《第3章 空间向量与立体几何§3.1.5 空间向量运算的坐标表示_5543》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章 空间向量与立体几何§3.1.5 空间向量运算的坐标表示_5543（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 1 5 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 知识点一知识点一 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 设 a 1 5 1 b 2 3 5 1 若 ka b a 3b 求 k 2 若 ka b a 3b 求 k 解 1 ka b k 2 5k 3 k 5 a 3b 1 3 2 5 3 3 1 3 5 7 4 16 因为 ka b a 3b 所以 解得 k k 2 7 5k 3 4 k 5 16 1 3 2 因为 ka b a 3b 所以 k 2 7 5k 3 4 k 5 16 0 解得 k 106 3 反思感悟 以下两个充要条件在解题中经常使用 要熟练掌握 若a x1 y1 z1
2、 b x2 y2 z2 则 a b x1 x2且 y1 y2 且 z1 z2 R a b x1x2 y1y2 z1z2 0 已知 A 3 3 1 B 1 0 5 求 1 线段 AB 的中点坐标和长度 2 到 A B 两点距离相等的点 P x y z 的坐标 x y z 满足的条件 解 1 设 M 是线段 AB 的中点 则OM 2 3 所以线段 AB 1 2 OA 1 2 OA OB 3 2 的中点坐标是 2 3 3 2 AB 1 3 2 0 3 2 5 1 229 2 点 P x y z 到 A B 两点距离相等 则 x 3 2 y 3 2 z 1 2 x 1 2 y 0 2 z 5 2 化简
3、 得 4x 6y 8z 7 0 即到 A B 两点距离相等的点 P x y z 的坐标 x y z 满 足的条件是 4x 6y 8z 7 0 知识点二证明线面的平行 垂直知识点二证明线面的平行 垂直 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 BB1 CD 的中点 求证 D1F 平面 ADE 证明 不妨设已知正方体的棱长为 2 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 则 D 0 0 0 A 2 0 0 E 2 2 1 F 0 1 0 D 1 0 0 2 所以 AD 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 所以D1F AD 又 0 2 1 所以 D1F AD D1F AE AE 2
4、 0 2 2 0 所以 D1F AE 又 AD AE A 所以 D1F 平面 ADE D1F 反思感悟 本例中坐标系的选取具有一般性 这样选取可以使正方体各顶点的坐标均 为非负数 且易确定 在今后会常用到 已知 A 2 3 1 B 2 5 3 C 8 1 8 D 4 9 6 求证 四边形 ABCD 为平 行四边形 证明 设 O 为坐标原点 依题意 OA 2 3 1 OB 2 5 3 AB OB OA 2 5 3 2 3 1 4 8 2 同理可得 DC 4 8 2 AD 6 6 5 BC 6 6 5 由 AB AB DC AD BC 可知 AB AB AD BC 所以四边形 ABCD 是平行四边
5、形 知识点三知识点三 向量坐标的应用向量坐标的应用 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 为 DD1的中点 O1 O2 O3分别是平 面 A1B1C1D1 平面 BB1C1C 平面 ABCD 的中心 1 求证 B1O3 PA 2 求异面直线 PO3与 O1O2所成角的余弦值 3 求 PO2的长 1 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD1 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系 D xyz 则 B1 1 1 1 O3 0 P 0 0 A 1 0 0 1 2 1 2 1 2 13B O 1 1 1 0 1 2 1 2 PA 1 2 1 2 PA
6、 1 2 13B O 0 0 PA 1 2 1 2 即 13B O PA B1O3 PA 2 解 O1 1 O2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 则 12O O 0 1 2 1 2 又 3PO 1 2 1 2 1 2 3 cos 3PO 12O O PO3 O1O2 PO3 O1O2 0 f 1 2 2 f 1 2 2 f 1 2 2 f 1 2 2 f 1 2 2 0 2 f 1 2 2 f 1 2 2 6 3 异面直线 PO3与 O1O2所成角的余弦值为 6 3 3 P 0 0 O2 1 1 2 1 2 1 2 2PO 1 0 1 2 2PO f 1 2 0 2 1 0 2 f 1 2
