《高中数学3.3.1《利用导数判断函数的单调性》课件新人教B选修.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学3.3.1《利用导数判断函数的单调性》课件新人教B选修.ppt（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3 1利用导数判断函数的单调性 4 对数函数的导数 5 指数函数的导数 3 三角函数 1 常函数 C 0 c为常数 2 幂函数 xn nxn 1 一复习回顾 1 基本初等函数的导数公式 2 导数的运算法则 1 函数的和或差的导数 u v u v 3 函数的商的导数 v 0 2 函数的积的导数 uv u v v u 函数y f x 在给定区间G上 当x1 x2 G且x1 x2时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在G上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在G上是减函数 若f x 在G上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在G上具有严
2、格的单调性 G称为单调区间 G a b 二 复习引入 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 函数的单调性是对某个区间而言的 它是个局部概念 这个区间是定义域的子集 3 单调区间 针对自变量x而言的 若函数在此区间上是增函数 则为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数 则为单调递减区间 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 f x2 与的大小 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 三 新课讲解 我们已经知道 曲线y f x 的切线的斜率就是函数y f x 的导数 从函数y x
3、2 4x 3的图像可以看到 在区间 2 内 切线的斜率为正 函数y f x 的值随着x的增大而增大 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为增函数 在区间 2 内 切线的斜率为负 函数y f x 的值随着x的增大而减小 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为减函数 f x 0 f x 0 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间 a b 内有导数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 由上我们可得以下的结论 如果在某个区间内恒有 则为常数 例1 确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函
4、数 哪个区间内是减函数 解 由2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是减函数 例2 讨论f x x3 6x2 9x 3的单调性 解 f x 3x2 12x 9 令3x2 12x 9 0 解得x 3或x 1 因此 当或时 f x 是增函数 令3x2 12x 9 0 解得1 x 3 因此 当时 f x 是减函数 故f x 在 1 和 3 内是增函数 在 1 3 内是减函数 而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的 一 利用导数讨论函数单调性的步骤 1 求导数 2 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x
5、的单调递减区间 练习1 求函数y 2x3 3x2 12x 1的单调区间 答案 递增区间是和 递减区间是 2 1 四 综合应用 例1 确定下列函数的单调区间 1 f x x 2 sinx 解 1 函数的定义域是R 令 解得 令 解得 因此 f x 的递增区间是 递减区间是 解 函数的定义域是 1 2 f x x 2 ln 1 x 1 由即得x1 注意到函数的定义域是 1 故f x 的递增区间是 1 由解得 1 x 1 故f x 的递减区间是 1 1 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的
6、交集 练习1 确定函数的单调区间 解 令注意到故f x 的递增区间是 0 100 同理由得x 100 故f x 的递减区间是 100 说明 1 由于f x 在x 0处连续 所以递增区间可以扩大到 0 100 或 0 100 2 虽然在x 100处导数为零 但在写单调区间时 都可以把100包含在内 例2 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 若a 0 则 易知此时f x 恰有三个单调区间 故a 0 其单调区间是 单调递增区间 单调递减区间 和 五
7、 小结 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点 3 注意在某一区间内 0只是函数f x 在该区间上为增 减 函数的充分不必要条件 6 利用导数的符号来判断函数的单调区间 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用 它充分体现了数形结合的思想 5 若函数f x 在开区间 a b 上具有单调性 则当函数f x 时在闭区间 a b 上连续 那么单调区间可以扩大到闭区间 a b 上 4 利用求导的方法可以证明不等式 首先要根据题意构造函数 再判断所设函数的单调性 利用单调性的定义 证明要证的不等式 当函数的单调区间与函数的定义域相同时 我们也可用求导的方法求函数的值域
