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1、数系的扩充与复数的引入第 章 教 学 札记 T T 都是纯虚数 7 3 2 2 3 2 2 3 3 2 27 2 3 2 7 解得 3 2 2 若B为实数 T B 1 B B B 9 T B 1 B B B 9 则使T T 的B值的集合 是什么 使T T 的B值的集合又是什么 解 由题意 知T T 2 7 B B B B B B 2 解得B 7T T 7使T T 的B值的集合是G 使T T 的B值的 集合是2 3 复 复数数的的四四则则运运算算 课标解读 课标要求学习目标 理 解 复 数 代 数 形 式 的 四 则运算法则 能 进 行 复 数 代 数 形 式 的 四则运算 能熟练 准确地运用加
2、减法的运算法则 运算律 解决复数的加减运算及相关问题 能进行复数代数形式的乘除法运算 理解乘除 法的运算法则 复数的除法运算中 应理解 分母实数化 的思 想方法 在 学 习 过 程 中 掌 握 各 种 运 算 的 性 质 和 常 用 结论 教学策略 复数的运 算 是 复 数 部 分 的 核 心 内 容 复 数 的 代 数 表示形式及向量表示形式是运算的基础 由于复数的概 念是实数概念的扩展 因此复数运算应遵循实数的运算 律和运算顺序 教学时应类比实数的加减法运算 联想并 规定复数的加减法运算 类比实数的运算律得出复数的 运算律 教学时类比实数减 法 的 意 义 说 明 复 数 也 应 该 有
3、减法 并且同实数的减法的意义一样 复数的减法也应该 是加法的逆运算 利用已经学习过的加法的法则类比出 复数的减法法则 并且明确地知道两个复数的差是一个 确定的复数 复数代数形式的乘法运算法则也是一种规定 与复数 加减法一样 可按与多项式相乘类似的办法进行 复数的乘法运算满足交换律 结合律及乘法对加法的 分配律 教学时可引导学生进行简单的证明 教学时要求学生类比实数的除法 联系复数减法法则 的引入过程 探求复数除法的法则 教学中引导学生认真体会 复数问题实数化 这一重 要的数学思想和方法 第一课时 情境创设 我们知道 虚数单位9可以与实数进行四则运算 那 么任意两个复数能否进行四则运算呢 加 减
4、 乘 除 的 运算法则又是什么样的呢 从这节课开始我们就研究这 个问题 合作探究 探究一 复数的加减法满足的运算法则和运算律 想一想 类比实数的加法运算 合并同类项 联想并规定 复数的加法的运算法则如下 设T 9 T 9 2 那么T T 9 9 9 显然两个复数的和仍是一个复数 提 升 总 结 两个复数相加就是把实部与实部 虚部与虚 部分别相加 想一想 我们都学习过哪些运算律 这些运算律在复数 系中还成立吗 回忆 在实数系中有加法交换律和加法结合律 猜想它 们仍成立 证明 设T 9 T 9 T 9 T T 9 9 9 9 9 9 T T 7交换律T T T T 仍成立 T T T 9 9 9
5、T T T 9 9 9 7结合律 T T T T T T 仍成立 想一想 任何一个实数都有唯一的相反数 那么任何一 个虚数是否也有唯一的相反数呢 类比实数的相反数的概念 引导学生联想并规定如下 已知复数 9 2 根据加法的定义 存在唯一的复数 9 使 9 9 则 9叫做复数 9 2 的相反数 议一议 复数减法的运算法则应如何规定 探究 类比实数减去一个数等于加上这个数的相反数的 规定 引导学生联想并规定复数减法的法则如下 9 9 9 9 9 提 升 总 结 两个复数相加 减 就是把实部与虚部分别 相加 减 例 计算 9 1 9 1 9 解 9 1 9 1 9 1 1 9 9 新新教案高中数学选
6、修 教 学 札记 跟踪练习 计算 9 1 9 9 1 9 解 9 1 9 9 1 9 1 1 9 1 9 点 拨 复数的加减法 相当于多项式加减法中的合并同 类项的过程 探究二 复数乘法的运算法则和运算律 想一想 复数乘法应满足怎样的运算法则 类比实数的乘法 复数也应该有乘法运算 两个复数的 乘法运算可以按照多项式的乘法运算来进行 只是在遇到9 时 把9 换成 并把最后的结果写成 9 2 的 形式 设T 9 T 9 2 则有T 0T 9 9 9 9 9 9 9 9 显然 两个复数的积仍是一个复数 议一议 在实数系中乘法有哪些运算律 它们在复数系 中还成立吗 探究 联想得出 在实数系中 乘法有交
