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1、新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 解 程序框图如图 所示 图 编写程序如下 P 1 3 2 U N B 2 P P V UB 8 1 1 B N P B V UB 8 3 3 B 8 V B 8 V 2 2 B 8 C 8 P1 1 3 B 8 点 评 由于本题涉及的变量较多 因此在编写程序之 前应仔细分析算法的流程 确定算法的逻辑关系 画 出程序框图 根据框图编写程序 算 算法法案案例例 课标解读 课标要求学习目标 了解中国古代与西方数 学中的三个典型的 算 法 案例 理解其中所包含的 算法思想与数学方法 进 一步体会算法的思想 通过三个算法案例的学 习 领悟研究算法的重要
2、性与实际意义 体会古代 数学对数学发展的贡献 通过典型的三个算法案例 使学 生经历模仿操作 探索设计算法 的过程 体会算法的思想 感受 算法在解决实际问题中的应用 能够在三个算法案例中提炼出 算法结构 并用算法的表示方法 表示出算法 通过阅读中国古代数学中的算 法案例 体会古代数学对数学发 展的贡献 教学策略 重点难点 本节的教学重点是以三个典型的算法案例为载体 使学 生通过模仿 操作 探索经历算法设计的全过程 帮助学生进 一步体会算法的思想 感受算法在解决实际问题中的重要作 用 本节的难点是能够通过对三个算法案例的分析提炼出算 法中的循环结构 并能够用自然语言 程序框图 算法语句表 示出来
3、教学建议 通过对算法知识的学习 学生已经掌握了算法的三种 表现形式 自然语言 程序框图 程序语言 因此在对本单 元三个典型的算法案例的分析后 要求学生先通过算法分析 写出算法步骤 再通过算法步骤画出程序框图 然后根据程 序框图编制程序 最后有条件的情况下 可在计算机上验证 算法 从中体会算法的思想 辗转相除法是西方古代数学中的一个典型算法 更相 减损术和秦九韶算法都是我国古代数学中的著名算法 与进 位制有关的算法法则是计算机科学中普遍使用的算法 它们 的算法相对比较复杂 在教学时 应抓住三个算法问题的关 键步骤 师生共同分析 探究 精确地提炼出其中蕴涵的算法 结构 循环结构 教师可以通过讲解
4、画程序框图 举简单 的例子 学生自己交流等多种手段 帮助学生克服理解上的 困难 这三个算法案例中包含的主要结构是循环结构 而循 环结构有两种表现形式 因此在教学时可要求学生分别用两 种方法来解决 熟练地掌握循环结构 引导学生自己得出算 法步骤 程序框图与程序语言 注意等价转化的数学思想在三个算法案例中的重要 应用 第一课时 情境创设 为迎接新年的到来 高一 一 班的同学举行迎新年联 欢晚会 为提高同学们表演节目的积极 性 决定采用随机抽奖的方式表彰创作 和表演节目的同学 奖品为一小礼品盒 为此特购买了大白兔 金丝猴 阿尔卑斯 三种糖果 分别重 I I I 现要将它们分别 全部装入小礼品盒中 每
5、个小礼品盒只装入同一品牌的糖 果 而且每个小礼品盒装入糖果的重量相等 组织晚会的同 学很快装好了小礼品盒 所购糖果一块也不剩 你知道每盒 最多装多少糖吗 算法初步第一章 教 学 札记 韩信是秦末汉初的著名军事家 据说有一次汉高祖刘 邦在卫士的簇拥下来到练兵场 刘邦问韩信有什么方法 不 要逐个报数 就能知道场上的士兵的人数 韩信先令士兵排 成 列纵队 结果有 个人多余 接着下令将队形改为 列 纵队 这一改 又多出 人 随后他又下令改为0列纵队 这 次又剩下 人无法成整行 在场的人都哈哈大笑 以为韩信 不能清点出准确的人数 不料笑声刚落 韩信高声报告共有 士兵 人 众人听了一愣 不知道韩信用什么方
6、法这么 快就能得出正确的结果的 今天 我们将以这些古典案例的 思想 设计出适宜计算机的运行程序 提高我们对基本的算 法结构和算法语句在实际中的运用能力 合作探究 探究一 辗转相除法 想一想 在小学中我们是如何求出两个正整数的最大公 约数的呢 在小学我们求两个正整数的最大公约数的方法是 先用 两个数公有的质因数连续去除 一直除到所得的商是互质数 为止 然后把所有的除数连乘起来求得两个数的最大公约 数 这种求最大公约数的方法称为短除法 例如求 与 的 最大公约数 所以 与 的最大公约数为 5 思考 当两个数的公有的质因数较大时 我们怎样去求 两个数的最大公约数呢 探究 辗转相除法是用于求两个正整数
