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1、新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 直 直线线的的方方程程 直线的点斜式方程 课标解读 课标要求学习目标 经历由一个点和斜率导出直 线方程的过程 提高学生分析 比较 概括 化归的数学能力 掌握直线方程的点斜式 斜 截式 并能根据条件熟练地求 出满足已知条件的直线方程 初步了解用代数方程研究几何 问题的思路 培养学生综合运 用知识解决问题的能力 通 过 实 例 体 会 待 定 系 数 法 在求直线方程中的应用 能够根据确定直线的几何元 素 推导出直线的点斜式方程 要 注 意 点 斜 式 方 程 适 用 的 范围 掌握点斜式方程的特例 斜截式方程 能够熟练地运用两种方程和 待定系数法
2、求直线的方程 教学策略 重点难点 本节内容的重点是直线方程的点斜式的推导及运用 难 点是直线与方程对应关系的说明 点斜式与斜截式的直线方 程的使用范围的考虑 教学建议 在得到直线的点斜式方程 之后 用 曲线与方程 的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上 即若点 在直线上 点 的坐标适合方程 反之 点 的坐 标适合方程 说明点 在直线上 对于直线的点斜式方程的推导 要注重培养学生的数 形结合思想 强调该方程的适用范围 对于直线方程的斜截式方程的讲解 要强调 截距 与 距离 的区别 并注意与一次函数的结合 情境创设 在直角坐标系 中 直 线 上 的 一 个 点 和 倾 斜 角 只 要 确 定 直线
3、便被确定了 同样直线上的一个点和斜率只要确 定 直线便被确定了 那么直线上的任意点的坐标 和斜率之间有何关系呢 它们之间能否用一个式子联系 起来呢 合作探究 探究一 直线的点斜式方程 想一想 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 如 何 才 能 确 定 一 条 直线 在上两节 课 中 学 习 了 直 线 的 几 何 要 素 倾 斜 角 和斜率 已知直线上的一点和直线的倾斜角 斜率 可 以 确定一条直线 议一议 已知一条直线过定点且其斜率存在 能否获取 该直线的方程 图 探究 如图 所示 直线 经过点 且斜率为 设 点 是直线 上不同于点 的任意一点 因为直线 的斜率为 由斜率公式得 即 由以上的
4、推导过程可知 过点 斜率为 的直线 上的 点的坐标都满足方程 反过来 坐标满足方程 的点都在过点 斜率为 的直线 上 提升总结 方程 由直线上一定点及其 斜率确定 把这个方程叫做直线的点斜式方程 简称点斜式 温馨提示 要注意到 与 是不同的 前者表示的直线上缺少一个点 后者 才是整条直线 只有斜率存在的直线才有点斜式方程 过点 斜率不存在的直线方程可表示为 例 写出下列直线的点斜式方程 经过点 斜率是 经过点 倾斜角是 经过点 与 轴平行 经过点 与 轴垂直 分 析 找到点斜式的两个要素 定点与斜率 解 点 拨 使用点斜式方程 必须注意前提条件是斜率存在 跟踪练习 经过 点 且 倾 斜 角 为
5、 的 点 斜 式 直 线 方 程是 槡 槡 槡 槡 解 析 槡 则直线方程为 槡 答案 探究二 直线的斜截式方程 议一议 已知直线 的斜率为 且与 轴的交点为 直线与方程第三章 教 学 札记 试求直线 的方程 探究 直线 与 轴的交点为 即过定点 且 的斜率为 代入直线的点斜式方程 得 即 提升总结 斜率是 与 轴的交点为 的直线 的方程为 我们称 为直线 在 轴上的截距 这 个方程是由直线 的斜率和它在 轴上的截距所确定的 所 以叫做直线的斜截式方程 简称斜截式 温馨提示 直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况 此时的点为直线与 轴的交点 直线的斜截式方程不包括倾斜角为 的直线 一次函数 中 表
