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1、新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 第 二 章 点 直线 平面之间的位置关系 空 空间间点点 直直线线 平平面面之之间间的的位位置置关关系系 平 面 学习目标 能识别平面与平面图形 会利用三个公理证明共点 共线 共面问题 会进行三种语言的转化 会画相交平面 情境创设 几个同学外出游玩 中午吃饭时发现没有桌子 食品无 法摆在一起共享 但有一同学带着一个木质画板 说有办法支起 来当作桌子 同学们都等待着 不一会儿 见他找来三根相同长 度的木棍 用绳子在相同的高度扎起来 再分散开放在地上 然 后把画板放在上面 说 好了 同学们把好吃的往上放吧 同学 们把各自带来的食品都放在上面 共享了
2、一顿美餐 同学们 你 能说出三根木棍能支起画板且很牢固的道理吗 在日常生活中 我们见到的平静的湖面 黑板面 桌 面 玻璃面等都给我们以平面的感觉 那么这些面是平面吗 平面有哪些基本性质呢 图 乔记餐馆虽说饭食不算最好 但却以美 味乳酪而远近闻名 块块乳酪状如圆盘 饶有风 趣 一刀下去 就把一块乳酪一切为二 连切两 刀 不难将其分成四块 三刀则切成六块 一天 女招待罗西请乔把乳酪切成八块 乔 好 罗 西 很简单 我只要这样切四刀就成了 罗西把 切好的乳酪往桌子上送时 忽然悟到乔只需要切三刀便可以把 乳酪分成八块 罗西想出了什么妙主意 合作探究 探究一 平面的概念与表示方法 想一想 初中学习的直线
3、是怎样定义的 在初中我们学习直线时 通过实例描述直线的形象 说 明直线是无限延伸的 直的 没有给出定义 议一议 平面怎么定义呢 和直线一样 平面是没有定义的 但生活中常见的桌面 黑 板面 平静的水面 都给我们平面的局部形象 我们可以把平面 描述成无限延展的 绝对平的 无大小 无厚薄 不可度量的 思考 初中学习的平面图形可以度量吗 平面图形 如三角形 长方形 平行四边形 是有大小的 是可以度量的 问题 怎样表示平面呢 探究 从不同的角度观察 桌面 黑板面都给我们平行四 边形的形象 因此 我们通常用平行四边形表示平面 当平面水平放置时 通常把平行四边形的锐角画成 且横边长是邻边长的 倍 竖直放置的
4、平面 竖边长是 邻边长的 倍 通常 的意思是根据需要也可以用其他平面图形表 示 如三角形 梯形 如果一个平面被另一个平面遮挡住 为了增强立体 感 将被遮住的部分用虚线画出来 或不画 但初学者要尽 量画 如图 图 平面的表示方法 常把希腊字母 等写在代 表平面的平行四边形的一个角上 用代表平面的平行四 边形的四个顶点 或者相对的两个顶点的大写英文字母作为 这个平面的名称 如平面 平面 说明 在平面的表示法中 用希腊字母表示时 若题 目条件已经说明平面 平面 则在题目后面的叙述过程中 可省略 平面 二字 只说 但其他几种表示方法不能省 略 平面 二字 画两个相交平面时 具体画法步骤为 画两条相交直
5、线 表示两个平面的平行四边形相交的 两条边 如图 中的 画两个相交平面的交线 如图 中的 过端点 分别画出与 平行且相等的线 段 连接 和 可以得到表示平面的 平行四边形 和 如图 把被平面遮住的部分画成虚线或者不画 如图 点 直线 平面之间的位置关系第二章 学 习 札记 图 温馨提示 以前在平面几何中 凡是后引的辅助线我们 都画成虚线 而立体几何则不然 凡是被平面遮住的线 都画 成虚线 凡是不被遮住的线都画成实线 无论是题中原有的 还是后引的辅助线 例 下 列 表 示 两 个 相 交 平 面 的 画 法 中 正 确 的 是 画一画 按照给出的要求 完成下面两个相交平面 图 中 中的线段 是两
6、个 平面的交线 图 分 析 只需过线段的端点画出与交线 平行且相等的 线段 即可得到相关的平行四边形 跟踪练习 下列说法中正确的个数是 平行四边形是一个平面 任何一个平面图形都是一 个平面 平静的太平洋面就是一个平面 一个平面的面 积是 探究二 平面的基本性质 问题 如果直线 与平面 有一个公共点 直线 是否在平面 内 如果直线 与平面 有两个公共点呢 图 探究 若直线 与平面 有一个公共点 则直线 未 必在平面 内 也可能与平面 相交 如果直线 与平面 有两个公共点 那么可以判断 直线 必在平面 内 如图 所示 提升总结 公理 如果一条直线上的两点在一个平面 图 内 那么这条直线在此平面内
