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1、空间几何体第一章 教 学 札记 解 物体的直观图如图 所示 这是一个组合体的三视图 可以分解为简单几何体 上方为一个正方体 下方为一个棱台 注意俯视图中 的虚线体现在直观图上是棱台在正方体的下方 空 空间间几几何何体体的的表表面面积积与与体体积积 柱体 锥体 台体的表面积 课标解读 课标要求学习目标 了解柱 锥 台的表面积的 计算公式 能利用柱 锥 台的表面积 公式 解 决 一 些 简 单 的 实 际 问题 进一步认识柱 锥 台及简 单组合体的结构特征 掌握它 们的有关概念 了解推导柱 锥 台的表面 积的计算公式的过程 学会利用柱 锥 台的表面 积公式解决一些简单的实际 问题 教学策略 重点难
2、点 本节教学重点是求柱体 锥体和台体的表面积 难点是 能利用表面积公式进行一些实际问题的计算 教学建议 根据柱 锥 台的结构特征并结合它们的展开图 推导 它们的表面积的计算公式 几何体的展开图 由于剪开的棱不同 同一个几何体 的展开图可以不是全等的图形 但是 不论怎样剪法 同一个 多面体的展开图的面积是一样的 从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手引出 分 析展开图与其表面积的关系 复习表面积概念并介绍求几何 体表面积的方法 类比正方体 长方体的表面积 讨论棱柱 棱锥 棱台 的表面积问题 引导学生回顾圆柱 圆锥的形成过程及其几何特征 得出圆柱 圆锥的侧面展开图进行表面积的探究过程 情境创设 我
3、们已经学习过空间几何体的有关知识 知道有关几何 图 体的结构特征 如图 中两个 几何体的结构特征如何 这两个 几何体的表面积又如何得到 合作探究 探究一 柱体的表面积 看一看 如图 所示 棱柱是由多个平面图形围成的 几何体 将它沿棱剪开 展开可得图中阴影所示的平面图形 图 想一想 棱柱的表面积如何得到 观察图 可得 棱柱的表面积就是阴影所示的平面 图形的面积之和 所以可将其展开求表面积 棱柱的侧面展 开图是平行四边形 上 下底面面积不变 图 为一个长 方体的展开图 所以长方体的表面积就是展开图的面积 即 为长方体的侧面面积和底面面积之和 图 看一看 如图 所示 将圆柱沿 一条母线剪开后 展开图
4、是一个矩形 想一想 圆 柱 的 表 面 积 是 指 什 么 如何得到 如图 阴影所示的矩形 一 边长为母线长 另一边长等于圆柱底 面圆的周长 这个矩形的面积加上上 下两个底面圆的面积 就是圆柱的表面积 设圆柱底面半径为 母线长为 则圆柱的底面积为 底 侧面面积为 圆柱侧 所以可得到圆柱的表 面积为 提升总结 柱体的表面积公式 棱柱的表面积 表面积 侧 底 圆柱的表面积 表面积 温馨提示 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 其侧 面展开图为矩形 由矩形面积公式可以得出直棱柱的侧面积 的计算公式 设直棱柱的侧棱长为 底面周长为 则直棱 柱的侧面积计算公式 直棱柱侧 比较圆柱的侧面积公式 圆柱侧 与直棱
5、柱的 侧面积公式 直棱柱侧 可以发现它们有一个共同的特 点 都是用底面周长和侧棱 母线 表示的 因此柱体的侧面 积公式为 侧 其中 为直截面周长 为侧棱长 例 若一圆柱的侧面展开图是一个边长为 的正方 形 则该圆柱的表面积是 解 析 正方形的面积即为圆柱的侧面积 圆柱底面的周 长 所以 底面积为 所以 表 答案 跟踪练习 正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点 则 正方体的全面积与正四面体的全面积之比为 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 槡 槡 槡 槡 解 析 设正方体棱长为 正方体全 而正四面体的 棱长为槡 正四面体全 槡 槡 槡 正方体全 四面体全 槡 槡 答案 探究二
