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1、圆与方程第四章 学 习 札记 空 空间间直直角角坐坐标标系系 空间直角坐标系 学习目标 会建立空间直角坐标系 会根据坐标系找相应的点 会用空间直角坐标系刻画点的位置 通过建立适当的空间直角坐标系 写出一些简单几何 体中各点的坐标 知道点在坐标轴 坐标平面上的坐标的特点 会求关于坐标轴 坐标平面对称的点的坐标 情境创设 海湾战争中美军的 功臣 全球定位系统 是 美国耗资 多亿美元建成的卫星导航定位系统 在战争中 发挥了出色的作用 如今它已被广泛地运用于航空 交通 通 信等多个领域 相信不久的将来 人们足不出户便能 放眼世 界 那么全球定位系统是怎样给不同的对象定位的呢 事 实上 地球上的每一个对
2、象都在大地坐标系下有唯一的空间 大地坐标 通过坐标系的转换就得到了 坐标系统下的 空间直角坐标 它就是利用对象的空间直角坐标来确定对象 所处的位置 我们在观察物体时 能很自然地产生立体感 是因为 人的两眼之间有一定距离 当观察物体时 左 右眼从不同的 角度观察 形成两眼视觉上的差异 构成的各种图象反映到 大脑中 便产生远近感和立体感 那么我们怎样才能在二维 的平面上用代数的方法 研究三维关系的立体图形呢 今天 将要学习的空间直角坐标系便可解决这一问题 合作探究 探究一 空间直角坐标系 想一想 如何在一座三层电影院中寻找自己的座位 为了在三层电影院中找到自己的位置 需要看第几层 第几排 第几号
3、由此可见 在空间描述物体的位置时 需要 知道三个数 问题 空间直角坐标系是如何建立的 议一议 类似于平面直角坐标系建立的方法 我们可以 选择互相 垂 直 的墙角线作为坐 标 轴 墙 角 顶 点 作 为 坐 标 原点 图 探究 如图 所示 在空间取一 点 以点 为原点作三条互相垂直的 且有相同单位长度的数轴 分别称为 轴 轴 轴 它们统称为坐标轴 这三 个坐标轴中每两条确定一个平面 分别 称为 平面 平面和 平面 如图 所示 在空间直角坐标系中 让右手拇指指 图 向 轴的正方向 食指指向 轴的正方 向 若中指指向 轴的正方向 则称这个 坐标系为右手直角坐标系 问题 如 何 画 一 个 空 间 直
4、 角 坐 标系 探究 通常 将空间直角坐标系画在 纸上时 轴 与 轴 轴 与 轴 均 成 而 轴垂直于 轴 轴和 轴的单 位长度相同 轴上的单位长度为 轴 或 轴 的单位长度 的一半 提升总结 在平面直角坐标系的基础上 通过原点再 增加一条竖轴 就成了空间直角坐标系 空间直角坐标系像平面直角坐标系一样 有 三要 素 原点 坐标轴方向 单位长度 例 在空间直角坐标系 中 哪个坐标平面与 轴垂直 哪个坐标平面与 轴垂直 哪个坐标平面与 轴垂直 写出点 在三个坐标平面内的射影的坐标 分 析 根据空间直角坐标系的定义进行判断 写坐标时 注意结合长方体 跟踪练习 点 在空间直角坐标系中的位置是 在 轴上
5、 在 平面上 在 平面上 在 平面上 点 是点 在坐标平面 内的射影 则点 的坐标为 探究二 空间直角坐标系中点的坐标表示 想一想 平面直角坐标系中的点是怎样用坐标表示的 在平面直角坐标系 中的一个点 对应一个有序 实数组 问题 当我们建立了空间直角坐标系 后 空间 中的一个点 的坐标如何表示呢 议一议 设点 为空间中的一个定点 过点 分别作 垂直 于 轴 轴 和 轴 的 平 面 依 次 交 轴 轴 和 新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 轴于点 和 点 在 轴 轴和 轴上的坐标 分别是 和 那么点 就对应唯一确定的有序实数组 反过来 给定有序实数组 我们可以在 轴 轴和 轴上依