7、的最大公约数的 一种算法 这种算法是由欧几里得在公元前 年左右首先 提出的 因而又叫做欧几里得算法 所谓辗转相除法 就是对于给定的两个数 用较大的数 除以较小的数 若余数不为零 则将余数和较小的数构成新 的数对 继续上面的除法 直到大数被小数除尽 则这时较小 的数就是原来两个数的最大公约数 用辗转相除法求两个正整数的最大公约数 其算法步骤 如下 第一步 给定两个正整数6 第二步 计算6除以 所得的余数 第三步 6 第四步 若 则6 的最大公约数等于6 否则 返 回第二步 如此循环 直到得出结果为止 提 升 总 结 借助于引理将 求两个较大的正整数的最大 公约数 转化为 求两个较小的正整数的最大
8、公约数 规律 前面一个带余除法式子中的除数和余数分别变成 了下一个式子中的被除数和除数 例 用辗转相除法求两个数4 与 的最大公约数 分 析 利用辗转相除法的步骤计算即可 解 4 5 4 5 0 05 因此4 与 的最大公约数是 0 点 评 对于利用辗转相除法去求给定的两个正整数的最 大公约数 其步骤是先用较大的数除以较小的数 若余数不 为零 则将余数和较小的数构成新的数对 继续用较大数去 除以较小的数 直到大数被小数除尽 则这时的较小数就是 原来两个数的最大公约数 跟踪练习 求 4 与 的最大公约数 解 4 5 0 0 5 0 5 8 4 与 的最大公约数是 思考 你能根据辗转相除法的算法步
9、骤画出它的程序框 图和算法步骤以及相应的程序语句吗 当型程序框图如图 程序语句如下 图 1 3 X 1 DR 3 U N B X X 1 DR 3 1 3 3 X B 8 C 8 1 B 8 议一议 你能用直到型循环结 构设计算法吗 见教材 略 思考 上述程序中最后输出的 变量 为 什 么 是6 为 什 么 没 有 对 6 的大小进行讨论 探究 最后 6DR 满 足 时程序结束 但 还 执 行 了 6 两个赋值语句 将原来 该输出的 的值赋给了变量6 故 最后应输出6 若6 只要执行一次循环体 程序会将6和 的值 交换 这就保证了最后输出的是两个正整数的最大公约数 探究二 更相减损术 想一想
10、你知道我国的数学专著2 九章算术3 中介绍的 更相减损术 吗 它是用来解决什么问题的呢 书中说道 可半者半之 不可半者 副置分母 子之数 以少减多 更相减损 求其等也 以等数约之 它可以用来求 两个数的最大公约数 探究 更相减损术的算法步骤为 第一步 任意给定两个正整数 判断它们是否都是偶数 若是 用 约简 若不是 执行第二步 第二步 以较大的数减去较小的数 接着把所得的差与 较小的数比较 并以大数减小数 继续这个操作 直到所得的 数相等为止 则这个数 等数 或这个数与约简的数的乘积就 是所求的最大公约数 提 升 总 结 当两个正整数都是偶数时 也可以不除 以 直接求最大公约数 这样不影响最后
11、的结果 从以上分析可看出 更相减损术的基本步骤是用较 大的数 减去较小的数 得到式子 由于这是一个 反复执行的步骤 且执行的次数由差数与较小的数是否相等 决定 所以可以把它看做一个循环体 用循环结构就可以来 实现其算法 例 用更相减损术求 和 的最大公约数 分 析 利用更相减损术的步骤来求解 但要注意能否用 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 约简 若能 尽量约简 解 与 均是偶数 所以先用 约简得 O 0 0 O 下面先求0 0与 的最大公约数 T0 0 0 0T T T T 所以0 0与 的最大公约数为 故 与 的最大公约数为 5 点 评 利用更相减损术求两个正整数的最大公约
