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1、第二章函数 第4课时函数的反函数 1 反函数的定义设函数y f x 的定义域 值域分别为A C 如果用y表示x 得到x y 且对于y在C中的任何一个值 通过x y x在A中都有惟一确定的值和它对应 那么就称函数x y y C 叫做函数y f x x A 的反函数 记作x f 1 y 一般改写为y f 1 x 2 反函数的性质反函数y f 1 x 的定义域和值域分别是原函数y f x 的值域和定义域 互为反函数的两个函数y f x 与y f 1 x 的图象关于直线y x对称 3 函数存在反函数的条件 1 从值域到定义域按照原函数所确定的对应法则是一个映射 这是函数存在反函数的一个充要条件 2 严
2、格单调函数是函数存在反函数的一个充分不必要条件 4 一些注意点 1 奇函数不一定存在反函数 如f x 0 x R 2 偶函数可能存在反函数 如f x 1 x 0 3 f f 1 a f 1 f a 例题 1 函数y 3 x 1 x 0 的反函数是 2 已知函数y f x 的反函数f 1 x x 1 x 0 那么函数y f x 的定义域是 y log3 x 1 x 0 1 3 函数f x x2 x 2 的反函数是 4 已知函数f x 的图象关于直线y x对称 则实数m的值是 1 5 已知函数y f x 的反函数为f 1 x 2x 1 则f 1 等于 A 0 B 1 C 1 D 4 C 6 求下列
3、函数的反函数 1 y 1 2 ln x 5 1 x 5 2 y x2 2x x 0 解题分析 本题只需将它看成关于x的方程 并解出这个方程即可 解题回顾 由函数y f x 求它的反函数y f 1 x 的一般步骤是 1 判断y f x 是否存在反函数 但书写时 此步骤可以省略 2 若存在反函数 由y f x 解出x f 1 y 3 根据习惯 对换x y 改写为y f x 4 根据y f x 的值域确定反函数的定义域 6 求下列函数的反函数 1 y 1 2 ln x 5 1 x 5 2 y x2 2x x 0 7 已知函数f x 2x 1 2x x R 求f 1 1 3 的值 解题分析 7 已知函
4、数f x 2x 1 2x x R 求f 1 1 3 的值 解题分析 解题回顾 求f 1 a 的值 解一是先求函数f x 的反函数f 1 x 再求f 1 a 的值 解二是根据原函数f x 与它的反函数f 1 x 的定义域与值域间的关系 转化为求方程f x a解的问题 解一是常规解法 解二较简便 7 已知函数f x 2x 1 2x x R 求f 1 1 3 的值 8 若函数f x ax k的图象过点A 1 3 且它的反函数y f 1 x 的图象过点B 2 0 求f x 的表达式 返回 解题分析 y f 1 x 的图象过点B 2 0 y f x 的图象过点B 0 2 解题回顾 若函数f x 存在反函数f 1 x 则f a b f 1 b a 9 已知函数 求它的反函数 并作出反函数的图象 延伸 拓展 返回 解题分析 分段函数 要求它的反函数 只需在区间 0 1 与 1 0 上分别求出x即可 所求函数的反函数是 9 已知函数 求它的反函数 并作出反函数的图象 返回 所求函数的反函数是 x y O 在涉及到反函数问题时 要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系 以及它们图象间的关系 误解分析 返回 在涉及到反函数问题时 要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系 以及它们图象间的关系
