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1、高中数学教案 新课标 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 1 课课题题 3 2 23 2 23 2 23 2 2直线的两点式方程直线的两点式方程 教学内容 教学内容 直线的两点式方程和截距式方程 教学目的教学目的 掌握直线方程两点式和截距式推导过程 掌握直线方程截距式的形式特点及适用范围并能运 用这两种形式求出直线的方程 教学重点 教学重点 直线方程两点式和截距式 教学难点 教学难点 关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k 0 时对两点式方程的讨论及变形 教学过程 教学过程 一 课前复习一 课前复习 本节的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜
2、率k 0 时对两点式的讨论及变形 直线方程的两点式可由点斜式导出 用截距式画直线比较方便 在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积 周长等问题时 经常 使用截距式 二 讲解新课二 讲解新课 提出问题提出问题 引入新课引入新课 知识点知识点 1 1 1 1直线的两点式方程直线的两点式方程 已知两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 其中x1 x2 y1 y2 求通过这两点的直线方程 解解 利用直线的斜率公式求出斜率k 然后利用点斜式写出直线的方程 x1 x2 k 12 12 xx yy 直线的方程为y y1 12 12 xx yy x x1 l的方程为y y1 12 12 xx yy x
3、 x1 当y1 y2时 方程 可以写成 12 1 12 1 xx xx yy yy 由于 这个方程是由直线上两点确定的 因此叫做直线方程的两点式 指出指出 1 由 1 12 12 1 xx xx yy yy 可以导出 12 1 12 1 xx xx yy yy 即 式是由 式导出的 但它 们表示的直线范围不同 式中只需x1 x2 它不能表示倾斜角为 90 的直线的方程 式中x1 x2且y1 y2 它不能表示倾斜 角为 0 或 90 的直线的方程 即与x轴 y轴平行或重合的直线不能用两点式表示 新疆 学案 王新敞 当x1 x2时 直线与x轴垂直 所以直线方程为x x1 当y1 y2时 直线与y轴
4、垂直 直线方程为y y1 但 式相对于 式更对称 形式更美观 更整齐 同时也便于记忆及应用 所以采用后者作为公式 由于这个方程是由直线上两点确定的 所以叫做直线方程的两点式 2 若要包含与x轴 y轴平行或重合的直线 则方程应变为 121121 yyxxxxyy 的 形式 新疆 学案 王新敞 3 推导方法二 利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等 新疆 学案 王新敞 知识点知识点 2 2 2 2直线的截距式方程直线的截距式方程 直线与x轴交于一点 a 0 定义a为直线在x轴上的截距 直线与 y 轴交于一点 0 b 定义b为直 线在y轴上的截距 截距可以是正 也可以是负 也可以为 0 但不是距离
5、求过 A a 0 B 0 b a b均不为 0 的直线方程 解 解 因为直线l经过 a 0 和 0 b 两点 将这两点的坐标代入两点式 得 a ax b y 00 0 高中数学教案 新课标 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 2 就是 b y a x 1 以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的 所以叫做直线方程的截距式 指出指出 1 截距式是两点式的特殊情形 2 当直线与x轴 y轴平行或重合时 有一个截距不存在 当直线通过原点时 两个截距均为零 在这两种情况下都不能用截距式 3 用截距式画直线比较方便 在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角
6、形面积 周长等问题时 经常使用截距式 三 典例解析三 典例解析 例例 1 1 1 1已知三角形的顶点是 A 5 0 B 3 3 C 0 2 求这个三角形三边所在直线的方程 解解 AB 所在直线的方程 由两点式 得 5 3 5 03 0 xy 即 3x 8y 15 0 BC 所在直线的方程 由斜 截式 得y 3 5 x 2 即 5x 3y 6 0 AC 所在直线的方程 由截距式 得 25 yx 1 即 2x 5y 10 0 例例 2 2 2 2已知 ABC 的顶点坐标为 A 1 5 B 2 1 C 4 3 M 是 BC 边上的中点 1 求 AB 边所在的直线方程 2 求中线 AM 的长 3 求
7、AB 边的高所在直线方程 解解 1 由两点式写方程 得 12 1 51 5 xy 即 6x y 11 0 2 设 M 的坐标 x0 y0 由中点坐标公式 x0 2 42 1 y0 2 31 1 M 1 1 AM 22 51 11 25 3 因为直线 AB 的斜率为kAB 23 15 6 设 AB 边上的高所在直线的斜率为k 则有k kAB k 6 1 k 6 1 所以 AB 边高所在直线方程为y 3 6 1 x 4 即x 6y 14 0 例例 3 3 3 3求过点 P 2 1 在 x 轴和 y 轴的截距分别为 a b 且满足 a 3b 的直线方程 解 解 当 a 3b 0 时 设所求直线的方程
