周期大于2 故D中图象不可能为函数f x 的图象 答案D 6 给出下列命题 函数是奇函数 存在实数 使得 其中正确的序号为 A B C D 解析 是奇函数 答案C 二 填空题7 解析 答案 8 2008 辽宁理 16 已知f x 且f x 在区间上有最小值 无最大值 则 解析如图所示 答案 9 关于函数f x 4sin x R 有下列命题 由f x1
12、f x2 0可得x1 x2必是的整数倍 y f x 的表达式可改写为 y f x 的图象关于点对称 y f x 的图象关于直线对称 其中正确的命题的序号是 把你认为正确的命题序号都填上 解析函数f x 的最小正周期T 由相邻两个零点的横坐标间的距离是知 错 答案 三 解答题10 设函数f x sin 2x 0 y f x 图象的一条对称轴是直线 1 求 2 求函数y f x 的单调增区间 解 11 2008 天津文 17 已知函数f x 2cos2 x 2sin xcos x 1 x R 0 的最小正周期是 1 求 的值 2 求函数f x 的最大值 并且求使f x 取得最大值的x的集合 解 12 设函数f x cos x sin x cos x 其中0 2 1 若f x 的周期为 求当f x 的值域 2 若函数f x 的图象的一条对称轴为求 的值 解