6、示直线的斜率 是直线在 轴上的截距 截距与距离是两个不同的概念 距离必须大于或等 于 截距可取一切实数 即可为正数 零 负数 例 写出下列直线的斜截式方程 斜率是 在 轴上的截距是 倾斜角是 在 轴上的截距是 倾斜角是 在 轴上的截距是 分 析 根据题意 明确斜率与在 轴上的截距两个基本量 解 槡 槡 槡 槡 点 拨 直线在 轴上的截距是直线与 轴交点的纵坐 标 可以是负数 零 正数 跟踪练习 直线 的斜率以及在 轴上的截距分 别是 解 析 将直线 变形得 则 答案 直线 绕着它与 轴的交点逆时针旋转 后 所得的直线方程为 解 析 根据题意知 交点坐标为 斜率为 直 线方程为 答案 探究三 两
7、条直线的位置关系的判定 想一想 如何判定两条直线平行与垂直 通过前面的学习 大家知道 对于两条不重合的直线 其斜率分别为 如果两条直线都有 斜率 则 议一议 已知直线的斜截式方程 如何判定两条直线的 位置关系呢 探究 已知直线 若 则 此时 与 轴的交点不同 即 反之 且 时 若 则 反 之 时 提升总结 对于直线 且 例 已知直线 与点 直线 过点 若 求直线 的斜截式方程 若 求直线 的截距式方程 分 析 由题目可获取以下主要信息 直线 过 点 直线 解答本题可先求出直线 的斜率 然后由点斜式写出 的方程 也可直接设直线 的方程为 然后把 点坐标代入 求出 由题目可获取以下主要信息 直线
8、过点 直线 与直线 垂直 解答本题可先由垂直 关系求出 的斜率 然后由点斜式写出方程 也可直接设直 线 的方程为 由 过点 求出 解 与 平行 的斜率 由直线 方程的点斜式知 的方程为 即 与 垂直且 的斜率为 即 点 拨 针对这种类型的题目 一般有两种思路 第一 先 由题目中的平行与垂直求出斜率 再由点斜式写出方程 第 二 用待定系数法设出所求方程 如与 平行的直线 方程可设为 与 垂直的直线方程可设为 其中 为待定系数 跟踪练习 直线 的方程为 若 在 轴 上的截距为 则 解 析 将直线方程 变形为 由于 在 轴上的截距为 即 解得 答案 当 为何值时 直线 与直线 平行 当 为何值时 直
9、线 与直线 垂直 解 由题意知 解得 当 时 直线 与直线 平行 由题意知 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 解得 当 时 直线 与直线 垂直 备选例题 例 求过点 且在坐标轴上截距相等的直线 的方程 分 析 解答本题可考虑把直线 设为点斜式 然后求出 直线 在两坐标轴上的截距 利用截距相等求出 解 由题意可知直线 的斜率存在 设过点 的直线方程为 令 则 令 则 由已知条件 得 解得 或 所求直线的方程为 或 点 拨 掌 握 求 截 距 的 方 法 注 意 对 斜 率 是 否 存 在 的 探讨 例 直线 经过点 且与两坐标轴围成的 三角形的面积为 试求直线 的方程 分 析 设
10、出直线 的点斜式方程 求出纵 横截距 表示 出三角形的面积 从而求 解 易知直线 与两坐标轴不垂直 因为 过点 所以可设直线 的方程为 则直线 与 轴 的交点为 与 轴的交点为 由题意得 所围成三角形的面积 即 当 时 方程可化为 解此方程 得 或 当 时 方程可化为 此时方程无解 故所求直线的方程为 或 点 拨 本题把直线的方程与三角形的面积结合在一起 一方面要注意截距与线段长度的区别 不要忘记加绝对值符 号 另一方面注意解方程时要进行分类讨论 反思感悟 如果直线过点 且与 轴垂直 此时它的倾斜 角 斜率不存在 它的方程不能用点斜式进行表示 这 时直线方程为 如果直线过点 且与 轴垂直 这时
11、倾斜角 即 由点斜式方程得 如果直线过点 且斜率为 则该直线的点斜 式方程为 直线的斜截式为点斜式的特例 即将任意的点 特殊化为 而得到 课后作业 下列关于直线的点斜式方程 说法 正确的是 可以表示任何一条直线 不能表示过原点的直线 不能表示与 轴垂直的直线 不能表示与 轴垂直的直线 解 析 由点斜式方程适用的范围知选 答案 直线 的图象可能是 解 析 理解 与 的几何意义 答案 直线 槡 的倾斜角和所过的定点分别 为 答案 直线 在 轴上的截距是 解 析 令 得 则直线 在 轴上的截距为 故选 答案 集合 直线的斜截式方程 一次函数的解析 式 则集合 间的关系是 以上都不对 解 析 斜截式方
