《新课标人教A高中数学选修45第一讲《不等式和绝对值不等式》课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标人教A高中数学选修45第一讲《不等式和绝对值不等式》课件.ppt（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一讲不等式和绝对值不等式 1 不等式 1 不等式的基本性质 对称性 传递性 a c b c a b 那么ac bc a b 那么ac bc a b 0 那么 ac bd a b 0 那么an bn 条件 a b 0那么 条件 练习 1 判断下列各命题的真假 并说明理由 1 如果a b 那么ac bc 2 如果a b 那么ac2 bc2 3 如果a b 那么an bn n N 4 如果a b cb d 2 比较 x 1 x 2 和 x 3 x 6 的大小 假命题 假命题 真命题 假命题 解 因为 x 1 x 2 x 3 x 6 x2 3x 2 x2 3x 18 20 0 所以 x 1 x 2
2、x 3 x 6 例2 已知a b 0 c d 0 求证 例1 求证 如果a b 0 c d 0 那么ac bd 证明 因为a b 0 c d 0 由不等式的基本性质 3 可得ac bc bc bd 再由不等式的传递性可得ac bc bd 练习 如果a b c d 是否一定能得出ac bd 并说明理由 例3 若a b x y R 则是成立的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 C 例5 已知f x ax2 c 且 4 f 1 1 1 f 2 5 求f 3 的取值范围 例4 对于实数a b c 判断下列命题的真假 1 若c a b 0 则 2 若a b 则a
3、0 b 0 真命题 真命题 f 3 的取值范围是 1 20 例6 已知a 0 a2 2ab c2 0 bc a2 试比较a b c的大小 解 因为bc a2 0 所以b c同号 又a2 c2 2ab 0 且a 0 所以b 且c 0 因为 a c 2 a2 2ac c2 2ab 2ac 2a b c 0 所以b c 0 当b c 0 即b c时 b 得所以a2c c3 2a3即a3 c3 a3 a2c0 b 0 c 0 所以2a2 ac c2 0 故a ca2 所以b2 a2 即b a 又a2 2ab b2 a b 2 0 所以a b 与前面矛盾 故b c 所以a c b 小结 理解并掌握不等式
4、的六个基本性质 作业 课本P10第3题 求证 1 如果a b ab 0 那么 2 如果a b 0 c d 0 那么ac bd 选做题 设a b c d 求证 ac bd a b c d 2 基本不等式 定理1如果a b R 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时等号成立 探究 你能从几何的角度解释定理1吗 分析 a2与b2的几何意义是正方形面积 ab的几何意义是矩形面积 可考虑从图形的面积角度解释定理 如图把实数a b作为线段长度 以a b为例 在正方形ABCD中 AB a 在正方形CEFG中 EF b 则S正方形ABCD S正方形CEFG a2 b2 S矩形BCGH S矩形JCDI 2ab
5、 其值等于图中有阴影部分的面积 它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和 即a2 b2 2ab 当且仅当a b时 两个矩形成为正方形 此时有a2 b2 2ab 定理2 基本不等式 如果a b 0 那么当且仅当a b时 等号成立 证明 因为 a b 2 0 所以a b 上式当且仅当 即a b时 等号成立 称为a b的算术平均 称为a b的几何平均 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均 如图在直角三角形中 CO CD分别是斜边上的中线和高 设AD a DB b 则由图形可得到基本不等式的几何解释 例3求证 1 在所有周长相同的矩形中 正方形的面积最大 2 在所有面积相同的矩形中 正方形的周
6、长最短 结论 已知x y都是正数 1 如果积xy是定值p 那么当x y时 和x y有最小值2 2 如果和x y是定值s 那么当x y时 积xy有最大值 A B E N M F D C Q P H G 例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所 它的主体造型平面图 右图 是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域 计划在正方形MNPQ上建一座花坛 造价为每平方米4200元 在四个相同的矩形上 图中阴影部分 铺花岗岩地坪 造价为每平方米210元 再在四个空角 图中四个直角三角形 上铺上草坪 造价为每平方米80元 1 设总造价为S元 AD长为x米 试建立S关于x的函数关系式
