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1、2 3抛物线 1 知识与技能通过本节学习 了解抛物线的定义 标准方程 能根据条件确定抛物线的标准方程 并注意标准方程的形式 掌握四种形式的特点 会利用待定系数法求抛物线的标准方程 2 过程与方法掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程 进一步理解求曲线方程的方法 坐标法 从而培养学生观察 类比 分析 计算的能力 3 情感 态度与价值观通过本节的学习 让学生体验研究解析几何的基本思想 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 进一步体会数形结合的思想 提高学生分析问题和解决问题的能力 本节重点 抛物线的定义及标准方程 本节难点 建立标准方程时坐标系的选取 1 对于抛物线定义的理解 可以通过
2、以下几种途径 通过多媒体设备展示与抛物线有关的实物模型 也可让学生举出生活中与抛物线有关的物体和现象 加强知识与实际的联系 增强学生的学习兴趣 2 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上 否则动点的轨迹是一条直线 3 由抛物线的定义推导出它的标准方程时 要考虑怎样选择坐标系 由定义可知直线KF是曲线的对称轴 所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项 因为抛物线KF的中点适合条件 所以它在抛物线上 因而以KF的中点为原点 就不会出现常数项 这样建立坐标系 得出的方程形式比较简单 1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l F l 的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的 定直线l叫做
3、抛物线的 距离相等 焦点 准线 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 例1 判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线 1 过点P 0 3 且与直线y 3 0相切的动圆的圆心M的轨迹 2 到点A 0 2 的距离比到直线l y 4的距离小2的动点P的轨迹 解析 1 依题意 圆心M到点P的距离等于M到直线y 3的距离 动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点 以直线y 3为准线的抛物线 2 依题意 动点P到点A 0 2 的距离与到直线l y 2的距离相等 点P的轨迹是以点A为焦点 以直线y 2为准线的抛物线 已知点B 4 0 过y轴上的一点A作直线l y轴 求l与线段AB的中垂线的交点P的轨
4、迹 解析 依题意 PA PB 且 PA 为点P到y轴的距离 点P到点B的距离与到y轴的距离相等 其轨迹是以点B为焦点 以y轴为准线的抛物线 例2 求过点 3 2 的抛物线的标准方程 说明 判断抛物线的开口方向 用待定系数法求之 例3 已知抛物线的焦点在x轴上 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离是5 1 求抛物线方程和m值 2 求抛物线的焦点和准线方程 解析 1 设抛物线方程为y2 2px p 0 说明 1 求抛物线方程的方法 1 定义法 直接利用定义求解 2 待定系数法 若已知抛物线的焦点位置 则可设出抛物线的标准方程 求出p值即可 若抛物线的焦点位置不确定 则要分情况讨论 另外 焦点在x轴
5、上的抛物线方程统一设成y2 ax a 0 焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2 ay a 0 根据下列条件求抛物线的标准方程 1 经过点P 4 2 2 焦点在直线3x 4y 12 0上 解析 1 点P在第四象限 抛物线开口向右或向下 标准方程可设为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将点P 4 2 代入y2 2px 得2p 1 将P 4 2 代入x2 2py 得2p 8 所求抛物线的标准方程为y2 x或x2 8y 2 由于有标准方程的抛物线的焦点在坐标轴上 故由直线3x 4y 12 0与坐标轴的交点可得抛物线的焦点 令x 0 得y 3 令y 0 得x 4 抛物线的焦点为 0 3 或
6、 4 0 当焦点为 0 3 时 3 2p 12 此时抛物线的标准方程为x2 12y 例4 已知抛物线的方程为x2 8y F是其焦点 点A 2 4 在抛物线的内部 在此抛物线上求一点P 使 PF PA 的值最小 分析 如图所示 根据抛物线的定义把PF转化为PQ 使折线段PA PQ的两端点A Q分别落在抛物线的两侧 再通过 数形结合 可知当A P Q三点共线时距离达到最小 若点A的坐标为 3 2 F为抛物线y2 2x的焦点 点P在该抛物线上移动 为使得 PA PF 取得最小值 则P点坐标为 A 0 0 B 1 1 解析 由抛物线定义 PF 等于点P到抛物线准线的距离 PP 如图所示 因此 当且仅当
