《新新教案系列高中数学2.2直接证明与间接证明教案苏教选修12.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新新教案系列高中数学2.2直接证明与间接证明教案苏教选修12.pdf（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新新教案高中数学选修 教 学 札记 3 3 73 3 73 73 73 73 73 73 证法 73 73 73 73 73 73 只需要证明 7 3 73 73 73 73 73 73 73 成立 证法 0 0 只需证3 0 即可 由于 的出现 需考虑4 8 由正弦定理有 0 9 0 9 由于0 9 0 9 3 0 即有3 0 证毕 点 评 本题采用分析法与综合法交错使用 当然我们可 以只用综合法将证明过程叙述出来 那样会更简洁 但这必 须在分析之后 反思感悟 分析法的思路是执果索因 综合法的思路是由因导果 在解决有关问题时 常常把分析法和综合法结合起来运用 先以分析法为主寻求解题思路 再用
2、综合法表述解答或证明 过程 有时要分析法和综合法结合起来交替使用 课后作业 一 填空题 如果公差不为零的等差数列中的第二 第三 第六项构 成等比数列 那么这个等比数列的公比等于 解 析 由综合法推知 于是D 答案 若 且 7 则在 槡 和 中最大的是 答案 若 且满足 1 则 的最小值 应为 解 析 1 即 71 0 即 槡 1 答案 槡 1 已知 2 则 1 1 与5 的大小 关系是 解 析 5 1 1 令 P P P P 7 恒成立 7 5 答案 5 在等比数列2 3 中 则 解 析 设等比数列的公比为D 则依条件有 D D D D D 2 1D D D 1D D 2 D 新新教案高中数学
3、选修 教 学 札记 7 答案 函数2 3 在区间 上是增函数 函数2 3 是偶函数 则 的大小关 系是 解 析 2 3 是偶函数 7 3 3 则3 是 3 的对称轴 又 3 在区间 上是增函数 7 又 7 答案 设向量 满足 6 6 若 则 等于 解 析 6 7 6 7 1 0 即 7 7 1 1 2 7 答案 0江苏高考 设 和 为不重合的两个平面 给 出下列命题 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直 线 则 平行于 若 外一条直线Q与 内的一条直线平行 则Q和 平行 设 和 相交于直线Q 若 内有一条直线垂直于Q 则 和 垂直 直线Q与 垂直的充分必要条件是Q与 内的两条 直线垂直
4、上面命题中 真命题 的序号是 写出所有真命 题的序号 解 析 命题 是两个平面平行的判定定理 正确 命 题 是直线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 正 确 命 题 中在 内可以作无数条直线与Q垂直 但 与 只是 相交关系 不 一 定 垂 直 错 误 命 题 中 直 线Q与 垂直可推出Q与 内两条直线垂直 但Q与 内的两 条直线垂直推不出直线Q与 垂直 所以直线Q与 垂直的必要不充分条件是Q与 内两条直线垂直 答案 图 0 0 二 解答题 设抛物线2 C 3 C 的焦 点为J 经过点J的直线交抛物 线于 两点 点8在抛物线的 准线上 且 8 3轴 如图 0 0 证明 直线 8经过原点I
5、证明 因为抛物线2 C 3 C 的焦点为J C 所以经过点J的直线 的方程可设为 3 B 2 C 代入抛物线方程 得2 C B 2 C 若记 3 2 3 2 则2 2 是该方程的两个 根 所以2 2 C 因为 8 3轴 且点8在准线3 C 上 所以点8的坐标为 C 2 故直线8 I的斜率为E 2 C C 2 2 3 即E也是直线I 的斜率 所以直线 8经过原点I 已知数列2 3 的通项公式 2 3 它的前 项和 记为 数列2 3 是首项为 公差为 的等差数列 求 与 的解析式 试比较 与 2 3 的大小 解 由已知得 1 2 3 7 槡 2 3 7 槡 当 时 槡 槡 7 槡 槡 槡 当 时
