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1、江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期10月学情调研考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 集合，集合，则 Read xIf x2 Theny5x+2Elsey2x+1End IfPrint y（第3题）2 设i是虚数单位，若复数，则的虚部为 3 执行所示伪代码，若输出的y的值为17，则输入的x的值是 4 在平面直角坐标系中，点在角的终边上，且，则点的坐标为 5 某学校要从A，B，C，D这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A，B两名老师都被选中的概率是 6 函数的定义域为 7 在等差数列中，则数列的前项和 8 已
2、知，则 9 已知实数构成一个等比数列，则椭圆的离心率是 10若曲线在处的切线与直线垂直，则实数等于 11在ABC中，已知，则的最小值为 12已知圆：，直线：，若在圆上存在一点，在直线上存在一点，使得的中点是坐标原点，则实数的取值范围是 13在直角梯形中，与相交于点，是线段上一动点，则的取值范围是 14已知函数，若存在非零实数，使得，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若，求的值16(本小题满分14分)如图，在三棱
3、锥中，点在上，为的中点，且平面（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：平面平面17(本小题满分14分)已知函数（1）解方程； （2）设，求在上的最小值18(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中ABC的支撑杆AB，CD由长为的材料弯折而成（即），AB边的长为（1）（CA，CB另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线，其表达式为，记结构的最低点O到点C的距离为；曲线是抛物线的一段，此时记结构的
4、最低点O到点C的距离为（1）求函数，的表达式；（2）要使得点O到点C的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据）19(本小题满分16分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（1）设，求值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由20(本小题满分16分)已知函数，（1）若，求的最值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若对于任意，都有成立，求整数的最大值2019届高三年级学情调研考试
5、 数学附加题 2018.1021（A）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设是矩阵的一个特征向量. （1）求实数的值；（2）求矩阵的特征值.（B）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆：()，与极轴交于点（异于极点），求直线的极坐标方程.22（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （1）求事件 “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量
6、的分布列与数学期望23（本小题满分10分）在自然数列中，任取个元素，其余个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为.（1）求；（2）证明：，并求出的值.2019届高三学情调研考试数学答案2018.10一、填空题11,2) 2 34 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、解答题15(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若，求的值解析：（1）由，得， 即2分由余弦定理得，4分因为，所以6分（2）由（1）知，则，则，8分 因为，所以10分又因为，所以 12分14分16(本小题满分14分)如图，在三棱
7、锥中，点在上，为的中点，且平面（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：平面平面解析：（1）因为平面，平面，平面平面，所以，4分因为平面，平面，所以平面6分（2）在中，因为为的中点，所以是的中点8分因为，所以，10分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，12分因为平面，所以平面平面14分17(本小题满分14分)已知函数（1）解方程； （2）设，求在上的最小值（1）或，解得：或； 4分（2），则 6分（1）当时，在上单调减，此时8分（2）当时，令，解得：或（舍去）；当时，；当时，； 在上单调减，在上单调增，此时12分又，13分在上的最小值为14分18(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于
8、年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中ABC的支撑杆AB，CD由长为的材料弯折而成（即），AB边的长为（1）（CA，CB另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线，其表达式为，记结构的最低点O到点C的距离为；曲线是抛物线的一段，此时记结构的最低点O到点C的距离为（1）求函数，的表达式；（2）要使得点O到点C的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据）解析：（1）对于曲线，因为曲线的表达式为，所以点的坐标为，所以点到的距离
9、为，2分因为，所以（）；4分对于曲线，则点B的坐标为，所以点O到AB的距离为，6分因为，所以（）8分（2）因为，所以在上单调递减，所以当时，取得最大值10分因为，（）所以当时，取得最大值为，12分因为，所以选用曲线，14分且当时，点O到点C的距离最大，最大值为16分19(本小题满分16分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（1）设，求值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解析：（1）因为C1，C2的离心率
10、相同，故依题意可设2分设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得4分当时，分别用表示A，B的纵坐标，可知8分（2）t=0时的l不符合题意.时，BO/AN当且仅当BO的斜率与AN的斜率相等，即解得 12分因为，所以，解得14分所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；15分当时，存在直线l使得BO/AN.16分20(本小题满分16分)已知函数，（1）若，求的最值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）对于任意，都有成立，求整数的最大值解析：（1）f(x)的定义域为(0，)因为k1，所以f(x)xlnx，f (x)lnx1x(0，)(，)f (x)0f(x)单调递减单调递增列表如下：所以
11、，f(x)的最小值为，没有最大值；4分（2）对于任意，都有f(x)4lnx成立，等价于对于任意，都有k1(1)lnx成立， 6分令g(x)(1)lnx，所以g (x)因为，所以g (x)0，所以g(x)在时单调递增 8分因为g(x)在时的最大值是g(e3)3所以，实数k的取值范围是(2，)； 10分（3）对于任意，都有f(x)2xk成立，即对于任意，都有(lnxk1)x2xk成立，因为，所以(lnxk1)x2xk等价于k 12分令h(x)，所以h (x)令p(x)lnxx2，求得p (x)当时所以p (x)0，p(x)在上单调递增因为p(3)1ln31lne0，p(4)22ln222lne0，且p(x)图像不间断，所以p(x)在区间(3，4)内有唯一零点，14分设唯一零点为x0，则
