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1、练习一班级 学号姓名1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？2. 试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。 解： 此算法是数值稳定的。3. 试证明 及 证明：（1）令即又即 设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。4. 已知，_，_ 。5. 已知矩阵，试计算A的谱半径。解： 6. 已知，试计算，7.8. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：该近似值具有7为有效数字。9. 若T(h)逼近其精确值T的截断误差为其中，系数与h
2、无关。试证明由所定义的T的逼近序列的误差为，其中诸是与h无关的常数。证明：当m=0时 设m=k时等式成立，即当m=k+1时 即证。练习二班级 学号姓名 1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）; (2)。解：（1）迭代公式，公式收敛k012300.250.250980.25098（2）， 局部收敛k0123456789101.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.3862. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）,对应迭代公式;（2），对应迭代公式;（3）,对应迭代公式。判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式
3、求出附近的根到4位有效数字。解：（1） 局部收敛（2） 局部收敛（3） 不是局部收敛迭代公式（1）：0123456781.51.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595迭代公式（2）：k01234561.51.4811.4731.4691.4671.4661.4663. 已知在a,b内有一根，在a,b上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。解：方程等价于构造迭代公式令由于在a,b
4、上也一阶可微 故上述迭代公式是有局部收敛性.4. 设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。证明：在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则 时 有 从而 故 令 ，由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。5. ，要使迭代法局部收敛到，则的取值范围是_。6. 用牛顿法求方程在3,4中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解： y次迭代公式k01233.53.643.633.637. 试证用牛顿法求方程在1,3内的根是线性收敛的。解：令 y次迭代公式故 从而 ，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的8. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。解： 相应的
5、牛顿迭代公式为迭代函数，则，练习三班级 学号姓名1. 设有方程组(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；(2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。解：（1） A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。（2）雅克比法：，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3），高斯-塞德尔法：，取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3），2. 设有方程组, ,迭代公式： , .求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.证明：迭代公式中的矩阵，由迭代收敛的充要条件知 即证。3. 给定方程组，确定的取值范围，使方程
6、组对应的Jacobi迭代收敛。4. 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求.解：SOR方法 故，迭代初值k00.0000000.00000010.6000000-1.32000021.2720000-0.85440030.858240-1.07164841.071341-0.96426850.964293-1.01785961.017857-0.99107170.991071-0.99776881.004464-0.99776890.997768-1.001116101.001116-0.999442110.999442-1.000279121.000279-0.999861130.99
7、9861-1.000070141.000070-0.999965150.999965-1.000017161.000017-0.9999915. 给定线性方程组AX=b，其中，1）求出使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛的的取值范围。2）当时，给出这两种迭代法的收敛速度之比。6. 用Gauss消去法解方程组7. 用选列主元高斯消去法求解方程组解： 解得 8. 用追赶法解三角方程组解：高斯迶元回代得 解为 9. 用三角分解法求解方程组解：系数矩阵三角分解为： 原方程可表为： 解 得 解 得10. 用选主元法去法计算下列行列式的值.解： 11. 设计算 .解： 12. 设方程组Ax=，其中A=
8、，= 计算，判断方程组是否病态。 用全主元消元法求解，结果如何？ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？解： 105+1 又 =（1+105）=1该方程组是病态 用全主元消元法求解。=1出现大数吃小数的现象，结果失真。 用105除第一个方程得：A1=，=方程组是良态的。练习四班级 学号姓名1. 给出概率积分的数据表：试用二次插值计算.X0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683解：取插值节点： 2. 已知y=sinx的函数表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166试构造出差商表，利用二次New
9、ton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.解：由题意得如下差商表故 又 故：3. 设为互异节点(),求证(1) (2) 证明： 令 又 所以 故 原等式左边用二项式展开得： 由结论 得 即证4. 若，则 ， 。5. 若,求和.解： 6. 设为互异节点，为对应的5次Lagrange插值基函数，则_。7. 证明两点三次Hermite插值余项是证明： 且 即 为的二阶零点 设 令 易知 又 由微分中值定理（Rolle定理），使得 进而 有三个零点，有两个零点，有一个零点，即 使得得 8. 设是Lagrange基函数，则 。9. 求一个次数不超过4次的多项式，使它满足，并写
10、出其余项表达式。10. 求一个四次插值多项式，使时，；而 时，并写出插值余项的表达式。11. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x) X-1013Y-11331428解：已知 边界条件 即从而 解 得当 即 时故 同理，在及上均有 12. 已知实验数据X01235Y1.11.93.13.94.9试用最小二乘法求经验直线。13. 利用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合：x21012y 0.10.10.40.91.614. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合X1925313844Y19.032.349.073.397.8解：依题意 故 正则方程为 解得 故拟合曲线为 练习五班级 学号姓名1 试确定下面求积公式使其具三次代数精度.解：要公式有3次代数精度，需有 解得： 故求积公式为2 设f (x) C a,b，则计算的复化梯形公式是_阶收敛的，其代数精度为_。
