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1、2.5 特征值与特征向量教学目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量。3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An简单表示。考纲要求：二阶矩阵的特征值与特征向量（B级）教学过程：一、预习阅读教材，解答下列问题：问题：已知伸压变换矩阵M=, 向量=和=在M对应的变换作用下得到的向量和分别与有什么关系? 对伸压变压矩阵N=呢?归纳：特征值与特征向量定义：设是一个二阶矩阵，如果对于实数,存在一个非零向量，使得, 那么称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.特征向量的几何意义：特征向量的方向经过变换矩阵的作用后，保持在同一
2、条直线上，这时特征向量或者方向不变（），或者方向相反（），特别地，当时，特征向量就变成了零向量.二、建构数学特征值与特征向量求解1. 特征多项式设是二阶矩阵的一个特征值，它的一个特征向量为，则，即满足二元一次方程组，（*）由特征向量的定义知，因此不全为0，即要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有，即，把行列式称为的特征多项式.2. 特征值与特征向量求解方法（）写出矩阵的特征多项式;（）求方程的根,即为矩阵特征值;（）将的值代入二元一次方程组，得到特征向量.注: 如果向量是属于的特征向量, 那么t(tR , t0)也是属于的特征向量.三、例题讲解例1求矩阵A= 的特征值和特征向量。怎样从几
3、何直观的角度加以解释？例2已知矩阵 ，向量=，试验证下列等式成立： ()=；对任意实数，有()=。有了特征值和特征向量的知识，就有，。从而可以方便计算多次变换的结果，一般地， 设、是二阶矩阵的两个不同特征值，、是矩阵的分别属于特征值、的特征向量，即，对于平面上任意一个非零向量，设，则；，例3.已知M，试计算。四、课堂练习1矩阵的特征值_，对应的特征向量为_2求下列矩阵的特征值和特征向量（1）；（2）3试说明矩阵没有特征值和特征向量，并给出几何解释四、小结：特征值与特征向量作业1.说明矩阵 没有实数特征值和特征向量.2.求矩阵的特征值和特征向量.3.求投影变换矩阵的特征值和特征向量，并计算的值，解释它的几何意义。4.若矩阵有特征向量i =和j =, 且它们所对应的特征值分别为 . (1)求矩阵及其逆矩阵 ; (2)求逆矩阵的特征值及特征向量.4