12、程一定可化为一次函数解析式 且一 次函数的解析式也能化为直线的斜截式方程 答案 已知直线过点 其斜率与直线 的 斜率相同 则该直线的方程为 解 析 由题意知 直线的斜率为 由点斜式方程得 答案 已 知 直 线 方 程 为 则 直 线 经 过 点 斜率为 解 析 将 方 程 变 形 为 直线与方程第三章 教 学 札记 则定点为 斜率为 答案 已知直线 的斜率为槡 在 轴上的截距是 则 的方程是 解 析 在 轴上的截距是 直线过点 由点斜式知 槡 答案 槡 在直线方程 中 当 时 求此直线方程 解 当 时 直线过点 所以有 解得 当 时 直线过点 所以有 解得 所以所求直线方程是 或 过点 的直线
13、 在两坐标轴上的截距的绝对值 相等 求直线 的方程 解 依条件设 的方程为 令 得 令 得 在两坐标轴上的截距的绝对值相等 即 解得 故所求直线 的方程为 或 或 点 拨 截距的绝对值相等包括三种情况 直线的斜 率为 直线的斜率为 直线过原点 直线的两点式方程 课标解读 课标要求学习目标 掌握直线的两点式 截距式方程 并能 根据条件熟练地求出满足已知条件的直 线方程 让学生经历直线的两点式方程的发现 过程 提高学生分析 比较 概括 化归的 数学能力 体会数 形的统一美 激发学生学习数 学的兴趣 并且继续渗透数形结合与分类 讨论的数学思想方法 能够根据直线上 的两点 推导出直线 的两点式方程 注
14、意两点式方程 所适用的范围 掌握两点式方程 的特例 截距式 教学策略 重点难点 本节的重点是直线的两点式 截距式方程的应用 难 点是直线的两点式 截距式方程的推导及两个公式适用 的前提条件 教学建议 结合直线的点斜式方程 求过已知点的直线的方程 让学生 悟 出学习两点式的必要性 同时也 悟 出两点式的 推导方法 引导学生探索两点式的适用范围 注意与点斜式 斜截式的比较 掌握四种特殊形式的 直线方程之间的互化 注意截距的含义 研究截距的相等问题时 要注意验 证过原点的情形 情境创设 两个黄鹂鸣翠柳 一行白鹭上青天 这样的意境太优 美了 以至流传千年 白鹭细细的长颈 洁白的羽毛 楚楚动 人 这小精
15、灵的翅膀竟有二尺多长 远远望去一行白鹭展翅起 飞 它们雪白的身影映着晴空 画出一条美丽的直线 我们知道 两点确定一条直线 当已知直线上的两点 的坐标时 怎样求该直线的方程呢 合作探究 探究一 直线的两点式方程的推导 想一想 我们是怎样推导直线的点斜式方程的 点斜式方程是 是直线 上的 某一定点 的坐标 是这条直线的斜率 点斜式的推导过 程主要依据直线上一个定点 与直线上除 外任意一点 所确定的斜率相等 并且就是此直线 的斜率 所以有 整理可得 议一议 已知直线 上的两点 其中 你能求出直线的方程吗 探究 经过一定点 且已知直线的斜率 可以求出直线的 点斜式方程 由于 是直线上的两点 且 则直线
16、 的斜率 又因为直线 过点 所以代入点斜式方程得 因为 则上式可变形为 提升总结 经过两点 其中 的直线方程为 我们把它叫做直线 的两点式方程 简称两点式 温馨提示 方程 与 相比 显然后者比前者表示的直 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 线的范围小 但后者便于记忆和应用 所以采用后者作为公式 当直线没有斜率 或斜率为 时 不能用两点式方程 若 则直线方程为 若 则直线方程为 把直线的两点式方程化为 则表示过平面的任意已知两点的直线方程 图 例 如图 三角形的顶点 是 求这 个 三 角 形 三 边 所 在 直 线 的 方程 分 析 根据两点式方程 分别 求 出 三 角 形 的 三 边 所 在 的 直 线 方程 解 直线 过 两点 由两点式得 整理得 这就是直线 的方程 直线 过 点 点 斜 率 是 由点斜式得 整理得 这就是直线 的方程 直线 过 两点 由两点式得 整理得 这就是直线 的方程 点 拨 准确地记住直线方程的两点式 一般情况下 最 后结果要化为直线方程的一般式 本题也可用点斜式写出直 线方程 跟踪练习 已知 的顶点 则 边上的中线所在的直线方程为 解 析 利
