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1、湖南师大附中 导数的工具性 教材分析 导数de工具性 主要内容 导数的引入 导数的概念 求导的公式 求导的法则和导数的应用等 教材分析 导数de工具性 导数的应用 求函数的极值 最值 求函数的单调区间 证明函数的单调性 将导数内容和传统内容中有关不等式和函数等知识有机地结合 可解决不等式的证明 参数取值范围的确定 应用题的最优化等问题 考试要求 导数de工具性 第一层次主要考查导数的概念 求导公式 求导法则和某些与实际背景有关的问题 如瞬时速度 边际成本 加速度 切线的斜率等 导数de工具性 第二层次主要考查导数的简单应用 包括求函数的极值 求函数的单调区间 证明函数的单调性等 考试要求 导数
2、de工具性 第三层次是综合考查 包括解决应用问题 将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一块 设计综合试题 考试要求 考点例析 导数de工具性 1 导数与函数交汇 求函数的解析式 例1已知函数的图象过点 且在点处的切线方程是 I 求函数的解析式 II 求函数的单调区间 考点例析 导数de工具性 求函数的单调区间 例2已知 求函数的单调区间 考点例析 导数de工具性 求函数的极值 最值 值域 例3求函数在上的最大值和最小值 考点例析 导数de工具性 2 导数与方程交汇 例4讨论关于x的方程的解的个数 考点例析 导数de工具性 当k 0或时 原方程有一个解 当时 原方程有两个
3、解 当时 原方程无解 考点例析 导数de工具性 3 导数与数列交汇 例5求和 分析 由 得 考点例析 导数de工具性 将两边同对x求导 得 令得 即原式 考点例析 导数de工具性 4 导数与三角函数交汇 例6某人在海上以打鱼为生 他在海上A地 如图2 捕鱼 A地离海岸最近点B的距离为6km 点B离他家C点10km 如果他划船的速度为3km h 在海岸线BC上的步行速度为6km h 一天回家有事 为了尽快到家 他应在海岸线BC上离他家多远的D点着陆 并求出所用的最少时间 考点例析 导数de工具性 分析 设则有 由A经D到C所用的时间 考点例析 导数de工具性 求导可得y 令 根据实际问题的意义
4、当时 即在海岸线BC上离家的D点着陆时 所用时间最少为小时 考点例析 导数de工具性 5 导数与向量交汇 例7已知向量 若函数在区间 1 1 上是增函数 求t的取值范围 考点例析 导数de工具性 6 导数与不等式交汇 例8已知m n都是正整数 并且 证明 分析 不等式两边取自然对数后 原问题等价于证明不等式 考点例析 导数de工具性 可求得 f x 在内是减函数 考点例析 导数de工具性 因为m n是正整数 并且 即从而有 考点例析 导数de工具性 例9设 求证 当 当 考点例析 导数de工具性 F x 在是单调递增 在 0 a 是单调递减 又 F a 0 对令 当b a 0时 设 x 0 考
5、点例析 导数de工具性 a 0 当x 0时 F x 在上为减函数 又 G a 0 对 即 综上所述 原命题为真 考点例析 导数de工具性 例10已知函数 I 若b 2 且存在单调递减区间 求a的取值范围 II 设函数f x 的图象C1与函数g x 图象C2交于点P Q 过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1 C2于点M N 证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 考点例析 导数de工具性 分析 设点P Q的坐标分别是 则点M N的横坐标为 C1在点M处的切线的斜率为 C2在点N处的切线的斜率 考点例析 导数de工具性 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行 则即 考点例析 导
6、数de工具性 所以设则 令则 考点例析 导数de工具性 因为t 1时 所以r t 在上单调递增 故 则这与 矛盾 所以假设不成立 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 考点例析 导数de工具性 7 导数与解析几何交汇 考点例析 导数de工具性 8 导数与立体几何交汇 例12用长为90cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转90 角 再焊接而成 如图3 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 考点例析 导数de工具性 9 导数与应用题交汇 例13如图4 若电灯 B 可在过桌面上一点O的垂线上移动 桌面上有与点O距离为a的另一点A 问电灯与点O的距离为多大时 可使点A处有最大的照度 由光学知识知 照度y与sin 成正比 与成反比 考点例析 导数de工具性 分析 设O到B的距离为x 则 于是 c是与灯光强度有关的常数 考点例析 导数de工具性 因为由得 故在上递增 在上递减 所以在处有极大值 也是最大值 即当电灯B与O点距离为时 点A的照度y为最大
