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1、1 频率分布及频率分布表 1 频率分布 各个小组数据的频数与样本容量的比 就是该数据的频率 所有数据的叫做频率分布 频率分布变化规律 2 频率分布表的制作步骤是 第一步 按确定的组距对一批数据分组后 数出落在各组内数据的填入表中 第二步 各小组的频数与数据总数的叫做这一小组的频率 算出各小组的频率 填入表中 2 画频率分布直方图的步骤 1 求极差 2 3 将数据分组 4 列频率分布表 5 个数 即频数 比值 决定组距与组数 画频率分布直方图 3 频率分布折线图及茎叶图 1 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的 就得到频率分布折线图 2 茎叶图 当数据是两位有效数字时 用中间的数
2、字表示十位数 即第一个有效数字 两边的数字表示个位数 即第二个有效数字 它的中间部分像植物的茎 两边部分像植物茎上长出来的叶子 因此通常把这样的图叫做茎叶图 中点 4 平均数 中位数和众数 1 平均数 一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数 2 中位数 如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列 当数据有奇数个时 处在 当数据有偶数个时 处在 是这组数据的中位数 最中间的一个数 最中间两个数的平均数 3 众数 出现次数的数 若有两个或几个数据出现得最多 且出现的次数一样 这些数据都是这组数据的众数 若一组数据中 每个数据出现的次数一样多 则认为这组数据没有众数 最多 5 样本方差与标准差
3、与标准差 1 对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系 下列说法中正确的是 A 频率分布折线图与总体密度曲线无关B 频率分布折线图就是总体密度曲线C 样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D 如果样本容量无限增大 分组的组距无限减小 那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线 解析 总体密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的 于是有 如果样本容量无限增大 分组的组距无限缩小 那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑的曲线 这条曲线就是总体密度曲线 答案 D 2 一个容量为32的样本 已知某组样本的频率为0 375 则该组样本的频数为 A 4B 8C 12D 16解析 频率 频数 频
4、率 容量 0 375 32 12 答案 C 3 已知一组数据按从小到大的顺序排列 得到 1 0 4 x 7 14 中位数为5 则这组数据的平均数和方差分别为 答案 A 4 已知6个数3 4 5 6 7 x 它们的平均数为5 则该组数据的标准差为 5 为了了解某地区高三学生身体发育情况 抽查了该地区100名年龄为17 5岁 18岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下图所示 1 样本数据落在 62 5 64 5 内的频率是多少 2 100名学生的体重的众数是多少 解 在频率分布直方图中 频率等于矩形的面积 每一小组的频率等于这小组的频数与样本容量的商 而众数是最高矩形中点的横坐标 1 样本数据
5、落在 62 5 64 5 内的频率为0 07 2 0 14 例1 2009 山东卷 某工厂对一批产品进行了抽样检测 如下图是根据抽样检测后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围是 96 106 样本数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品净重小于100克的个数是36 则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 A 90B 75C 60D 45 思路分析 解答本题时首先根据频率分布直方图的意义计算出产品净重小于100克的频率 再根据产品净重小于100克的个数是36计算出样本容量 然后根据净重大
6、于或等于98克并且小于104克的产品的频率计算其频数 频率分布直方图中只有数据的分组情况和各组数据的分布情况 这个图没有直接表明各个数据组的频率 也没有样本容量 解决这类问题时就要从题目的其他条件和频率分布直方图上找到各组数据的频率和样本容量 只要这两个数据找出来了 其他问题也就容易解决了 可以说解决频率分布直方图问题的关键是求出各组数据的频率和样本容量 变式迁移1下列是容量为100的样本的频率分布直方图 试根据图形中数据填空 1 样本数据落在 10 14 内的频率为 2 样本数据落在 6 10 内的频数为 3 总体落在 2 6 内的频率为 解析 1 样本落在 10 14 内的频率为0 09
7、4 0 36 2 样本落在 6 10 内的频率为0 08 4 0 32 频数为0 32 100 32 3 样本落在 2 6 内的频率为0 02 4 0 08 总体落在 2 6 内的频率约为0 08 答案 1 0 36 2 32 3 0 08 例2 2009 安徽卷 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A 将其与原有的一个优良品种B进行对照试验 两种小麦各种植了25亩 所得亩产数据 单位 千克 如下 品种A 357 359 367 368 375 388 392 399 400 405 412 414 415 421 423 423 427 430 430 434 443 445 445 451
8、 454 品种B 363 371 374 383 385 386 391 392 394 394 395 397 397 400 401 401 403 406 407 410 412 415 416 422 430 1 完成数据的茎叶图 2 用茎叶图处理现有的数据 有什么优点 3 通过观察茎叶图 对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较 写出统计结论 思路分析 1 按照茎叶图的作法 对照数据解决 2 根据茎叶图的特点作结论 3 应该根据样本数据的平均值和方差作结论 但本题要求我们只是对 A与B的亩产量及其稳定性进行比较 故观察茎叶图比较优劣 写出即可 解 1 茎叶图如下图所示 2 由于每个品种