7、温馨提示 图形语言表述 图 符号语言表述 且 公理 的内容反映了直线与平面的位置关系 公理 的作用 既可判定直线是否在平面内 点是否 在平面内 又可用直线检验平面 点 在直线 上可表示为 点 在平面 上可表示为 点 不在直线 上可表示为 点 不在平面 上可表示为 直线 在平面 上可表示为 直线 不在平面 上可表示为 问题 要确定一个平面 最少需要几个点 图 探究 不在同一直线上的三个支点能确 定一个平面 而两个点不能确定一个平面 只能确定一条直线 提升总结 公理 过不在一条直线上的 三点 有且只有一个平面 温馨提示 图形语言表述 图 符号语言表述 三点不共线 有且只有一个 平面 使 公理 的条
8、件是 过不在一条直线上的三点 结论是 有且只有一个平面 条件中的 三点 是条件的骨干 不会 被忽视 但 不在一条直线上 这一附加条件则易被遗忘 如 舍之 结论就不成立了 因此绝对不能遗忘 同时还应认识到 经过一点 两点或在一条直线上的三点可有无数个平面 过 不在一条直线上的四点 不一定有平面 因此要充分重视 不 在一条直线上的三点 这一条件的重要性 公理 中的 有且只有一个 的含义要准确理解 这里的 有 是说图形存在 只有一个 是说图形唯一 本公理强调 的是存在性和唯一性两个方面 因此 有且只有一个 必须完 整地使用 不能仅用 只有一个 来替代 有且只有一个 否 则就没有表达存在性 确定一个平
9、面中的 确定 是 有且只 有 的同义词 也是指存在性和唯一性这两方面的 这个术语 今后也会常常出现 要理解好 公理 的作用 作用一是确定平面 作用二可用其证 明点 线共面问题 图 问题 如图 把三角板的一 个角立在课桌面上 三角板所在的平面与 桌面所在的平面是否 只 相 交 于 一 点 为什么 探究 不是 因为平面是无限延伸的 所以三角板所在的平面与桌面所在的平面可以相交于无数 个公共点 它们在两个平面的交线上 提升总结 公理 如果两个不重合的平面有一个公共 点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图 温馨提示 图形语言表述 图 符号语言表述 且 公理 的内容反映了平面与平面的 位置关系 公
10、理 的作用 其一它是判定两个平 面是否相交的依据 只要两个平面有一个公共点 就可以判 定这两个平面必相交于过这点的一条直线 其二它可以判定 点在直线上 点是某两个平面的公共点 线是这两个平面的 公共交线 则这点在交线上 思考 经过两条相交直线有几个平面 经过两条平行直线有几个平面 探究 设直线 相交于点 在直线 上分别取 新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 图 不同于点 的点 则不在同一条直线 上的三点 确定一个平面 因为直线 上各有两点在平面 内 所以平面 是过 直线 的平面 如果过直线 和 还有另外 一个平面 那么 三点也一定在平面 内 这样过不在同 一条直线上的三点 就有两
11、个不同的平面了 这与公理 矛盾 所以经过相交直线 有且只有一个平面 如图 图 因为当两条直线在同一平面内 且 不相交时叫做平行线 所以两条平行直线 和 必在某个平面 内 即过两条平行直线 有一个平面 如果过直线 和 还有一个平 面 那么在直线 上任取一点 一定在平面 内 这样过 点 和直线 就有两个平面了 这和推论 是矛盾的 所以 过平行直线 和 的平面只有一个 如图 提升总结 以上结论可以作为公理 的三个推论 给出 了确定平面的条件 推论 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有 一个平面 推论 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 经过两条平行直线 有且只有一个平面 跟踪练习 若点 在