7、 2 当x为何值时S最小 并求出这个最小值 课堂练习 课本P10第5题 第6题 第9题5 设a b R 且a b 求证 1 2 6 设a b c是不全相等的正数 求证 1 a b b c c a 8abc 2 a b c 9 已知x y R 求证 小结 理解并熟练掌握基本不等式及其应用 特别要注意利用基本不等式求最值时 一定要满足 一正二定三相等 的条件 作业 课本P10第7 8 10题 第11题为选做题 3 三个正数的算术 几何平均不等式 练习 是锐角 求y sin cos2 的最大值 13 在对角线有相同长度的所有矩形中 怎样的矩形周长最长 怎样的矩形面积最大 14 已知球的半径为R 球内
8、球圆柱的底面半径为r 高为h 则r与h为何值时 内接圆柱的体积最大 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式实数a的绝对值 a 的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离 O a A x a x A B a b a b 任意两个实数a b在数轴上的对应点分别为A B 那么 a b 的几何意义是A B两点间的距离 联系绝对值的几何意义 从 运算 的角度研究 a b a b a b 等之间的关系 分ab 0和ab0时 如下图可得 a b a b O x a b a b O x a b a b 2 当ab0 b 0 如下图可得 a b a b O b a x a b 如果a0 如下图可得 a b
9、 a b a b a b x O 3 如果ab 0 则a 0或b 0 易得 a b a b 定理1如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 探究如果把定理1中的实数a b分别换成向量a b 能得出什么结果 你能解释它的几何意义吗 O x y 探究当向量a b共线时 有怎样的结论 这个不等式称为绝对值三角不等式 定理1的代数证明 探究你能根据定理1的研究思路 探究一下 a b a b a b 等之间的其他关系吗 例如 a b 与 a b a b 与 a b a b 与 a b 等之间的关系 a b a b a b a b a b a b 如果a b是实数 那么 a b
10、a b a b 例1已知 0 x a y b 求证 2x 3y 2a 3b 5 证明 2x 3y 2a 3b 2x 2a 3y 3b 2 x a 3 y b 2 x a 3 y b 2 x a 3 y b 2 3 5 所以 2x 3y 2a 3b 5 定理2如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 证明 根据绝对值三角不等式有 a c a b b c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 B 例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工 这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处 现要在公路沿线建两个施工队的
11、共同临时生活区 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次 要使两个施工队每天往返的路程之和最小 生活区应该建于何处 分析 假设生活区建在公路路碑的第xkm处 两个施工队每天往返的路程之和为S x km 则有S x 2 x 10 x 20 要求问题化归为求该函数的最小值 可用绝对值三角不等式求解 练习 课本P20第1 2题 求证 1 a b a b 2 a 2 a b a b 2 b 2 用几种方法证明 D D C 小结 理解和掌握绝对值不等式的两个定理 a b a b a b R ab 0时等号成立 a c a b b c a b c R a b b c 0时等号成立 能应用定理解决一些证
12、明和求最值问题 作业 课本P20第3 4 5题 2 绝对值不等式的解法 复习 如果a 0 则 x a的解集是 a a 1 ax b c和 ax b c c 0 型不等式的解法 换元法 令t ax b 转化为 t c和 t c型不等式 然后再求x 得原不等式的解集 分段讨论法 例3解不等式 3x 1 2 例4解不等式 2 3x 7 补充例题 解不等式 ax b c c 0 型不等式比较 课堂练习 P20第6题 利用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法 作业 P20第7题 第8题 1 3 练习 P20第8题 2 补充练习 解不等式 1 1x 3 答案 1 x 0 x 1或 2 x 1 2 x 5 x 1或3 x 7 3 作业 8 解不等式