6、槡 槡 有 当 时 槡 槡 槡 有 当 时 槡 槡 槡 有 当 时 槡 槡 槡 有 当 时 槡 槡 槡 有 猜想 当 时 证明如下 要证 槡 槡 槡 槡 槡 7只需证明 槡 槡 槡 只需证明 槡 槡 槡 只需证明 槡 由均值定理 有 槡 7只需证明 即 7当 时 成立 综上 当 或 2 3时 当 和 时 推理与证明第 章 教 学 札记 间接证明 情境创设 有这样一个小故事 王戎小时候和小朋友在路上玩耍 一天 他们发现路边的一棵树上结满了李子 小朋友一哄而 上 去摘李子 独有王戎没动 等到小朋友们摘了李子一尝 原来是苦的4 他们都问王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王戎说 假如李子不苦的话 早被路人
7、摘光了 而这树上却 结满了李子 所以李子一定是苦的 这是很著名的 道旁苦 李 的故事 实质上王戎的论述 也正是运用了反证法 同学 们 你能明白吗 合作探究 探究一 反证法 阅读课本中的相关内容 想一想 反证法的实质是什么 你是如何理解的 反证法的实质就是否定结论导出矛盾 从而说明原结论 正确 议一议 应用反证法解题的一般思路是怎样的 探究 反证法的一般思路是 否定结论 假设要证明 的结论不成立 假定结论的反面成立 推理论证 由 否定 结论 出发 通过正确的推理 导出矛盾 肯定结论 因为 推理正确 产生矛盾的原因在于 否定结论 的错误 既然结 论的反面不成立 从而肯定了结论成立 例如 求证槡 是
8、无理数 时 首先假设 槡 是有理数 再推理论证 议一议 反证法解题中常见的主要矛盾有哪些 探究 常见的矛盾主要有 与假设矛盾 与公认的事实矛盾 与数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论 矛盾 议一议 应 用 反 证 法 证 明 数 学 命 题 的 一 般 步 骤 是 怎 样的 探究 应用反证法证明数学命题的一般步骤 反设1 1 1假设命题的结论不成立 即假定原结论的 反面为真 归谬1 1 1从反设和已知条件出发 经过一系列正确 的逻辑推理 得出矛盾结果 存真1 1 1由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结 论成立 提 升 总 结 反证法是间接证明的一种 它是从假设结论 不成立入手 推出与
9、 已知条件 假设 公理 定理或显然成立 的事实 等相矛盾的结果 从而判定假设错误 结论正确的一 种证明方法 温 馨 提 示 对结论否定时要全面否定 不能有遗漏 被否定的结论 在推理论证中作为已知条件使用 反证法常用于存在 至少 至多 全部 等字眼题目 的证明 例 若 是整数 且 能被 整除 求证 能被 整除 分 析 本题宜采用反证法 注意 可假设 为奇数 证明 假设 不能被 整除 则 2 所以 所以 不能被 整除 这与已知相矛盾 所以假设不成立 即 能被 整除 点 拨 从正面直接证明不容易的题目 宜采用反证法 也 就是 正难则反 跟踪练习 用反证法证明命题 若 不是偶数 则 都不是偶数 时 应
10、假设为 错 解 若 不是偶数 则 不都是偶数 错 解 分 析 不都是偶数包括的情况是 是偶数 是奇数 是奇数 是偶数 都不是偶数 显然 否 定的结论并不是结论的对立面 所以不正确 题目中 都 不是偶数 指 都是奇数 正 确 解 法 若 不是偶数 则 不都是奇数 跟踪练习 已知 都是大于 且小于 的实数 求证 中至少有一个不大 于 分 析 结论的否定是 都大于 这样比原命题的结论更加具体明确 因此我们可以尝试 用反证法 证明 假设 由基本不等式可得 槡 槡 槡 于是 1 1 2 这与事实相矛盾 从而 假设不成立 原命题成立 所以 中至少有一个不大于 点 拨 本题属于结论的反面比结论本身更为明确的
11、命题 探究二 直接证明与间接证明的区别与联系 想一想 前面我们学习了直接证明与间接证明 二者之 间有何区别与联系呢 议一议 证明由论题 论据和论证三部分组成 论题是要 判断真实性的命题 论据是证明中确立论题真假的依据 可 作为论据的有题设 定义 定理 公理等 论证则是把论题和 论据联系起来的一系列推理 也就是证明过程中采用的推理 形式 证明要求论题真实 论据确凿 论证严密 它分为直接 证明和间接证明 直接证明 从命题条件出发 根据已知的概念 定义 定 理 公理直接推断结论真实性的证明方式 其主要证明方法 有综合法和分析法 综合法和分析法是紧密联系 不可分割 新新教案高中数学选修 教 学 札记