8、为 b y a x 1 即 b y b x 3 1 又 直线过点 P 2 1 bb 1 3 2 1 解得 b 3 1 所求直线方程为 3 1 1 yx 1 即 x 3y 1 0 若 a 3b 0 则所求直线过原点 可设方程为 y kx 因该直线过 2 1 所求 1 2k k 2 1 所求直 线的方程为 y 2 1 x 综上所述 所求直线的方程为 x 3y 1 0 或 y 2 1 x 例例 4 4 4 4已知点P到两个定点M 1 0 N 1 0 距离的比为2 点N到直线PM的距离为 1 求直线PN的方程 解解 设点P的坐标为 x y 由题设有2 PN PM 即 2222 1 2 1 yxyx 整
9、理得x2 y2 6x 1 0 因为点N到PM的距离为 1 M 2 所以 PMN 30 直线 PM 高中数学教案 新课标 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 3 的斜率为 3 3 直线PM的方程为y 3 3 x 1 将 式代入 式整理得x2 4x 1 0 解得x 2 3 x 2 3 代入 式得点P的坐标为 2 3 1 3 或 2 3 1 3 2 3 1 3 或 2 3 1 3 直线 PN 的方程为 y x 1 或 y x 1 四 课堂练习四 课堂练习 1 1 1 1 设A B是x轴上的两点 点P的横坐标为 2 且 PA PB 若直线PA的方程为01 y
10、x 求直线PB的方程 解 解 由01 yx得A 1 0 又 PA PB 知点P为AB中垂 线上的点 故B 5 0 且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补 则斜率互 为相反数 故所求直线的斜率为 1 所以PB直线方程 05 yx 解法二 y 0 代入01 yx得A 1 0 由 01 2 yx x 解得P 2 3 设B P x 0 由 PA PB 解得 P x 5 由两点式 52 5 03 0 xy 整理得PB直线方程 05 yx 2 2 2 2 把函数y f x 在x a及x b之间的一段图象近似地看作直线 设a c b 证明f c 的近似值是 f a ab ac f b f a 证证 A B
11、C 三点共线 kAC kAB 即 ab afbf ac cfcf f c f a ab ac f b f a 即f c f a ab ac f b f a f c 的近似值是f a ab ac f b f a 五 备选习题五 备选习题 1 1 1 1 求出下列直线的截距式方程 1 横截距是 3 纵截距是 5 2 横截距是 10 纵截距是 7 3 横截距是 4 纵截距是 8 解解 1 5x 3y 15 0 2 7x 10y 70 0 3 3x 4y 12 0 2 2 2 2 已知 Rt ABC 的两直角边 AC 3 BC 4 直角顶点 C 在原点 直角边 AC 在x轴负方向上 BC 在y 轴正方
12、向上 求斜边 AB 所在的直线方程 解 解 4x 3y 12 0 3 3 3 3 求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形 并且两截距之差为 3 的直线的方程 解解 设直线方程为 b y a x 1 则由题意知 有 2 1 ab 3 ab 4 解得a 4 b 1 或a 1 b 4 则直线方程是 14 yx 1 或 41 yx 1 即x 4y 4 0 或 4x y 4 0 4 4 4 4 过点 A 5 4 作一直线l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 解 解 2x 5y 10 0 8x 5y 20 0 5 5 5 5 经过点 A 1 2 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值
13、相等的直线有几条 请求出这些直线的方程 高中数学教案 新课标 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 第三章直线与方程 3 2 第 2 课时 4 解 解 当截距为 0 时 设y kx 又过点 A 1 2 则得k 2 即y 2x 当截距不为 0 时 设 a y a x 1 或 a y a x 1 过点 A 1 2 则得a 3 或a 1 即x y 3 0 或x y 1 0 这样的直线有 3 条 2x y 0 x y 3 0 或x y 1 0 6 6 6 6 如图 已知正方形的边长是 4 它的中心在原点 对角线在坐标轴上 求正方形各边及对称轴所在直线 的方程 解解 因为 AB 4 所以 OA OB
14、22 2 4 因此 A B C D 的坐标分别 为 22 0 0 22 22 0 0 22 AB所在直线的方程是 2222 yx 1 即x y 22 0 BC所在直线的方程是 2222 yx 1 即x y 22 0 CD 所在直线的方程是 22 7 22 x 1 即x y 22 0 DA 所在直线的方程是 22 7 22 x 1 即x y 22 0 对称轴方程分别为x y 0 x 0 y 0 7 7 7 7 求经过点 A 1 2 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程 解 解 设直线在 x 轴 y 轴上截距分别为 a b 则 a b 即 a b 若 a b 0 则直线方程为 y kx 直线过 A 1 2 k 2 直线方程为 y 2x 若 a 0 b 0 则直线方程为 b y a x 1 直线过 A 1 2 则 ba 21 1 若 a b 则 a b 3 直线 方程为 x y 3 0 若 a b 则 a 1 b 1 直线方程为 x y 1 0 六 教学小结六 教学小结