6、次取坐标为 和 的点 和 分 别过 和 各作一个平面 分别垂直于 轴 轴和 轴 这三个平面唯一的交点就是有序实数组 确定的 点 问题 在空间直角坐标系中特殊点的坐标有何特点 议一议 落在 轴上的点的坐标 满足 落在 轴上的点的坐标 满足 落在 轴上的点的坐标 满足 落在 坐标平面内的点 满足 落在 坐标平面内的点 满足 落在 坐标平面内的点 满足 提升总结 空间一点 的坐标可以用有序实数组 来表示 有序实数组 叫做点 在此空间直角坐标系 中的坐标 记作 其中 叫做点 的横坐标 叫 做点 的纵坐标 叫做点 的竖坐标 问题 类比平面直角坐标系中点 关于坐标 轴 原点的对称点的坐标 空间直角坐标系中
7、点 关 于坐标轴 坐标平面 原点的对称点的坐标分别是什么 想一想 在平面直角坐标系中点 关于 轴的对称点为 关于 轴的对称点为 关于原点的对称点为 议一议 在空间直角坐标系中点 关于 轴的对称点为 关于 轴的对称点为 关于 轴的对称点为 关于 平面的对称点为 关于 平面的对称点为 关于 平面的对称点为 关于原点的对称点为 例 已知棱长为 的正方体 建立如 图 图 所示的不同空间直角坐标系 试分别写出正 方体各顶点的坐标 图 图 分 析 根据题目建立的空间直角坐标系 确定点的坐 标 要注意点的相对位置 跟踪练习 轴上的点的坐标的特点是 竖坐标是 横坐标和纵坐标都是 横坐标是 横 纵 竖坐标不可能
8、都是 点 关 于 原 点 成 中 心 对 称 的 点 的 坐 标 为 例 已知正四棱锥 的底面边长为 侧棱长 为 试建立适当的空间直角坐标系 写出各顶点的坐标 分 析 本题是考查空间直角坐标系的建立 要建立适当 的空间直角坐标系 使点的坐标更简单 易求 需要充分利用 几何体的特征 跟踪练习 图 如 图 所 示 以 正 四 棱 锥 的底面中心 为坐标原点建立空 间直角坐标系 其中 为 的中点 正四棱锥底面边长 为 高为 求 的坐标 求点 的坐标 反思感悟 通常三个数轴应具有相同的长度单位 把 和 配置在水平平面上 而 则是方向向上的铅垂线 数轴的 正方向通常符合右手规则 三条坐标轴的任意两条可以
9、确定一个平面 这样定出 的三个平面统称为坐标平面 轴及 轴所确定的坐标平面 叫做 平面 同样有 平面 平面 点 的 位 置 应 在 一 个 基 础 平 面 如 平 面 的 前 提下确定 对称点的确定可类比平面直角坐标系中的对称性来确定 在空间直角坐标系中 点 的几种特殊对称点 的坐标是 关于原点的对称点是 关于 轴的对称点是 关于 轴的对称点是 关于 轴的对称点是 关于 坐标平面的对称点是 关于 坐标平面的对称点是 关于 坐标平面的对称点是 圆与方程第四章 学 习 札记 空间两点间的距离公式 学习目标 会推导空间两点间的距离公式 理解公式使用的条 件 会用公式计算和证明 类比平面两点间的距离公
10、式 用不同的方法推导空间两 点间的距离公式 加深理解公式的背景 体会长方体模型的 运用 灵活使用函数与方程的思想方法解决问题 图 情境创设 年百年罕见的雪 灾袭击 中 国 南 部 极 端 恶 劣 的天气 给部分地区的正常社 会秩序和人民群众生产生活造 成重大影响 各地发出号召 要 求受灾地区各级党政机关 企 事业单位和驻地部队等要紧急 行动起来 全面迎接暴雪天气的挑战 把灾害给人民群众带来的 影响降到最低 切实保证正常的生产生活秩序和社会的和谐稳 定 图 为电力工程技术人员在高压输电线路上实施破冰 工程 同学们 我们如何来计算他们的空间距离呢 你还记得平面直角坐标系中的两点间的距离公式吗 你知
