《第3章空间向量与立体几何§3.1.3 空间向量的数量积运算_3211》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章空间向量与立体几何§3.1.3 空间向量的数量积运算_3211（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 1 3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 知识点一知识点一 求两向量的数量积求两向量的数量积 如图所示 已知正四面体 O ABC 的棱长为 a 求 AB OC 解 由题意知 AB AC AO a 且 AB AO 120 AB CA 120 AB OC AB OA CA AB OA AB CA a2cos120 a2cos120 0 反思感悟 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点 如 AB 60 时 AB 120 AC CA 已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 4 E 为 AB1的中点 F 为 A1D1的中点 试计算 1 BC 1ED
2、 2 BF 1AB 3 EF 1FC 解 如图所示 设AB a b c 则 a c 2 b 4 a b b c c a 0 AD AA1 1 BC 1ED b 1 2 c a b b 2 42 16 2 BF 1AB c a 1 2 b a c c 2 a 2 22 22 0 3 EF 1FC c a b b a a b c b a a 2 b 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 知识点二知识点二 利用数量积求角利用数量积求角 2 如图 在空间四边形 OABC 中 OA 8 AB 6 AC 4 BC 5 OAC 45 OAB 60 求 OA 与 BC 所成角的余弦值
3、 解 因 BCACAB 所以 OA BC OA AC OA AB OA AC cos OA AC OA AB cos OA AB 8 4 cos135 8 6 cos120 16 224 所以 cos OA BC OA BC OA BC 24 16 2 8 5 3 2 2 5 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 3 2 2 5 反思感悟 在异面直线上取两个向量 则两异面直线所成角的问题可转 化为两向量的夹角问题 需注意的是 转化前后的两个角的关系可能相等也可能 互补 在二面角 l 中 A B C D l ABCD 为矩形 P PA 且 PA AD M N 依次是 AB PC 的中点 1 求二
4、面角 l 的大小 2 求证 MN AB 3 求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小 1 解 PA l PA l 又 AD l PA AD A l 平面 PAD l PD 故 ADP 为二面角 l 的平面角 由 PA AD 得 ADP 45 二面角 l 的大小为 45 2 证明 PC PD DC PN 1 2PC 1 2PD 1 2DC 1 2 AD AP 1 2DC AN PN PA PN AP AN 1 2 AD 1 2AP 1 2DC MN 1 2 AD AN AM 1 2AP 1 2DC 1 2DC 1 2 AD AD AB AP AB 1 2AP AB 0 AB 0 AD AP MN
5、 AB 3 3 解 设 AP a 由 2 得 MN 1 2 AD 1 2AP AP AN 1 2 AD a2 AP 1 2AP AP 1 2 AP a AD MN a f 1 2 o AD s up6 f 1 2 o AP s up6 2 1 4AD 2 1 4AP 2 2 2 cos AP AN APAN 2 2 即异面直线 PA 与 MN 所成角为 45 知识点三知识点三 利用数量积证明垂直关系利用数量积证明垂直关系 如图所示 m n 是平面 内的两条相交直线 如果 l m l n 求证 l 证明 在 内作任一直线 g 分别在 l m n g 上取非零向量 l m n g 因为 m 与 n
6、 相交 所以向量 m n 不平行 由向量共面的充要条件知 存在惟一的有序实数对 x y 使 g xm yn 将上式两边与向量 l 作数量积 得 l g xl m yl n 因为 l m 0 l n 0 所以 l g 0 所以 l g 即 l g 这就证明了直线 l 垂直于平面 内的任意一条直线 所以 l 反思感悟 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直 即证 明两向量数量积为零 已知 在空间四边形 OABC 中 OA BC OB AC 求证 OC AB 证明 OA BC OB AC OA BC 0 OB AC 0 OC AB OB BC CB AC OB AC OB CB BC AC