7、换律 结合律和 乘法对加法的分配律 它们在复数系中仍然成立 即对任意 复数T T T 有T 0T T 0T T 0T 0T T 0 T 0T T 0 T T T 0T T 0T 这三个运 算 律 是 很 容 易 证 明 的 请 同 学 们 课 后 自 主 完成 例 计算 9 1 9 1 9 9 1 9 分 析 复数的代数形式相乘 可按类似多项式的乘法进 行 不必去记公式 解 原式 1 9 9 2 1 9 1 9 原式 9 1 9 1 1 9 1 9 跟踪练习 计算 9 9 9 9 解 原式 跟踪练习 设复数T 19 T 3 9 32 若 T T 为实数 则3 解 析T T 1 9 3 9 3
8、3 9 32 T T 为实数 73 2 即3 答案 探究三 共轭复数的概念 想一想 关于共轭复数是如何定义的 当两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个复 数叫做互为共轭复数 复数T的共轭复数用T表示 即如果 T 9 2 那么T 9 2 当复数T 9的虚部 时 有T T 也就是说 任一实数的共轭复数 仍是它本身 当 7 时 9 2 与 9 2 也 叫做共轭虚数 提 升 总 结 如果两个复数的实部相等 而虚部互 为相反数 则 这 两 个 复 数 叫 做 互 为 共 轭 复 数 T的 共 轭 复数用T表 示 任 一 实 数 的 共 轭 复 数 仍 是 它 本 身 共轭 复 数 有 如 下 性
9、质 T T T UT T UT T T T T 例 已知复数3 3 1 3 3 9 32 是 9的共轭复数 求3的值 解 9的共轭复数为 1 9 7由题意得3 3 1 3 3 9 1 9 32 7 3 3 2 3 3 2 2 解得3 点 拨 根据共轭复数的定义 复数 9的共轭复数为 1 9 再由复数相等的定义可列出关于3的两个方程 这 两个方程的公共解即为所求 跟踪练习 3 2均为实数 若3 29与 3 9互为 共轭复数 则3 2 解 析 由共轭复数定义得3 2 3且 2 即3 2 答案 备选例题 例 已知T 槡 9 T 槡 9 2 若T T 槡 则 解析 由条件知T T 槡 9 1 槡 90
10、 槡 槡 9 槡 7 槡 槡 槡 2 7 2 7 答案 例 已知复数T满足 1 9 T 9 T 9 求T 解 设T 3 29 3 22 则 1 9 3 29 9 3 29 9 7 3 2 3 2 9 3 2 3 2 9 9 7 3 2 3 2 9 9 由复数相等的条件 得 3 2 3 2 2 即 3 2 3 2 2 解得 3 2 2 7T 1 9 反思感悟 复数代数形式的加 减 法运算法则是一种规定 我们 可以从以下两个方面理解这个规定的合理性 当两个复数均为实数时 与实数的加 减 法法则 一致 验证实数运算的交换律 结合律 在复数系 中仍 然成立 两个复数的和 差 仍然是一个确定的复数 两个
11、复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行 只是在遇到9 时 要把9 换成 并把最后的结 果 写 成 9 2 的形式 数系的扩充与复数的引入第 章 教 学 札记 当复数T 9的虚部 时 T T 也就是说 实 数的共轭复数仍是它本身 反之也成立 即共轭复数是它本 身的复数一定是实数 T TDT2 课后作业 一 填空题 计算 9 1 9 1 9 解 析 根据复数加减法的运算法则进行计算 9 1 9 1 9 1 1 9 9 答案 9 已知复数T满足T 9 2 9 则T等于 解 析 T 9 2 9 7T 9 9 1 9 9 答案 9 若复数T 1 9 T 1 9 其中9是虚数单位 则 复数 T T 9的
