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1、福建省厦门市双十中学2007届上学期高三数学理科第二次月考试卷一、选择题:(每小题5分,共60分)1设集合,则( )A B C D2设集合A=x0x2,B=y1y2,下列图中能表示从集合A到集合B的映射的是( )3 若函数f(x)是奇函数,且方程f(x)= 0有三个根x1、x2、x3,则x1 + x2 + x3的值为( ) A1B0C3D不确定4“”是“函数在区间上为增函数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是( )A B C D6 由下列各组命题构成的复合命题中,“p或q”为真,“p
2、且q”为假,“非p”为真的是( )Ap:3是偶数,q:4是奇数Bp:Q R,q:N=正整数Cp:aa,b q:a a,bDp:3+2=6,q:537数列满足: , 且对任意正整数都有, 则( )A B C D 8圆心在直线上,且与两坐标轴都相切的圆的方程为( )ABCD 9设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点,其中一点为P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )A B C D 10定义在R上的偶函数满足,且时, 则 的值为( )A B C D 11函数图象如右所示,则的单调减区间是( )A B C D12已知函数,则不等式的解集为( )A(3,2)
3、 B(2,3) C(1,6) D(6,1)二、填空题(每题4分,共16分)13在中. 若 ,则 等于 14已知定义在R上的函数f(x),满足则f(10)= 15如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则_;16直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数f(x)的图象恰好通过k个格点,则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数:f(x)=sinx;f(x)=(x1)2+3;,其中是一阶格点函数的有 . (填上所有满足题意的序号)三、解答题17(本题12分)已知 (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的值域.18(本题12
4、分)某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为,贷款的利率为4.8%,英才又银行吸收的存款能全部放贷出去. (1)若存款的利率为,试写出存款量及银行应支付给储户的利息; (2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益?19(本题12分)已知三点P(5,2)、(6,0)、(6,0). (1)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程; (2)求过点P且与椭圆相切的切线L的方程.20(本题12分)在平面直角坐标系O中,直线与抛物线2相交于A、B两点 (1)求证:“如果直线过点T(3,0),那么3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明
5、理由21(本题12分)已知函数, 数列满足: , , (1)求证: ; (2) 求证: .22(本题14分)已知在(1,1)上有定义,=1,且满足定义数列: (1)证明:在(1,1)上为奇函数; (2)求证是等比数列,并求出其通项公式; (3)是否存在自然数m,使得对于任意 成立?若存在,求出m的最小值. 参考答案一、选择题:BDBAA DAADC CA二、填空题:1200; 2; 35; .3解:依题意,其中一个根一定是0,而另外两根根一定是关于原点对称分布,所以x1 + x2 + x3=0,选B 4解:当a=1时,其图如右,当然在上增函数,另:函数的增区间为,依题意可知,即.5A6解:依题
6、意可知,p为假且q为真,选D. 7解:对任意正整数都有,令m=1,则,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以-无穷递缩等比数列.8解:与两坐标轴都相切,则圆心到两坐标轴的距离相等,则圆心在y=x或上,又圆心在,所以圆心为与的交点,即(-1,1),半径为1,所求圆方程为.9解1:不妨设点P在 x轴上方,坐标为,F1PF2为等腰直角三角形|PF2|=|F1F2|,即,即故椭圆的离心率e是解2:如图|PF2|=|F1F2|=2c,,由椭圆的定义得:10解1:思路把“不在已知区间上”的自变量通过“性质”转化为在“已知区间上的自变量”进行计算.,且f(-x)=f(x),所以,所以f(x)的周期T=
7、,=(注:函数有两个对称性可推出有周期性,我们可借助特殊函数y=sinx进行记忆)解2:即使我们不知道表示什么,我们也可以做,.11解:本题是已知外函数的单调区间,求复合函数的单调区间,依题意设在时为减,由图可知,欲使.选C 12 解:从“具体函数”中主动地研究这个函数的“抽象性质”-奇偶性、单调性. 定义域为R,所以f(x)为奇函数;,所以f(x)是R上的单调递增函数.因此 选A13解:14解1:穷举法:得f(4)=-f(2)=-2,f(6)=-f(4)=2,f(8)=-f(6)=-2,f(10)=-f(8)=2解法2:由题可发现自变量都是正整数,所以可以用数列的观点解决:即是偶数项成等比的
8、等比数列,则,注:本题容易将通项写成(这是不正确的);表示原数列的第2k项=也表示偶数列的第k项.解法3:所以f(x)的周期为4,所以f(10)=f(2)本题如果改为求f(1000),那就必须用解法2了.所以 求f(1000)有两种可能性,一种是研究周期性,而另一种则是研究“数列”的通项.15解:依题(如图)可知,恰好关于y轴对称又=7=3516y=sinx的值域为-1,1,所以格点的纵坐标只能是-1,0,1,除(0,0)点外,其他的横坐标都不是整数f(x)=(x1)2+3;除了横坐标为1时,纵坐标是整数外,其他横坐标为整数时,纵坐标都是无理数.(0,1),(-1,3)有无数多个格点.,除了横
9、坐标为1时,纵坐标是0外,其他横坐标为整数时,纵坐标都是无理数.17解:(1) -4分所以的周期为-6分 (2)设所以,所以函数f(x)的值域为-12分(区间的“开”和“闭”不正确扣2分)18解:(1)由题意,存款量,银行应支付的利息4分 (2)设银行可获收益为y,则 6分解得9分又当内单调递增,在(0.032,0.048)单调递减. 故当时,y在(0,0.048)内取得极大值,亦即最大值.答:存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益.12分19解:(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为(ab0),其半焦距c=6,,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆方程为-6分 (2)解法1:依题意可知经过P的
10、切线斜率必存在,所以设切线方程为:-7分-8分 化简得:,- -10分所以切线方程为:x+2y-9=0 -12分 解2:求以曲线上的点为切点的切线方程可用导数解决.因为P在第一象限, -8分,所以.所以切线方程:x+2y-9=0 -12分20证明:(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2).当直线l的斜率下存在时,L:x=3,此时L与抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3-2分当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x3),其中k0. 得 -4分又x1=y, x2=y, =x1x2+y1y2=3.综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,
11、0),那么=3”是真命题. -6分或者设直线为x=my+3那么就不必讨论斜率是否存在 (2)逆命题是:设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).-8分例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y=(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.- -10分该命题是假命题.- -12分说明:由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=6.或y1y2=2,如果y1y2=6.,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).21证明: (1)先用数学归纳法证明,1,2,3, 当n=1时,由已知显然结论成立.-1分 假设当n=k时结论成立,即.-2分因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在0,1上连续,从而.故n=k+1时,结论成立.- -5分由,可知,对一切正整数都成立. -6分 (2)要证:在时成立.所以构造函数,证明在上时恒成立.(下求的最小值)设函数,-8分从而-(*) -9分由(1)知,当时,所以所以所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在0,1上连续,且g (0)=0,所以当时,g (