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1、新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 图 例 如图 设 为夹在 两个平行平面 之间的线段 且直线 为异面直线 分别是 的中 点 求证 直线 平面 分 析 欲证线面平行 可以先证面面平 行 欲证面面平行 需先证线面平行 要证 线面平行 需先证线线平行 跟踪练习 过正方体 的三个顶点 的 平面与底面 所在平面的交线为 则 与 的位 置关系是 图 如图 在底面是菱形的 四棱锥 中 槡 点 在 上 且 问在棱 上是否存在一点 使 平面 证明你的结论 反思感悟 常见的平行关系有 这三种平行关系不是孤立的 而是相互联系的 线线平 行 判定 判定 面面平行 面面平行 性质 性质 线线平行 在已知
2、中出现某种位置关系应考虑用其性质定理 在 求证中出现某种位置关系应考虑其判定定理 即 由已知想 性质 由求证想判定 平行关系的综合问题的证明需灵活运用三种平行关 系的 和 定理来作为论证的依据 判断两条直线平行的常用方法有 定义法 中位线 线段成比例 平行公理 线面 平行 面面平行的性质定理 判断两个平面平行的常用方法有 利用定义 证两个平面没有公共点 面面平行的判定定理 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面 平行 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条相交直线 那么这两个平面平行 判断线面平行的常用方法有 定义法 线面平行的判定定理 面面平行的性质 在论证的过程中需作
3、 或 来沟通它 们之间的联系 直直线线 平平面面垂垂直直的的判判定定及及其其性性质质 直线与平面垂直的判定 学习目标 准确叙 述 直 线 和 平 面 垂 直 的 定 义 并 能 画 图 予 以 表示 能准确说出直线与平面垂直的判定定理 并能用图 形 符号语言予以表示 会用判定定理解决有关问题 初步掌握将空间问题转化为平面问题的方法 情境创设 同学们 你们见过中华世纪坛坛体上方的 时空探 针 吗 图 如图 中华世纪坛坛体上方 耸立着一根高达 米的时空探针 造 型如一枚飞向太空的火箭 是时空永恒 延展的象征 体现了中国人民勇于探索 的创新精神 探针的顶端与内部旋转体 的中心在一条垂直线上 从理论上
4、说 这个点静止不动 做到了 主体建筑动静呼应 气势雄浑 英国发明家瓦特 获得了蒸汽机专利后 从 一个大学实验员一跃成为波士顿 瓦特公司的老板 还成为英 国皇家学会的会员 引起了许多旧贵族的不满 据说 在一次皇 家音乐会上 有个贵族故意嘲讽地对瓦特说 乐队指挥手里拿 的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已 瓦特回答道 是 的 那的确是棒子 但是我可以用这 根棒子组成 个直角 而 你却不能做到 那个贵族不服气地用 根指挥棒在桌上摆来摆 去 可始终无法摆出 个角 你能摆出 个直角吗 生活中处处都有线面垂直的例子 如帆船的桅杆与海平 面 操场上的旗杆和地面 马路两边的路灯杆与地面 教室中的 墙缝和地板面
5、等等 那么如何判断一条直线与一个平面垂直呢 合作探究 探究一 直线与平面垂直的定义 想一想 中华世纪坛的 时空探针 与地面是什么关系 点 直线 平面之间的位置关系第二章 学 习 札记 能否再举几个这样的例子 由图片感性认识时空探针与地面垂直 日常生活中 旗 杆与地面的位置关系 大桥的桥柱与水面的位置关系等 都 给我们以直线与平面垂直的形象 图 议一议 如何定义一条直线与一个 平面垂直呢 如图 在阳光下观察直立于 地面 的 旗 杆 及 它 在 地 面 的 影 子 旗杆所在的直线与影子所在直线 的位置关系是什么 探究 随着时间的变化 尽管影子 的位置在移动 但是旗杆 所在直线始终与 所在 的直线垂
6、直 也就是说 旗杆 所在直线与地面内任意一 条过点 的直线垂直 事实上 旗杆 所在的直线与地面 内任意一条不过点 的直线 也是垂直的 提升总结 直线和平面垂直的定义 如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直 我们就 说直线 与平面 互相垂直 记作 直线 叫做平面 的 垂线 平面 叫做直线 的垂面 温馨提示 直线与平面垂直不是直线与平面位置关 系的一种 而是直线与平面相交的一种特殊情况 定义都具有双重作用 判定和性质 判定是指 如果 一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 那么这条直 图 线就与此平面垂直 这是判定直线与平面垂 直的一种方法 性质是指 如果一条直线垂 直于一个平面 那么这条直线