6、 锥体的表面积 看一看 如图 所示 棱锥的每个侧面都是三角形 图 为一个正四棱锥 底面是正方形 顶点在底面上的 射影是底面的中心 的展开图 想一想 棱锥的表面积如何计算 由图 可得 设法求出这些三角形各自的面积 然 后再相加即可得到棱锥的侧面积 再与底面积相加 即可得 到棱锥的全面积 所以正四棱锥的表面积就是侧面四个三角 形面积与底面面积之和 图 图 看一看 如图 所示 将圆锥沿一条母线剪开 展开 在一个平面上 其展开图是一个扇形 想一想 圆锥的表面积如何计算 由图 可得 圆锥的表面积是侧面展开的扇形面积 再加上底面面积之和 设 为圆锥底面半径 为圆锥的母线长 则圆锥底面面 积和侧面积分别是
7、圆锥底 圆锥侧 所以圆锥的表 面积为 提升总结 锥体的表面积公式 棱锥的表面积 表面积 侧 底 圆锥的表面积 表面积 温馨提示 锥体的侧面积公式 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形 所 以正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半 即 若正棱锥底面正 边形的边长为 斜高为 则每个侧面的 面积是 所以正棱锥的侧面积为 正棱锥侧 计算圆锥的侧面积时 要注意扇形面积的计算公式 例 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面 它 们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 解 析 两个截面截得两个圆锥 与原圆锥共三个 它们 的底面半径之比 它们的母线长之比 所以它们的侧面积之比 所以 答案 跟踪练习
8、已知圆锥的全面积是底面积的 倍 那么该圆锥的侧 面展开图扇形的圆心角为 解 析 设圆锥母线长为 底面半径为 由题意知 侧 面积是底面积的 倍 所以有 解得 侧 面展开图扇形的弧长为 半径为 所以扇形的圆 心角大小为 答案 探究三 台体的表面积 看一看 如图 所示 一个棱台的侧面展开图由若 干个梯形拼接而成 想一想 棱台的表面积如何计算 由图 可得 一个正四棱台的展开图 其侧面积为 各个梯形之和 然后求出底面面积再相加 即可得到棱台的 表面积 图 图 看一看 如图 所示 圆台可以看成是由一个平行 于底面的平面截圆锥得到的 想一想 圆台的表面积又如何计算 由图 可得 圆台的侧面展开图是一个扇环 其
9、表 面积是侧面积和两底面面积之和 如图 所示 设圆台的上 下底面半径分别为 母线长为 则 圆台侧 其中 分别为上 下底面的半径 分别为上 下底面的周长 为圆台的母线长 所以圆台的表面积公式为 提升总结 台体的表面积公式 棱台的表面积 表面积 侧 上底 下底 圆台的表面积 表面积 侧 上 下 温馨提示 台体的表面积可以转化为锥体的表面积 即一个台体可以看成是用一个平行于底面的平面截一个锥 体 截去一个小锥体就得到一个台体 设截得圆台的圆锥的母线长为 圆台的上 下底面 半径分别为 母线长为 则扇形圆心角为 所以 所以 所以 圆台侧 大扇形 小扇形 图 例 正四棱台两底面边长分 别为 和 若侧棱所在
10、直线与上 下底 面正方形中心的连线所成的角为 求棱台的侧面积 若棱台的侧面积等于两底 面面积之和 求它的高 解 如图 设 分别为上 下底面的中心 过 作 于 过 作 连接 则 为正四棱台的斜高 空间几何体第一章 教 学 札记 由题意知 槡 在 中 槡 又 斜高 槡 槡 槡 槡 侧 槡 槡 由 侧 斜 斜 又 斜 槡 点 拨 正棱台的常见量都包含于正棱台的三个重要直 角梯形中 这是解决有关棱台问题的关键 跟踪练习 圆台的较小底面半径为 母线长为 一条母线和底 面的 一 条 半 径 有 交 点 且 成 角 则 圆 台 的 侧 面 积 为 解 析 作出圆台的轴截面 易得 所以 侧 答案 圆台的上 下
11、底面面积之比为 圆台的中截面把 圆台的侧面分成两部分 则这两部分面积之比为 解 析 由于 所以 设中截 面的半径为 则 所以两部分面积之比 为 答案 备选例题 例 圆锥的母线长扩大 倍 底面半径缩小 倍 那 么它的侧面积变为原来的 倍 倍 倍 倍 解 析 设圆锥的底面半径为 母线长为 则其侧面积为 变化后其底面半径为 母线长为 故其侧面积为 所以 故选 答案 图 例 已知梯形 中 以 为轴将梯形 旋转一周 求旋转体的表面积 如图 解 所得旋转体是一个圆台 上底半径 为 下底半径为 母线长 所以 圆台侧 两个底面的面积分别是 所以 全 即所得旋转体的表面积是 点 拨 由条件知梯形 为直角梯形 则
