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1、第二章函数 第6课时函数的单调性 要点 疑点 考点 1 函数的单调性一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 函数是增函数还是减函数 是对定义域内某个区间而言的 有的函数在一些区间上是增函数 而在另一些区间上可能是减函数 例如函数y x2 当x 0 时是增函数 当x 0 时是减函数 2 单调区间如果函数y f x 在某个
2、区间是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 3 用定义证明函数单调性的步骤证明函数f x 在区间M上具有单调性的步骤 1 取值 对任意x1 x2 M 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 判定差的正负 4 根据判定的结果作出相应的结论 4 复合函数的单调性复合函数f g x 的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其规律如下 注意 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 能力 思维 方法 例1 讨论函数的单调性 解题分析 因函数定义域是
3、 0 0 且f x 是奇函数 所以所以可以先讨论函数在 0 上的单调性 能力 思维 方法 例1 讨论函数的单调性 能力 思维 方法 例1 讨论函数的单调性 能力 思维 方法 例1 讨论函数的单调性 解题回顾 含参数函数单调性的判定 往往对参数要分类讨论 本题的结论十分重要 在一些问题的求解中十分有用 应予重视 变式题 例2 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 解题分析 假设存在实数a 分a 1 0 a 1两种情况 由复合函数单调性解 解 设g x ax2 x 假设符合条件的a值存在 当a 1时 为使函数y f x loga ax2 x 在闭区间 2
4、4 上是增函数 只需g x ax2 x在 2 4 上是增函数 故应满足 当0 a 1时 为使函数y f x loga ax2 x 在闭区间 2 4 上是增函数 只需g x ax2 x在 2 4 上是减函数 故应满足 综上可知 当a 1 时 f x loga ax2 x 在闭区间 2 4 上是增函数 解题回顾 本题主要是考查复合函数的单调性 当内外函数的增减性一致时 为增函数 当内外函数的增减性相异时 为减函数 另外 复合函数的单调区间一定是定义域的子区间 在解题时 要注意这一点 例2 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 例3 设 试判断函数f x 的
5、单调性并给出证明 若f x 的反函数为f 1 x 证明方程f 1 x 0有惟一解 解关于x的不等式f x x 1 2 1 2 解题分析 用定义证明函数的单调性 利用反证法 结合互为反函数的函数单调性的关系 证明方程有唯一解 解 函数的定义域是 1 1 由增减函数的定义可以证明f x 在 1 1 上是减函数 课后证明 例3 设 试判断函数f x 的单调性并给出证明 若f x 的反函数为f 1 x 证明方程f 1 x 0有惟一解 解关于x的不等式f x x 1 2 1 2 例3 设 试判断函数f x 的单调性并给出证明 若f x 的反函数为f 1 x 证明方程f 1 x 0有惟一解 解关于x的不等
6、式f x x 1 2 1 2 解题回顾 原函数及其反函数的单调性是一致的 函数的单调性有着多方面的应用 如求函数的值域 最值 解不等式等 但在利用单调性时 不可忽略函数的定义域 例3 设 试判断函数f x 的单调性并给出证明 若f x 的反函数为f 1 x 证明方程f 1 x 0有惟一解 解关于x的不等式f x x 1 2 1 2 延伸 拓展 例4 定义在 1 1 上的函数f x 满足以下两个条件 对任意x y 1 1 都有 当x 1 0 时 有f x 0 1 判定f x 在 1 1 上的奇偶性 并说明理由 2 判定f x 在 1 0 上的单调性 并给出证明 3 求证 4 求证 解题分析 利用
7、定义判定函数的奇偶性 注意赋值法在解决抽象问题中的作用 不等式的证明可采用裂项法 解 1 当x y 0时 f 0 f 0 f 0 f 0 0 f x f x f 0 0 即f x f x f x 在 1 1 上是奇函数 延伸 拓展 例4 定义在 1 1 上的函数f x 满足以下两个条件 对任意x y 1 1 都有 当x 1 0 时 有f x 0 1 判定f x 在 1 1 上的奇偶性 并说明理由 2 判定f x 在 1 0 上的单调性 并给出证明 延伸 拓展 例4 定义在 1 1 上的函数f x 满足以下两个条件 对任意x y 1 1 都有 当x 1 0 时 有f x 0 3 求证 延伸 拓展
8、 例4 定义在 1 1 上的函数f x 满足以下两个条件 对任意x y 1 1 都有 当x 1 0 时 有f x 0 4 求证 延伸 拓展 解题回顾 抽象函数是高考考查函数的目标之一 几种常见的抽象函数在做小题时 可与具体函数相对应如 f x g f x f y f x f y f x g f x y f x f y 等分别与一次函数 指数函数 对数函数相对应 本题第四问在前三个问题的基础上给出则水到渠成 1 对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心 结合抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则一切变形会失去目标 误解分析 2 后一问题的解决 注意联系前一问题 看能否找到办法 课
9、后练习 1 下列函数中 在区间 0 上是增函数的是 A f x x2 4x 8 B g x ax 3 a 0 C h x 2 x 1 D s x log 1 2 x 2 定义在区间 的奇函数f x 为增函数 偶函数g x 在区间 0 的图象与f x 的图象重合 设a b 0 给出下列不等式 f b f a g a g b f b f a g a g b f a f b g b g a f a f b g b g a 其中成立的是 A 与 B 与 C 与 D 与 D D 答案 3 B 4 1 或 1 1 1 5 D 3 如果函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 那么实数a的取值范围是 A 3 B 3 C 3 D 3 4 函数的减区间是 函数的减区间是 5 函数f x log 1 2 x2 3x 2 的减区间是 A 1 B 2 C 1 3 2 D 3 2 2