7、就垂直于这个 平面内的任意一条直线 即 画直线与平面垂直时 通常把直线 画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 如图 例 直线 与平面 内的无数条直线垂直 则 和平面 相互平行 和平面 相互垂直 在平面 内 不能确定 跟踪练习 直线 平面 则 与 的关系为 且 与 相交 且 与 不相交 与 不一定垂直 探究二 直线和平面垂直的判定定理 准备一块 三 角 形 的 纸 片 过 的 顶 点 翻 折 纸片 得一折痕 然后将翻折后的纸片竖起放在桌面 上 与 桌 面 接 触 折 痕 是 不 是 与 桌 面 垂 直呢 想一想 容易发现 只有当折痕 与原三角形的边 垂 直时 折痕 才与桌面垂直 当 与 垂直时
8、将纸片翻折 以后 线段 被折成两条线段 和 与 都与折痕 图 垂直 由此可以发现 当折痕 垂直 于桌面内的两条相交直线 和 时 折痕 才垂直于桌面 提升总结 一般地 判断直线与平面 垂直有下面的判定定理 一条直线与一 个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 如图 即 烍 烌 烎 温馨提示 判定定理的条件中 平面内的两条相交 直线 是关键性词语 一定要抓牢 要判定一条已知直线和一个平面是否垂直 取决于 在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直 至于 这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的 例 下列命题中正确的是 若一条直线和平面内的一条直线垂直 则这条直线 和这个平面
9、垂直 若平面外的一条直线与平面内的两条直线垂直 则 这条直线和这个平面垂直 若平面外的一条直线与平面内的无数条直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 和一个三角形两边同时垂直的直线也和第三边垂直 跟踪练习 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 则能 保证该直线与平面垂直的是 探究三 直线与平面所成的角 议一议 直线与平面垂直时 直线与平面所成的角是 多少 直角 直线和平面平行或直线在平面内时 直线与平面所 成的角是多少 想一想 直线与平面相交且不与平面垂直时所成的角是 多少 图 提升总结 相关概念 点到平面的垂线段 自点向平面 引垂线 垂足叫做这
10、个点在这个平面上 的射影 这个点与垂足间的线段叫做这 个点到这个平面的垂线段 如图 平面 垂足为 则线段 叫做 点 到平面 的垂线段 斜线 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜足 斜 线上的一点和斜足间的线段叫做这个点到这个平面的斜线段 如图 与平面 不垂直 则直线 叫平面 的斜线 线段 叫做点 到平面 的斜线段 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过斜足和 垂足的直线叫做斜线在这个平面上的射影 垂足与斜足间的线段 叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 如图 点 图 是点 在平面 上的射影 直线 叫做 斜线 在平面 内的射影
11、线段 叫做 斜线段 在平面 内的射影 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射 影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面 新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 所成的角 如图 所示的 即为直线 与平面 所 成的角 例 若斜线段 是它在平面 内射影长的 倍 则 与平面 所成的角是 图 跟踪练习 如 图 在 正 三 棱 柱 中 侧棱长为槡 底面三角形的边长 为 则 与 侧 面 所 成 的 角 是 探究四 直线与平面垂直的判定与 应用 图 例 如 图 在 正 方 体 中 为 的 中点 为四边形 的中心 求证 平面 分 析 要证 平面 只 需证 垂直于平面 中的两 条相交直线 跟踪练