12、的 在解答数学题时 一般是先进行分析 寻找解题途径 再 用综合法写出解题过程 当论题较为复杂时 常常联合运用 分析法和综合法 分别从题设和结论出发 找到解题途径 然 后加以整理并用综合法写出 间接证明就是不直接证明论题 而是通过证明反论题的 错误性 或者通过证明论题的等价命题的正确性 来确立论 题的正确性的证明方式 其主要方法是反证法 反证法也叫 归谬法 其推证过程就是推出矛盾的过程 提 升 总 结 推理与证明是数学中逻辑思维的具体体 现 也是运用数学知识解决一些问题的基本功 三种证明方 法 应用最广泛的是解决不等式的证明问题 应用三种证明方法 除了解决不等式的证明问题以外 还可以解决一些数列
13、 三角 几何等相关证明问题 同时 三种证 明方法的思维方式 也是我们在解决实际问题时常常运用的 图 0 0 例 如图 0 0 设 是圆锥的两 条母线 I是 底面圆心 8是 上一点 求 证 8与平面 I 不垂直 分 析 证明它们平行或相交不容易 故可 考虑用反证法 证明 假设 86平面 I 直线 I在平面 I 内 7 86 I I6底面圆I 7 I6 7 I6平面 7平面 底面圆I 这显然与事实矛盾 7假设 不成立 即 8与平面 I 不垂直 点 拨 否定性的问题常用反证法 例如证明异面直线 可 以假设共面 再把假设作为已知条件推理导出矛盾 跟踪练习 求证 2 3 3 2 3 3 2 3 3 是互
14、不相等的实数 条抛物线至 少有一条与3轴有两个交点 证明 假设三条抛物线均与3轴无两交点 则 7 即 7 与已知 是互不相等的实数矛盾 故抛物线至少有一条与3轴有两个交点 备选例题 例 函数 3 在 上为增函数 对命题 若 2 则 写出其逆命题 判断其真假 并证明你的结论 写出其逆否命题 并证明你的结论 分 析 逆命题是原命题的条件和结论互换后的命题 逆否命 题是原命题的条件和结论都否定后再互换的命题 这两个题都宜 采用反证法 注意 的否定是 的否定是 解 逆命题 若 则 是真命题 下面用反证法证明 假设 则 因 为 3 是 上 的 增 函 数 所 以 所以 与已知 条 件 相 矛 盾 故 假
15、 设 不 成 立 所 以 逆 命 题 为真 逆否命题 若 则 是真命题 下面用反证法证明 假设 则 因为 3 在 上是增函数 所以 所以 与已知条 件相矛盾 故假设不成立 所以逆否命题为真 点 拨 本题利用函数单调性进行推理论证 考查了逻辑 函数单调性等知识点 综合性较强 例 求证 槡 槡 槡 不能为同一等差数列的三项 证明 设槡 槡 槡 为某一首项为 公差为 的等差数 列2 3 的三项 则 槡 槡 B 槡 槡 其中B 为整数且不为零 两式相除 得槡 槡 槡槡 B 即 槡 B槡 B 槡 7 B 槡 B B 7槡 B B B B B B 为有理数 槡 为无理数 7槡 7 B B B 因此假设不成
16、立 7原命题正确 例 若两平行直线 中一条与平面L相交 则另一 条也与平面L相交 分 析 直接证明直线与平面相交比较困难 故可考虑用反 证法 证明 不妨设直线 与平面L相交 与 平行 证 亦 与平面L相交 设 不与平面L相交 则必有下面两种情况 在平面L内 由 则 平面L 与题设矛盾 平面L 设平面L内有直线 使 又 故 所以 平面L 这也与题设矛盾 综上所述 与平面L只能相交 反思感悟 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明 方法通常称为间接证明方法 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾 可以是与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公式 定 理 事实矛盾等 课后作业 一 填空题 应用反证法推出矛盾的推导过程中 下列可以作为条 件使用的有 结论的相反判断 即假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 推理与证明第 章 教 学 札记 解 析 由反证法的定义可知 答案 求证 一个三角形中 至少有一个内角不小于 8 用反 证法证明时的假设应为 三角形的 答案 三个内角都小于 8 有下列叙述 的反面是 3 2 的反面是 3 2或3 2 三角形的外心在三角形外 的反面是 三