12、旋转后得到 一个圆台 根据圆台的表面积公式可计算得到 例 圆锥的高和底面半径相等 它的一个内接圆柱的高 和圆柱底面半径也相等 求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比 分 析 这是一个圆锥和圆柱的组合体 画出其轴截面 利用相似三角形求各元素之间的关系 再由公式可得 图 解 如图 设圆柱和圆锥的底 面半径分别为 则有 即 槡 圆柱表 圆锥表 槡 槡 槡 槡 槡 反思感悟 柱体 锥体 台体的表面积有时也称为全面积 它等于 侧面积与底面积之和 柱体 锥体 台体的侧面积等于其侧面展开图的面积 这种把空间问题化归为平面问题的方法是解决空间问题的 基本思想方法 圆柱的侧面积公式 圆柱侧 两种表达式 从 两个不同的
13、角度来描述圆柱的侧面积 前一个是用圆柱底面 半径表示的 侧重于 空间性 后一个是用底面周长表示的 侧重于 平面性 课后作业 若一个圆锥的轴截面 过圆锥顶点和底面直径的截面 是等边三 角 形 其 面 积 为槡 则 这 个 圆 锥 的 全 面 积 为 槡 解 析 设圆锥的底面半径为 则母线 由槡 槡 得 所以 全 答案 安徽 一个几何体的三视图如图 该几 何体的表面积为 主 正视图侧视图 左 俯视图 图 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 解 析 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体 上面一个长方体组合而成的几何体 下面长方体的表面积为 上面长方体的表面积为 又 长方体表面积重叠一
14、部分 几何体的表面积为 答案 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 则这个圆柱的 表面积与侧面积的比是 解 析 利用侧面展开图与底面圆的关系解题 设底面 圆半径为 高为 则 所以 表 侧 答案 若圆锥的侧面展开图是圆心角为 半径为 的扇 形 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 解 析 设圆锥的底面半径为 则有 表 侧 答案 若圆台的高是 一个底面半径是另一个底面半径的 倍 母线与下底面所成的角是 则这个圆台的侧 面积是 槡 槡 槡 解 析 设上底面半径为 则下底面半径为 又母线与下 底面成 角 在轴截面梯形中 则有 母线 槡 槡 侧 槡 答案 正视图侧视图 俯视图 图 有一个几何体的三视图及 其尺寸
15、如图 单位 则该几何体的表面积 为 解 析 此几何体是个圆锥 表面积 答案 一个圆锥的全面积为 则底面 圆半径的取值范围 是 解 析 设圆锥底面半径为 母线长为 则 所以 即 又因为 所以 且 所以 答案 边长为 的正方形以过对边中点所在直线为旋转轴 旋转所成的几何体的表面积为 解 析 所成的几何体是底面半径为 母线长为 的圆 柱 所以 侧 侧 所以 表 侧 底 答案 图 粉碎机的下料斗是正四棱台形 如图 它的两底面边长分 别 是 和 高 是 计算制造该下料斗所需 铁板是多少 分 析 问题 的 实 质 是 求 正 四 棱 台 的 侧 面 积 欲 求 侧 面积 需 求 出 斜 高 可 在 有 关
16、 的 直 角 梯 形 中 求 出 斜高 解 如图 是两底面的中心 则 是高 设 是斜高 过 作 则 所以 槡 槡 槡 边数 两底边长 斜高 正棱台侧 答 制造该下料斗约需铁板 图 如图 圆台的轴截面 中 是 垂 足 设 求圆台的侧 面积 分 析 要求圆台的侧面积 则要知道 上 下底的半径和母线 即要求 出 和 可 知 和 都是等腰直角三角形 而 和 都可求出 问题就解决了 解 又 在 中 槡 槡 上底半径 槡 同理可得 槡 下底半径 槡 圆台的侧面积 槡 槡 空间几何体第一章 教 学 札记 柱体 锥体 台体的体积 课标解读 课标要求学习目标 了解柱 锥 台的体积 公式 能利用柱 锥 台的体 积公式解决一些简 单 的 实际问题 进一步认识柱 锥 台及简单组 合体的结构特征 掌握它们的有关 概念 了解推导柱 锥 台的体积公式 学会利用柱 锥 台的体积公式解决 一些简单的实际问题 教学策略 重点难点 本节教学的重点是柱 锥 台的体积的探求 难点是运用 柱 锥 台的体积公式解决一些实际的问题 教学建议 利用学生已熟悉的长方体的体积公式探求柱 锥 台 的体积公式 体积公式的推导是建立在等体积概念