12、数 一 般步骤是先观察两个正整数是否都是偶数 若是 先用 约 简 但是也可以不除以 直接求最大公约数 这样不影响最 后结果 T 4 4 T4 4 4 4T T T 所以 与 的最大公约数为 跟踪练 习 用 更 相 减 损 术 求 与 的 最 大 公 约数 解 由于 不是偶数 把 与 以大数减小数 并 辗转相减 如下所示 T 0 0 T T T 所以 与 的最大公约数是 议一议 你能根据更相减损术的算法步骤画出其程序框 图并写出其程序语句吗 程序框图如图 程序语句如下 图 1 3 U N B 1 3 V 1 3 UB 8 1 1T3 B N P B 3 3 T1 B 8 V B 8 C 8 N
13、X C 8 E B 8 解 析 第一个空里执行的程序是求 两数相除的余 数 第二个空里应对余数 作判断 循环条件是 是否成立 答案 EDR K 用辗转相除法求 0 与 的最大公约数 并写出其 程序 解 0 5 5 5 8 0 与 的最大公约数为 其程序如下 1 0 3 X 1 DR 3 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 U N B X X 1 DR 3 1 3 3 X B 8 C 8 1 B 8 用更相减损术求 与4 的最大公约数 并写出其 相应的程序 解 T4 T4 4 T T 0 T 0 0 8 与4 的最大公约数为 0 其程序如下 1 3 4 U N B 1 3 V 1
14、3 UB 8 1 1T3 B N P B 3 3 T1 B 8 V B 8 C 的 计算要用到H 的值 若令H 则可得到如下的递推公 式 H H H 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤 可以用循环 结构来实现 算法步骤如下 第一步 输入多项式次数 最高次项的系数 和 的值 第二步 将H的值初始化为 将 的值初始化为 第三步 输入 次项的系数 第四步 H H 第五步 判断 是否大于或等于 若是 则返回第三步 图 否则 输出多项式的值H 程序框图如图 程序如下 3 3 E 3 E E 2 3 T U N B 2 C 8 2 2 E 2 E E 2 2 T B 8 C 的值需要 次乘法 计算9 的
15、值共需要 次运算 次乘法 次加法 那么计算9 的值共需要 次运算 下面给出一种减少运算次数的算法 9 9 9 利用该算法 计算9 的值共需要 次运算 计算 9 的值共需要 次运算 参考公式 解 析9 共需 次加法运算 每个小因式中需要乘法运算依次为 故共需要运算次数为 第二种算法中 9 不需要运算 9 9 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 需 次运算 9 9 需 次运算 依次 往下 9 需 次运算 答案 备选例题 例 已知函数5 用秦九韶算法 求5 的值 分 析 根据秦九韶算法 我们需要处理多项式的系数以 及最高次项的系数 该多项式没有三次项 故应先把多项式 变形为5 5 再处
16、理 解 根据秦九韶算法 把 代入函数式 按照从内到 外的顺序 依次计算得H H 5 H 5 T 4 H 45 T 0 H 0 5 0 85 0 点 评 当多项式中出现空项时 要以系数为零的齐次项 补充 否则 在处理问题时 多项式运算的次数不会达到对应 的次数 因此 我们在应用秦九韶算法求多项式的值时 先要 依次从最高次项往常数项观察 看各项是否都存在 再进行 处理 反思感悟 秦九韶算法是我国南宋时期数学家秦九韶在2 数书九 章3 中提出的算法 其作用是求一元 次多项式的值的一种 方法 即使在现代 它仍然是此类算法中比较先进的 秦九韶的算法的实质是把求 次多项式的值转化为 求一次多项式的值 从而简化了逻辑结构 减少了乘法的运 算次数 特别对计算机来说 大大提高了工作效率 提高了计 算的精确性 用秦九韶算法求 次多项式5 时 最多进行乘法运算 次 加法运算 次 而直接 计算时最多要进行 次乘法运算 次加法运算 能够从秦九韶算法中提炼出循环结构是设计该程序 的关键 也是理解秦九韶算法思想的重要前提 因此要举一 些简单的实例去分析 归纳 总结和体会 然后画出框图并设 计出程序语句 可上机操作验