7、点P A P 在同一条直线上时 有 PF PA PP PA 最小 此时点P的纵坐标等于A点纵坐标 即y 2 故此时P点坐标为 2 2 故选C 说明 确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置 通常有两种情况 1 当两定点在曲线两侧时 连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点 2 当两定点在曲线同侧时 由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移 转变为 1 的情形即可 例5 直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点 且与抛物线相交于A x1 y1 和B x2 y2 两点 说明 解法1分直线斜率存在与不存在两种情况讨论 同学们容易忽略斜率不存在的情形 应引起重视 解法2对直线方程的设法避免了直线的斜
8、率不存在这一情况 解答更为简洁 在学习过程中应深刻体会 斜率为1的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于两点A B 求线段AB的长 解析 如图 由抛物线的标准方程可知 焦点F 1 0 准线方程x 1 由题设 直线AB的方程为 y x 1 代入抛物线方程y2 4x 整理得 x2 6x 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 由抛物线定义可知 AF 等于点A到准线x 1的距离 AA 即 AF AA x1 1 同理 BF x2 1 AB AF BF x1 x2 2 6 2 8 说明 利用抛物线定义 把过焦点的这一特殊的弦分成两个焦半径的和 转化为到准线的距离 这是解决有关抛物线的焦点弦问题
9、很重要的一种数学思想 等价转化的思想 例6 如图 一位运动员在距离篮球架4m远处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离为2 5m时 达到最大高度3 5m 然后准确落入篮圈 已知篮圈中心到地面的距离为3 05m 如图所示建立平面直角坐标系 1 试求球运行路线所在抛物线的方程 2 球出手时 球离开地面的高度是多少 解析 1 设球运行所在的抛物线方程为x2 2py p 0 由题意知抛物线经过点 1 5 0 45 代入抛物线方程得1 52 2p 0 45 解得2p 5 所求抛物线方程为x2 5y 2 把x 2 5代入x2 5y得 2 5 2 5y y 1 25 球出手时球离开地面的高度是3
10、 5 1 25 2 25 m 说明 关键是确定抛物线的方程 如图所示 设田地喷灌水管AB高出地面1 5米 在B处有一个自动旋转的喷水头 一瞬间 喷出的水流是抛物线状 喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45 角 若C比B高出2米 在所建立的坐标系中 求水流的落地点D到点A的距离是多少米 解析 如上图依题可知 BE CE 2 米 CF CE EF 3 5 米 点B的坐标为 0 1 5 抛物线的方程为y a x 2 2 3 5 由于它经过点B 故1 5 a 0 2 2 3 5 误解 选C 辨析 抛物线的定义中 定点不在定直线上 而本题点F 1 1 恰好在直线3x y 4 0上 因而对抛物线的定义
11、认识不清而错选了C 正解 D 一 选择题1 抛物线y2 20 x的焦点坐标为 A 20 0 B 10 0 C 5 0 D 0 5 答案 C 2 过点A 3 0 与y轴相切的圆的圆心轨迹为 A 圆B 椭圆C 直线D 抛物线 答案 D 解析 设P为轨迹上一点 则P到A的距离等于P到y轴的距离 所以P的轨迹为以A为焦点 y轴为准线的抛物线 3 2010 四川文 3 抛物线y2 8x的焦点到准线的距离是 A 1B 2C 4D 8 答案 C 解析 本题考查抛物线的焦点到准线的距离 二 填空题4 到点A 1 0 和直线x 3距离相等的点的轨迹方程是 答案 y2 8 8x 答案 y2 20 x 解析 双曲线的左焦点为 5 0 故设抛物线方程为y2 2px p 0 又p 10 y2 20 x 三 解答题6 求到定点F 4 0 的距离比到定直线x 5 0的距离大10的点的轨迹方程 解析 设点P x y 到定点F 4 0 的距离比到定直线x 5 0的距离大10 当x 5时 化简整理得y2 38x 209 当x 5时 化简整理得y2 2x 9 所求点的轨迹方程为 y2 38x 209 x 5 或y2 2x 9 x 5
