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1、1 初 中数学竞赛精品标准教程及练习 67 参数法证平几 一 内容提要一 内容提要 1 联系数量间关系的变数叫做参变数 简称参数 2 有一类平面几何的证明 可以根据图形性质引入参数 布列方程 通过计算来完成 我 们称它为参数法 其关键是正确选定参数和准确的进行计算 二 例题二 例题 例 1 如图已知 AB 是 O 的直径 C 是半圆上的一点 CD AB 于 D N 与 O 内切且与 AB CD 分 别切于 E F 求证 AC AE 分析 选取两圆半径为参数 通过半径联系 AC AE 的关系 证明 设 O N 半径分别为 R 和 r 连接 ON NE 根据勾股定理 OE 22 Rrr rR2 R
2、 2 AE OA OE R rR2 R 2 OD OE r rR2 R 2 r AD OA OD R rR2 R 2 r 根据射影定理 AC2 AD AB R rR2 R 2 r 2R 2R2 2RrR2 R 2 2Rr R2 2RrR2 R 2 R2 2Rr R rR2 R 2 2 AC R rR2 R 2 AC AE 例 2 已知 ABC 的内切圆 I 和边 AB BC CA 分别切于 D E F AC BC 2AD DB 求证 C Rt 证明 设 AD x 则 DB c x 代入 AC BC 2AD DB 得 ab 2x c x 2x2 2cx ab 0 x 4 22 2 abcc 2
3、2 2 abcc 又根据切线长定理得 x 2 abc 2 2 2 abcc 2 abc AB C N D EO F x b a C C B A I D E F 2 c2 2ab a2 2ab b2 c2 a2 b2 C Rt 例 3 已知 等边三角形 ABC 中 P 是中位线 DE 上一点 BP CP 的延长线分别交 AC 于 F 交 AB 于 G 求证 BC 3 CF 1 BG 1 证明 设 ABC 边长为 a PD m PE n BG x CF y DE 是 ABC 的中位线 DE BC DE 2 1 BC 2 2 1 2 y a y a n x a x a m 1 2 y a y x a
4、 x a nm 22 y a x a 2 1 2 1 2 1 2 3 11 2 yx a ayx 311 BC 3 CF 1 BG 1 例 4 已知 如图四边形 ABCD 中 过点 B 的直线交 AC 于 M 交 CD 于 N 且 CD CN AC AM S ABC S ABD S BCD 1 3 4 求证 M N 平分 AC 和 CD 证明 设 S ABC 1 则 S ABD 3 S BCD 4 S ACD 3 4 1 6 设 CD CN AC AM k 0 k 1 连结 AN 根据高相等的三角形面积的比等于底的比 得 k CD CN S S ACD ACN S ACN 6k k S AC
5、AM S ACN AMN S AMN 6k k 6k2 m n P A B C D E F G j M A B C D N 3 k CD CN S S BCD BCN S BCN 4k k AC AM S S ABC ABM S ABM k S BMC 1 k S ACN S AMN S MNC S BCN S BMC 6k 6k2 4k 1 k 6k2 k 1 0 k 2 1 或 k 3 1 k 3 1 不合题意 舍去 CD CN AC AM k 2 1 AM MC CN ND 即 M N 平分 AC 和 CD 例 5 已知 如图 ABC 中 AD 是高 AB DC AC BD 求证 AB
6、AC 证明 设 AB c AC b BD m DC n 根据勾股定理 得 2222 mbnc mcnb nbmc mcmcnbnb mncb mcnb cbmn bcmn c b b c b c 即 AB AC 例 6 如图已知 一条直线截 ABC 三边 AB BC AC 或延长线于 D E F 求证 1 FA CF EC BE DB AD 曼奈拉斯定理 曼奈拉斯定理 证明 设 BDE DEB F 根据正弦定理 在 BDE 中 Sin DB in S BE Sin Sin DB BE 在 CEF 中 Sin EC Sin CF Sin Sin EC CF 在 ADF 中 180 Sin FA
7、Sin AD 180 Sin Sin FA AD E A B C F D j M A B C D N n m b c A B C D 4 Sin 180 Sin FA AD EC CF DB BE Sin Sin Sin Sin 1 180 Sin Sin 即1 FA CF EC BE DB AD 三 三 练习练习 67 1 已知 如图三条弦 AB CD EF 两两相交于 G H I IA GD HE IC GF HB 求证 GHI 是等边三角形 2 已知 在矩形 ABCD 中 AP BD 于 P PE BC 于于 E PF CD 于 F 求证 PA3 PE PF BD 3 已知 ABC 的两
8、条高 AD BE 相交于 H 求证 过 A B H 三点的圆与过 A C H 三点的圆是等圆 4 已知 AB 是 O 的直径 P 是半圆上的一点 PC AB 于 C 以 PC 为半径的 P 交 O 于 D E 求证 DE 平分 PC 5 已知 ABC 的两条高 AD 和 BE 相交于 P 且 AD BC F 是 BC 的中点 求证 PD PF 2 1 BC 6 已知 平行四边形 ABCD 中 A B AC2 BD2 AB4 AD4 求证 A 3 1 B 7 求证 四边形内切圆的圆心 它到一组对角的顶点的距离的平方的比 等于该组角的 两边的乘积的比 8 已知 AB 是 O 的直径 E 是半圆上的
9、一点 过点 E 作 O 的切线和过 A B 的 O 的两条切线分别相交于 D C 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于 F EF 的延长线 交 AB 于 H 求证 EF FH 9 已知 如图 M 和 N 相交于 A B 公共弦 AB 的延长线交两条外公切线于 P Q 求证 PA QB PQ2 AB2 CD2 10 已知 正方形 ABCD 内一点 P 满足等式 PA PB PC 1 2 3 求证 APB 135 11 一个直角三角形斜边为 c 内切圆半径是 r 求内切圆面积与直角三角形面积的比 提示 引入参数 a 和 b 表示两直角边 I G H A E F B C D B A MN F
10、 E Q C P D 5 练习练习 67 参考答案 参考答案 1 设 IA a IC b IH x HQ y 用相交弦定理列方程组 2 引入参数 设 DBC PA2 PB PD Cos PF inS PE 3 设 ABH ACH 用 AH Sin 表示两圆的半径 4 设 DF m FE n PF x FC y P 的半径为 r 由相交弦定理 得 mn x y r y x r 6 设 AB a AD b AC p D q q p 则 4422 2222 2 baqp baqp CosA ab qba 2 222 2 2 A 45 度 7 设 AB a BC b CD c DA d OA x OC y OD u OB v yv xu b d BOC AOD S S 同理 yu xv c b 8 设 EF x FH y DA DE a CB CE b 可证 EF BC ba a b x ab b a y 9 设 PA PC PD x QB QE QF y AB a CD EF 由切割线定理可知 x y PQ2 2x a 2 4x2 4xa a2 4x x a a2 4PA PB AB2 4PC2 AB2 4 2 2 CD AB2 AB2 CD2 11 rc r