12、直线 上 在平面 内 则上述关系记 作 过一条直线和这条直线外不在同一直线上的三点 最 多可以确定 个平面 探究三 平面的基本性质的应用 图 例 如图 已知直线 直 线 与 都相交 求证 共面 跟踪练习 在 正 方 体 中 分 别 在 棱 上 且 相交于点 求证 三点共线 分 析 证明三点共线 先定线 即确定是哪两个平面的 交线 反思感悟 学习过程中 要与平面几何作比较 理解虚线与 的区别 规范画图 三种语言的转化是理解和分析立体几何问题的钥匙 各 种符号可以对照集合中符号的含义理解 但必须用 来 表达 共面 共线 问题是三个公理及推论的直接应用 也是立体几何的重要内容 同时也体现了解立体几何
13、问题的 基本思想 转化成 问题解决 公理 及其 个推论是确定平面的四种方法 也是实 现空间问题平面化的重要工具 本节内容理论性强 抽象程度高 在解题时要注重结 合图形和实物 化抽象为具体 空间中直线与直线之间的位置关系 学习目标 理解空 间 中 直 线 与 直 线 的 位 置 关 系 会 判 定 异 面 直线 理解异面直线所成的角的含义 掌握求异面直线所成 角的步骤 理解平行公理与等角定理 知道平面几何中的定理推 广到立体几何中需要证明 情境创设 我们知道平面内的两条直线有平行和相交两种位置 关系 观察一个长方体 可以发现上底面的长所在的直线与 下底面的宽所在的直线是既不平行 也不相交的 那么
14、空间 的两条直线有哪些位置关系呢 第 届航展的拉烟飞行表演给我们展示了直线的魅 力 著名的俄罗斯 雨燕 飞行队的表演 机尾的烟气形成一 条条直线 犹似从一点出发的一组相交的直线 我国 八一 飞行队的表演是六机楔队仰冲 身后的烟气恰如一组平行线 也随其追天而去 英国 金梦 飞行表演队所做的是 扭转筋 斗 特技 它们的矫健身姿留下两条既不相交也不平行的直 线 那么空间中的两条直线到底有怎样的位置关系呢 快让 我们一起学习吧 合作探究 探究一 空间中直线与直线的位置关系 问题 在空间中 两条直线有几种位置关系 如图 在长方体 中 底面 是平面图形 其中 在空间中仍存在相交 直线和平行直线 由公理 的
15、推论知 它们一定共面 点 直线 平面之间的位置关系第二章 学 习 札记 图 议一议 直线 与 分 别在哪个平面内 有没有一个平面 同时经过两直线 直线 与 分别在哪个 平面内 有没有一个平面同时经过 两直线 平面 平面 平面 平面 没有一个平面同时经过直线 与 与 既不平行 也不相交 无公共点 平 面 平 面 平 面 平 面 平 面 同 时 经 过 与 提升总结 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 不同在任何一个平面内 指这两条直线永不具备 确定平面的条件 因此 异面直线既不相交 也不平行 要注 意把握异面直线的不共面性 不能把异面直线误解为 分别在不同平面内的两条 直线为异面直线 空间
16、中直线与直线的位置关系有三种 相交直线 有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 问题 怎样用图形表示异面直线 探究 画异面直线时 为了充分显示出它们既不平行又 不相交的特点 即不共面的特点 常常需要以辅助平面作为 衬托 以加强直观性 如图 若画成如图 的情形 就分不清是否有公共点了 图 图 提升总结 画平面衬托时 通常画成图 的情形 图 例 填一填 空间两条直线的位置关系 位置关系图形语言符号语言公共点个数 平行 相交 异面 跟踪练习 空间两条直线 与直线 都成异面直线 则 的 位置关系为 平行或相交 异面 平行 平行或相交或异面 探究二 平行公理 想一想 在平面几何中 若直线 则 与 有 什么关系 议一议 在正方体 中 与 平行的 棱有哪几条 探究 在正方体 中 又 可以确定 类似地 有 提升总结 公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 用符号表示为 若 则 温馨提示 公理 通常称为空间平行线的传递性 由公理 可知空间平行于同一条直线的所有直线都互相 平行 它给出了空间两条直线平行的一种证明方法 图 例 已知四边形 是空
