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1、广东省珠海市2006年高中数学教师解题比赛试卷 时量：120分钟 满分：150分 注意: 1.本次考试允许使用各型计算器.2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.一、 填空题(每题7分,共56分)：1求和：121+222+323+n2n(nN,n5)=_。2已知三角形ABC的三边a，b，c成等差数列，则cosB的范围是_。3 已知x2+xy+y2=3，则x2+y2的范围是_。4函数f(x)= 请给出它的单调递增区间:_ 。5已知函数f（x）满足以下条件：在定义域R上连续，图象关于原点对称，值域为（-1，1）。请给出一个这样的函数：_。6已知点O在AB
2、C内部，且有，则OAB与OBC的面积之比为_。7已知四面体ABCD的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为_。8从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有_种。二、解答题(每题20分,共80分)：9设是x1,x2,x3,xn是非负实数，且， nN,n5.求证：。10有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求
3、玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.11已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。现将B液体注入其中，每隔10秒钟注入0。1升（假设两种液体5秒左右能够均匀互溶）。请问从注入B溶液起多长时间A、B两种溶液浓度最为接近？12若抛物线y=ax2-2上总存在关于直线x+y+1=0对称的不同两点，求a的范围。三、论述题(每题7分,共14分)：13请问普通高中数学课程标准（实验）对数学的意义赋予了什么新的内容？14请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会.参考答案 时量：120分钟 满分：150分 本次考试允许使用各型计算器试题若条
4、件不够可自行补充,若条件有误可自行修改,不必要的修改为错解.二、 填空题(每题7分,共56分)：1求和：121+222+323+n2n=_2（n-1）2n+2_。2已知三角形ABC的三边a，b，c成等差数列，则cosB的范围是_1/2，1）_。（利用三角形两边之和大于第三边，2b=a+c，确定a与c的关系，由余弦定理，得到一个函数，最后求出它的值域）3 已知x2+xy+y2=3，则x2+y2的范围是_2，6_。（用三角换元法）4它的递增区间是（-，+）。(可以估计,参考|x|+3x的单调性)5已知函数f（x）满足以下条件：在定义域R上连续，图象关于原点对称，值域为（-1，1）。请给出一个这样的
5、函数：。（或满足条件的其它函数）6已知点O在ABC内部，且有，则OAB与OBC的面积之比为_4：1_。（利用平行四边形及三角形面积公式转换。也可构造正三角形得到这个比例值）7已知四面体ABCD的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为。(可以想象成一个正三角形沿一条边折起,找到外接球心位置后,设出半径,列方程求解)8从1到10的10个整数中，任选三个使它们的和能被3整除，则不同的选法有42种。（将10个数按除以3的余数分为三类，三个数的分布只有（1，1，1）和（3，0，0）（0，3，0）（0，0，3）四种情况，因此共有433+4+1+1=42种）二、解答题(每题20分,共80分)：9设
6、是x1,x2,x3,xn是非负实数，且，求证：。证明：设xm、xn是非负实数，且它们的和小于1/2，由， 易得由已知，所以成立。本题考查证不等式的一般能力，如能提出构想：将n项乘积转化为n-1项的乘积，则思路就容易产生。估计的思想也很重要，即转化出的中间量应在左边与右边之间，比1/2大。本题也可采用数学归纳法证明，原理是一样的。从简单的情况入手，如n=2时的证明能否推广到n=3以上等，也是一个重要方法。10有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳
7、一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.本题考查运用概率和数列知识解决生活中的问题的能力.涉及到相互独立事件的概率计算公式,数列递推公式的推导,等比数列求和等问题.解:P0=1(把开始的站也看作是”跳到”的站), P1=1/2.棋子跳到第2站有两条路线:路线一,直接从第0站跳两步到第2站;路线二,从第0站跳到第1站,再从第1站跳到第2站.所以P2=1/2+(1/2)2=3/4.棋子跳到第n站(2n20)的情况有两种:第一种,棋子先跳到第n-2站,又掷出反面,其概率为Pn-2/2;第二种,
8、棋子先跳到第n-1站,又掷出正面,其概率为Pn-1/2.根据分类计数原理得: Pn =Pn-1/2+ Pn-2/2,所以Pn Pn-1 =-(Pn-1 Pn-2)/2, Pn Pn-1构成首项为-1/2,公比为-1/2的等比数列.所以P1P0=-1/2, P2P1=(-1/2)2, P3P2=(-1/2)3,P19P18=(-1/2)19.将以上各式相加得: P19P0=-1/2+(-1/2)2+(-1/2)19所以P19=.11已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。现将B液体注入其中，每隔10秒钟注入0。1升（假设两种
9、液体能够迅速互溶）。请问从注入B溶液起隔多长时间时A、B两种溶液浓度最接近？解：假设两种液体混合后，其体积为混合前的体积之和。两种液体的比重相同。设第n个10秒末，A溶液的体积为an，B溶液的体积为bn，则an+bn=4，且an=an-1-an-10.1/4= an-13.9/4，a1=3.9，n2，nN*。所以：an=3.9(39/40)n-1.容器不变，A、B两种溶液浓度最接近时，等价于它们的体积最接近，即当|an/4-bn/4|=|an-2|/2,当an与2最接近时，两种溶液浓度最接近。经过计算可知，当n=27时，即从注入B溶液起隔大约260秒至270秒之间两种溶液浓度最接近。12若抛物线y=ax2-2上总存在关于直线x+y+1=0对称的两点，求a的范围。解:过程略,a（3/4，+）.三、论述题(每题7分,共14分)：13请问普通高中数学课程标准（实验）对数学的意义赋予了什么新的内容？ 答案略.参照标准给分.从基础性、工具性、应用性和人文价值四方面回答，要点基本答对的给满分,少一条则减一分.14请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会。 认识很深刻,有操作性,可供参考的经验的,给满分,只有理念,没有实际体会 的酌情扣分.4