12、实部为 解 析 T T 9 1 1 9 1 9 09 1 9 9 9 答案 1 9的平方根是 解 析 设 1 9的平方根是 9 2 则有 9 1 9 于是 9 1 9 所以 2 解得 2 或 2 所以 1 9的平方根是 1 9和 9 答案 1 9 9 已知T2 且T0T 9T 1 9 则T 解 析 设T 3 29 3 22 则T 3 29 T T 9T 1 9 7 3 29 3 29 9 3 29 1 9 73 2 2 39 1 9 7 3 3 2 2 2 解得 3 2 2 或 3 2 2 7T 或T 1 9 答案 或 1 9 若 T T T T 1 9 且T 9 则 T 解 析 T T T
13、T 2T T 1 9 T 2 1 9 7T 1 9 1 9 9 9 7T 1 9 答案 1 9 设 T T T 1 9 T 9 则 T T 解析 T T 1 9 9 1 1 9 1 9 7 T T T T 9 答案 9 二 解答题 设3 2互为共轭复数 且 3 2 3 2 9 9 求3 2 解 设3 9 则2 9 2 由已知条件得 9 9 9 9 9 9 即 9 9 7 2 解得 U U 2 7 3 1 9 2 9 2 或 3 9 2 1 9 2 或 3 1 9 2 9 2 或 3 9 2 1 9 2 已知 T T T 9 T 9 9 求 T 解 T T T 9 7 T 9 T 9 T 9 9
14、 T 9 T 9 9 T T 9 又知 T 9 9 7 T T 9 9 设T 9 2 则T 9 于是有 9 9 9 9 即 9 9 7 2 解得 2 7T 1 9 故 T 9 9 1 9 9 9 已知T2 求证 T是实数的充要条件是T T T是纯虚数的充要条件是T T 且T7 证明 充分性 设T 9 2 T T 7 9 9 7 9 7 7T 即T为实数 必要性 T是实数 7可设T 2 7T 7T T 综上所述 T2 DT T 充分性 设T 9 2 T T 7 9 9 7 7 T7 7 不同时为零 7 7 7T 9 2 7 7T为纯虚数 必要性 T是纯虚数 7可设T 9 2 7 则T 9 7T
15、T 9 9 且T7 综上可知 T T 且T7 是T是纯虚数的充要条件 第二课时 情境创设 在前面我们已经学习了复数的代数形式的加减法及乘 法的运算法则和运算律 并学习了共轭复数的相关概念 那 么 复数的乘方有哪些性质 复数的除法法则又是怎样的呢 这节课我们就研究这样的问题 新新教案高中数学选修 教 学 札记 合作探究 探究一 9的周期性 议一议 9 会呈现出什么样的周期性 探究 计算复数的乘积要用到虚数单位9的乘方 9 有 如下性质 9 9 9 9 9 09 9 9 9 0 9 909 9 从而对于任何 2 3 都有 9 9 0 9 9 0 9 9 同理可证9 9 9 9 这就是说 如果 2
16、3 那么有9 9 9 9 9 9 上述公式中 说明9具有周期性 且最小正周期是 提 升 总 结 规 定9 则 对 于 2 有9 9 9 9 9 9成立 9 B 9B 9B 9B B2 9的四个连续整数次幂的和为零 9 B 9 B 9 B 9 B B2 9的四个连续整数次幂的积为 例 9是虚数单位 9 9 9 9 用 9的形式表示 2 解 析9 9 9 9 9 9 1 9 9 2 9 答案 9 跟踪练习 计算下列各式 9 9 9 9 9 9 9 2 3 1 9 9 解 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 9 9 9 0 9 9 9 1 9 9 1 9 1 9 9 9 探究二 槡 9的性质 想一想 在复数范围内 你能写出方程 的 个根 吗 不妨设 3 29 3 22 则由 得 3 29 通过解方程 我们可以得到 3 2 2 或 3 2 槡 或 3 2 槡 即 槡 9 槡 9 议一议 若取 槡 9 则 有哪些性质 探究 若取 槡 9 槡 9 则有如下 关系 1 0 例 设 槡 9 则 1 解 析 利用 的运算性质 1 易知 原式 1 1 0 1 1 0 答案 跟踪练习 计