7、 f 1 2 2 5 2 反思感悟 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系 要充分利用几何体 本身的特点 以使各点的坐标易求 利用向量解决几何问题 可使复杂的线面关 系的论证 角及距离的计算变得简单 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面 ABC 中 CA CB 1 BCA 90 AA1 2 N 是 AA1的中点 1 求 BN 的长 2 求 BA1 B1C 所成角的余弦值 解 以 C 为原点建立空间直角坐标系 则 1 B 0 1 0 N 1 0 1 BN 1 0 2 0 1 2 1 0 2 3 2 A1 1 0 2 C 0 0 0 B1 0 1 2 1BA 1 1 2 1 1 2 0 1 2 B1C
8、 B1C 1BA 1 4 3 1BA B1C 6B1C 5 cos 1BA 1 1 11 B C BA BAB C B1C BA1 B1C 所成角的余弦值为 3 6 5 30 10 30 10 一 选择题 1 已知点 A x1 y1 z1 则点 A 关于 xOz 平面的对称点 A 的坐标为 A x1 y1 z1 B x1 y1 z1 C x1 y1 z1 D x1 y1 z1 答案 C 4 解析 点 A 与 A 关于 xOz 平面对称 即 AA 平面 xOz 且 A A 到面 xOz 的距离 相等 所以 A 与 A 的 x z 的值相同 y 的值互为相反数 2 已知 a 2 3 4 b 4 3
9、 2 b x 2a 则 x 等于 1 2 A 0 3 6 B 0 6 20 C 0 6 6 D 6 6 6 答案 B 解析 b x 2a x 4a 2b 0 6 20 1 2 3 已知 a sin cos tan b cos sin 有 a b 则 等于 1 tan A B 4 4 C 2k k Z D k k Z 2 4 答案 D 解析 a b 2sin cos 1 sin2 1 0 2 2k k 2 4 4 若向量 a 1 2 b 2 1 2 cos a b 则 为 8 9 A 2 B 2 C 2 或 D 2 或 2 55 2 55 答案 C 解析 由 cos a b a b a b 6
10、3 5 2 8 9 化得 55 2 108 4 0 由此可解得 2 或 2 55 5 已知 a cos 1 sin b sin 1 cos 则向量 a b 与 a b 的夹角是 A 90 B 60 C 30 D 0 答案 A 解析 a b 2 a b a b a2 b2 0 二 填空题 6 模等于 2且方向与向量 a 1 2 3 相同的向量为 7 答案 2 3 222 解析 设 b a 0 则 2 4 2 9 2 28 2 2 故 2 7 已知三个力 f1 1 2 3 f2 1 3 1 f3 3 4 5 若 f1 f2 f3共同作用于 一物体上 使物体从点 M1 1 2 1 移动到点 M2 3
11、 1 2 则合力所做的功是 答案 16 解析 合力 f f1 f2 f3 3 1 7 位移 s 2 3 1 功 w f s 3 1 7 2 3 1 6 3 7 16 8 已知点 A 2 5 1 B 1 4 2 C 3 3 在同一直线上 则 答案 7 3 5 解析 AB 3 1 1 1 2 1 AC 则AB 所以 AC 1 3 2 1 1 1 故 1 6 1 2 即 7 3 三 解答题 9 E F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1中线段 A1D AC 上的点 且 DE AF AC 1 3 求证 1 EF BD1 2 EF A1D 证明 1 建立如图所示的空间直角坐标系 设 AB 1 则
12、A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 D 0 0 0 A1 1 0 1 D1 0 0 1 E 11 0 33 F 2 1 0 3 3 EF 1 3 1 3 1 3 1BD 1 1 1 3 EF 1BD 又 F BD1 EF EF BD1 2 1AD 1 0 1 EF 1 0 1 A1D 1 3 1 3 1 3 0 1 3 1 3 EF 即 EF A1D A1D 10 如图所示 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 4 点 E 在 CC1上且 C1E 3EC 证明 A1C 平面 BED 证明 以 D 为坐标原点 射线 DA 为 x 轴的正半轴 射线 DC 为 y 轴的正半轴 射线 DD1 为 z 轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 依题设 B 2 2 0 C 0 2 0 E 0 2 1 A1 2 0 4 DE 0 2 1 2 2 0 DB 1AC 2 2 4 1DA 2 0 4 因为1AC 0 1AC DE 2 2 4 DB 故 A1C BD A1C DE 又 BD DE D 所以 A1C 平面 BED 6