7、BC CB OB CB BC AC CB OB AB AB 0 CB BC BC BO BC AO OC OC AB AB 课堂小结课堂小结 4 空间两个向量 a b 的数量积 仍旧保留平面向量中数量积的形式 即 a b a b cos a b 这里 a b 表示空间两向量所成的角 0 a b 空间向量的数量积具 有平面向量数量积的运算性质 应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题 可以求两直线 夹角问题和线段长度问题 即 1 利用 a b a b 0 证线线垂直 a b 为非零向量 2 利用 a b a b cos a b cos 求两直线的夹角 3 利用 a 2 a a 求解有关线段的长度
8、a b a b 问题 一 选择题 1 若 a b 均为非零向量 则 a b a b 是 a 与 b 共线的 A 充分不必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 答案 A 解析 a b a b cos a b a b cos a b 1 a b 0 当 a 与 b 反向时 不能成立 2 已知 a b 均为单位向量 它们的夹角为 60 那么 a 3b 等于 A B 710 C D 4 13 答案 C 解析 a 3b 2 a 3b 2 a2 6a b 9b2 1 6 cos60 9 13 3 对于向量 a b c 和实数 下列命题中真命题是 A 若 a b 0 则 a 0
9、 或 b 0 B 若 a 0 则 0 或 a 0 C 若 a2 b2 则 a b 或 a b D 若 a b a c 则 b c 答案 B 解析 A 中若 a b 则有 a b 0 不一定有 a 0 b 0 C 中当 a b 时 a2 b2 此时不一定有 a b 或 a b D 中当 a 0 时 a b a c 不一定有 b c 4 已知四边形 ABCD 满足 6 0 0 0 6 0 OC BC BC CD CD DA DA OC 则该四边形为 A 平行四边形 B 梯形 C 平面四边形 D 空间四边形 答案 D 5 已知 a b 是平面 内的两个不相等的非零向量 非零向量 c 在直线 l 上
10、则 c a 0 且 c b 0 是 l 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 二 填空题 5 6 已知向量 a b 满足条件 a 2 b 且 a 与 2b a 互相垂直 则 a 与 b 的夹2 角为 答案 45 解析 因为 a 与 2b a 垂直 所以 a 2b a 0 即 2a b a 2 0 所以 2 a b cos a b a 2 0 所以 4cos a b 4 0 cos a b 2 2 2 所以 a 与 b 的夹角为 45 7 已知线段 AB BD 在平面 内 ABD 120 线段 AC 如果 AB a BD b AC c 则
11、CD 为 答案 a2 b2 c2 ab 解析 CD 2 AB 2 BD AC AB 2 2 2 2AB 2AB 2 a2 b2 c2 2abcos60 a2 b2BD AC BD AC BD AC c2 ab CD a2 b2 c2 aba2 b2 c2 ab 8 已知 a 3 b 4 m a b n a b a b 135 m n 则 2 答案 3 2 解析 由 m n 0 得 a b a b 0 列方程解得 3 2 三 解答题 9 如图 已知 E 是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 C1D1的中点 试求向量11AC 与DE 所成角的余弦值 解 设正方体的棱长为 m AB a b c
12、AD AA1 则 a b c m a b b c c a 0 又 11AC AB a b A1B1 B1C1 AD DE c a DD1 D1E DD1 1 2D 1C1 1 2 11AC a b c a DE 1 2 a c b c a2 a b a2 m2 1 2 1 2 1 2 1 2 又 11AC m m 2DE 2 6 cos 11AC 11 11 AC DE ACDE DE 1 2m 2 2m 5 2 m 10 10 10 已知在平行六面体 ABCD A B C D 中 AB 4 AD 3 AA 5 BAD 90 BAA DAA 60 1 求 AC 的长 如图所示 2 求 AC 与
13、的夹角的余弦值 AC 解 1 AC AB AD AA AC 2 AB AD AA 2 AB 2 AD 2 AA 2 2 AB AD AB AA AD AA 42 32 52 2 0 10 7 5 85 AC 85 2 方法一 设 AC 与AC 的夹角为 四边形 ABCD 是矩形 AC 22 345 由余弦定理可得 cos AC 2 AC2 CC 2 2AC AC 85 25 25 2 85 5 85 10 方法二 设AB a b c AD AA 依题意 AC AC a b c a b a2 2a b b2 a c b c 16 0 9 4 5 cos60 3 5 cos60 16 9 10 15 2 85 2 cos AC AC ACAC 85 2 85 5 85 10