12、习 在空间四边形 中 分别是 的中 点 若 槡 求证 平 面 反思感悟 通过本节学习 你学会了哪些判断直线与平面垂直的 方法 方法 判定定理 上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学 思想 体现了 的数学思想方法 线面垂直的定义具有 和 的双重作用 要注意 灵活运用 斜线段 垂线段及射影构成了一个 三角形 直线与平面所成的角的取值范围是 平面与平面垂直的判定 学习目标 正确理解二面角 二面角的平面角的概念 理解两个平面垂直的定义 画法及记法 掌握两个平面垂直的判定定理 并学会应用定理解决 问题 培养空间想象能力 化归能力和逻辑思维能力 情境创设 如图 当我们在使用笔记本电脑时 为了便于 图
13、操作 需要将显示屏打开一定的角度 这 样我们就会得到两个平面 如何来刻画两 个平面之间的这种张角的大小呢 当显 示屏打开后角度又是怎样变化的呢 年 月 日 我国用自制 长征 一号 运载火箭 在酒泉卫星发射中心成功地发射了第一颗人造 地球卫星 东方红一号 这标志着我国在征服太空的道路 上迈出了巨大的一步 跻身于世界航天先进国家之列 东方红 一号 轨道平面的倾斜角是 就是说卫星轨道平面与地球 赤道平面所成的二面角是 那么二面角是如何刻画的呢 研究二面角又有何重要作用呢 合作探究 探究一 二面角的概念 想一想 笔记本电脑打开后的显示屏和键盘所在的平面 给我们什么感觉 给我们以平面的一部分的感觉 我们
14、想象 着显示屏的后面还有键盘的另外一部分 它们被显示屏与键 盘的交线分成了两部分 像这样 平面内的一条直线把平面 分成两部分 这两部分通常称为半平面 图 点 直线 平面之间的位置关系第二章 学 习 札记 提升总结 当其中一个半平面绕着这条直线旋转时 两个半平面就形成了一定的 角度 所以我们把从一条直线 出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 如图 这 条直线叫做二面角的棱 如图 中的 图 中的 这两个半平面叫做二面角的面 如图 中的 棱为 面分别为 的二面角记作二面角 也可 以在 内 棱以外的半平面部分 分别取点 将这个二 面角记作二面角 如果棱记作 那么这个二面角记 作二面角 或 议一议 笔
15、记本电脑打开时 我们感觉到两个面板构成 的二面角在逐渐变大 如何来刻画二面角的大小呢 如图 我们看到随着张口的增大 在逐 渐增 大 当 二 面 角 确 定 时 也 随 之 确 定 故 可 用 的大小来刻画度量二面角的大小 图 提升总结 以二面角的棱上的任一点为端点 在这两 个平面内分别作棱的垂线 这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角 如图 则 即为二面 角 的平面角 图 二面角的大小可以用它的平面角来度量 二面角的平面 角是多少度 就说这个二面角是多少度 二面角的范围为 当两个半平面重合时 二面角为 比如笔记本电 脑合起来时 当二面角的两个半平面成一个平面时 二面角 的度数为 比如笔记本电脑
16、完全打开时 特别地 若一 个二面角的平面角是直角 就说这个二面角为直二面角 思考 二面角 的平面角的大小与顶点的位置有关吗 图 探究 如图 用两个垂直于棱的 平面 去截一个二面角 设 又 又 同理 由等角定理 得所截 得的角 是相等的 上面的推理告诉我们 如果在二面角的棱上任取一点 再由棱上一点分别在两个半平面内引棱的垂线 这两条射线 所成的角的大小是不变的 也即二面角的平面角的大小不随 顶点的变化而变化 温馨提示 二面角是一个空间图形 而二面角的平面 角是平面图形 二面角的大小通过其平面角的大小表示 体 现了由空间图形向平面图形转化的思想 二面角的平面角的定义是两条 射线 的夹角 不是 两条直线的夹角 因此 二面角的取值范围是 两个平面相交 可以构成四个二面角 其中相对的两 个二面角是相等的 相邻的两个二面角是互补的 图 例 如 图 空 间 四 边 形 中 对角线 槡 求二面 角 的大小 分 析 首先根据二面角的概念 作出它的平面角 然后求出平面角 所在三角形各边长 从而求得角的 大小 跟踪练习 有下列四个命题 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线 分别和一个二面角的两个面垂直