9、的数据都只有25个 样本不大 画茎叶图很方便 此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况 便于比较 而且没有任何信息损失 还可以随时记录数的数据 3 通过观察茎叶图可以看出 品种A的亩产平均数 或均值 比品种B高 品种A的亩产标准差 或方差 比品种B大 故品种A的亩产稳定性较差 本题通过作出两组数据的茎叶图 考查考生对茎叶图的特点的理解 考查考生使用茎叶图对数据的平均水平和数据偏离平均水平程度大小的分析判断 题目设计第 3 问的目的不是要求考生计算这两组数据的平均数和方差 而是要求从茎叶图上观察 对这两组数据的平均数与方差作出比较性的结论 这是一道以茎叶图处理数据问题为核心的试题 也是200
10、9年高考试题中唯一一道这样的解答题 变式迁移2某市对上 下班交通情况进行抽样调查 上 下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速如下 单位 km h 上班时间 303318273240262821283520下班时间 271932293629302225161730用茎叶图表示上面的样本数据 并求出样本数据的中位数 解 根据题意绘出该市上 下班交通情况的茎叶图 如下图所示 由图可见 上班时间行驶时速的中位数是28 下班时间行驶时速的中位数是28 例3 甲乙二人参加某体育项目训练 近期的五次测试成绩得分情况如下图 1 分别求出两人得分的平均数与方差 2 根据图和上面算得的结果 对两人的训练成绩作出评价
11、 思路分析 1 先通过图象统计出甲 乙二人的成绩 2 利用公式求出平均数 方差 再分析两人的成绩 作出评价 解 1 由图象可得甲 乙两人五次测试的成绩分别为甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分 b 数据x1 a x2 a xn a的方差也为s2 c 数据ax1 ax2 axn的方差为a2s2 变式迁移3甲 乙两名战士在相同条件下各射靶10次 每次命中的环数分别是 甲 8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 1 分别计算以上两组数据的平均数 2 分别求出两组数据的方差 3 根据计算结果 估计一下两名战
12、士的射击情况 例4 图甲是某县参加2009年高考的学生身高条形统计图 从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1 A2 An 如A2表示身高 单位 cm 在 150 155 内的学生人数 图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图 现要统计身高在160 180cm 含160cm 不含180cm 的学生人数 那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 解析 由题意可知 本题是统计身高在160 180cm 含160cm 不含180cm 的学生人数 即求A4 A5 A6 A7 故程序框图中的判断框内应填写的条件是 i 7 本小题考查统计与算法知识 算法一直是高考的热点 特别是近几年高考强
13、调在知识的交汇处命题 算法与统计的交汇突出了新课标的要求 变式迁移4为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼的时间X 单位 分钟 按锻炼时间分下列四种情况统计 0 10分钟 11 20分钟 21 30分钟 30分钟以上 有10000名中学生参加了此项活动 下图是此次调查中关于某一项体育锻炼的程序框图 其输出的结果是6200 则平均每天参加体育锻炼时间在0 20分钟内的学生的频率是 A 3800B 6200C 0 38D 0 62 解析 本题的程序框图的功能是输入学生参加体育锻炼的时间X 计算锻炼时间超过20分钟的人数 因为此题输出的是6200 故锻炼时间超过20分钟的人数为6200 则锻炼时
14、间在0 20分钟的人数是10000 6200 3800 其频率为3800 10000 0 38 故选C 答案 C 1 用样本频率分布来估计总体分布的重点是 频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布 难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用 在计数和计算时一定要准确 在绘制小矩形时 宽窄要一致 通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计 2 几种表示频率分布的方法的优点与不足 1 频率分布表在数量表示上比较确切 但不够直观 形象 分析数据分布的总体态势不太方便 2 频率分布直方图能够很容易地表示大量数据 非常直观地表明分布的形状 使我们能够看到在分布表中看不清楚的数
15、据模式 但从直方图本身得不出原始的数据内容 也就是说 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 3 频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势 如果样本容量不断增大 分组的组距不断缩小 那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线 4 用茎叶图优点是原有信息不会抹掉 能够展示数据的分布情况 但当样本数据较多或数据位数较多时 茎叶图显得不太方便了 3 标准差 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 标准差 方差越大 数据的离散程度越大 标准差 方差越小 数据的离散程度越小 因为方差与原始数据的单位不同 且平方后可能夸大了偏差的程度 所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的 但在解决实际问题时 一般多采用标准差