11、道如何求空间直角坐标系中的两点间的距离吗 你能 类比平面直角坐标系中的两点间的距离公式 猜测一下空间 直角坐标系中的两点间的距离公式吗 合作探究 探究一 空间两点间的距离公式的推导 想一想 一间房子长 米 宽 米 高 米 一个 米长 的木棒能放得进去吗 议一议 画图 分析 通过长方体的长 宽 高 面对角线 体对角线与木棒的长进行比较 知放不进去 问题 类比在平面直角坐标系下 原点到点 的距离公式 你能猜想一下 在空间直角坐标系中 到坐标原点的距离表达式吗 议一议 在平面内 点 到坐标原点 的距离 槡 猜想在空间中 点 到坐标原 点 的距离 槡 图 探究 如 图 所示 点 在 平面上的射影为点
12、点 的坐 标 是 槡 在 中 槡 槡 图 问题 已知空间两点 如何求它们的距离 探 究 如 图 所 示 分 析 点 点 所在位置的 特点 计算 直线 垂直于平面 或者说 平行与 轴或与 轴重合 此时 议一议 当 平行于 轴或与 轴重合 此时 当 平行于 轴或与 轴重合 此时 问题 类比平面两点间距离公式 你能猜想一下空间 两点 间的距离公式吗 想一想 平面两点 间的距离公式 是什么 议一议 在平面内 槡 猜想空间两点 间的距离公式 为 槡 图 探 究 如 图 设 点 是 空间中任意两点 且点 在 平面上的射影分别为 那 么 的坐标为 在 平 面 上 槡 过点 作 的垂线 垂足为 则 所以 在
13、中 槡 根据勾股定理 得 槡 槡 因此 空间中点 之间的距 离 槡 提升总结 在空间中 点 到坐标原点 的距 离 槡 在空间中 的距离 槡 例 已知 的三个顶点 求 中最短边的边长 求 边上中线的长度 分 析 本题是考查空间两点间的距离公式的运用 直接 运用公式计算即可 新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 跟踪练习 若已知 则线段 的长 为 槡 槡 槡 槡 例 已知 槡 槡 槡 槡 在 平面上 求一点 使 为等边三角形 分 析 本题属于两点间的距离公式的应用 根据条件计 算距离即可 首先根据题目条件设出恰当的点的坐标 再利 用条件求出设出的参数 这是待定系数法的体现 跟踪练习 设
14、 的中点为 则 槡槡槡 探究二 空间球的方程 问题 在平面直角坐标系中 方程 的图形 是以坐标原点为圆心 为半径的圆 在空间直角坐标系中 方程 的图形仍然是圆吗 图 议一议 如图 所示 在空间直 角坐标系中 当 时 方程 表示 平面内以坐标原点为圆心 为 半径的圆 当 其中 是常数 时 方 程 表示在过定点 且垂 直于 轴的平面内以定点 为圆 心 为半径的圆 方 程 可 化 为 槡 表示点 到点 的距离等于 方程 的图形是以动点 为圆心 为半径的所有圆组成的图形 即以 轴为旋转轴 为半径 的无底面的圆柱侧面 问题 空间球的方程如何表示 想一想 如果 是定长 那么 表示 什么图形 在平面直角坐标
15、系中 方程 表示以原点为 圆心 半径为 的圆 据此 不难将其推广到空间 得出 表示以原点为球心 半径为 的球面 设计此问题的目的在于将此方程与圆的方程进行类比 从而得到问题的答案 类似地不难将平面直角坐标系中的中 点公式 定比分点公式推广到空间直角坐标系中 提升总结 空间球的方程为 表示以原 点为球心 半径为 的球面 例 已知 且 那么实数 满足什么条件 并指出符合条 件的点 的集合是什么图形 分 析 利用距离公式建立等式 跟踪练习 若点 与 的距离为 则 满 足的关系式是 表示的图形是 已知 求 线段 的长度 线段 的中点坐标 到 两点距离相等的点 的坐标 满足的条件 反思感悟 掌握空间两点间距离公式的推导 变形 应用 要注意 公式中的对应坐标的差 是空间两点间距离公式的特例 其用法一 致 只是将平面问题上升到空间 在本节中要仔细体会类比 猜想 从特殊到一般的思 想方法 在使用两点间距离公式时 要特别注意点的位置 再 就是注意方程思想的应用
