《初中数学竞赛精品标准教程及练习50：基本对称式 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛精品标准教程及练习50：基本对称式 (2)（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 初 中数学竞赛精品标准教程及练习 50 基本对称式 一 内容提要一 内容提要 1 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质 形如 x y 和 xy 是两个变量 x y 的基本 对称式 2 含两个变量的所有对称式 都可以用相同变量的基本对称式来表示 例如 x2 y2 x3 y3 2x 5 2y 5 yx3 2 3 2 y x x y 都是含两个变量的 对称式 它们都可以用相同变量 x y 的基本对称式来表示 x2 y2 x y 2 2xy x3 y3 x y 3 3xy x y 2x 5 2y 5 4xy 10 x y 25 yx3 2 3 2 xy yx 3 2 y x x y xy xy
2、22 xy xyyx2 2 3 设 x y m xy n 则 x2 y2 x y 2 2xy m2 2n x3 y3 x y 3 3xy x y m3 3mn x4 y4 x2 y2 2 2x2y2 m4 4m2n 2n2 x5 y5 x2 y2 x3 y3 x2y2 x y m5 5m3n 5mn2 一般地 xn yn n 为正整数 用基本对称式表示可建立递推公式 xk 1 yk 1 xk yk x y xy xk 1 yk 1 k 为正整数 4 含 x y 的对称式 x y xy 这三个代数式之间 任意知道两式 可求第三式 二 例题二 例题 例1 已知 x 2 1 3 1 y 13 2 1
3、 求下列代数式的值 x3 x2y xy2 y3 x2 2y 3 y2 2x 3 解 含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示 先求出 x y 3 xy 2 1 x3 x2y xy2 y3 x y 3 2xy x y 3 3 2 3 2 1 23 x2 2y 3 y2 2x 3 2x2y 3x2 2xy2 3y2 3 x2 y2 2xy x y 3 x y 2 2xy 2xy x y 2 3 2 1 23 2 2 2 1 3 3 6 例2 解方程组 5 35 33 yx yx 分析 可由 x3 y3 x y 求出 xy 再由基本对称式 求两个变量 x 和 y 解 x3 y3 x y
4、3 3xy x y 把 和 代入 得 35 53 15xy xy 6 解方程组 6 5 xy yx 得 3 2 y x 或 2 3 y x 例3 化简 3 21420 3 21420 解 设 3 21420 x 3 21420 y 那么 x3 y3 40 xy 3 2196400 2 x3 y3 x y 3 3xy x y 40 x y 3 6 x y 设 x y u 得 u3 6u 40 0 u 4 u2 4u 10 0 u2 4u 10 0 没有实数根 u 4 0 u 4 x y 4 即 3 21420 3 21420 4 例4 a取什么值时 方程x2 ax a 2 0 的两根差的绝对值最
5、小 其最小值是什么 解 设方程两根为 x1 x2 根据韦达定理 得 2 21 21 axx axx 2 2121 xxxx 21 2 21 4 xxxx 84 2 aa 4 2 2 a 当 a 2 时 21 xx 有最小值是 2 3 三 三 练习练习 50 1 已知 x y a xy b 则 x2 y2 x3 y3 2 若 x y 1 x2 y2 2 则 x3 y3 x5 y5 3 如果 x y 2k xy 4 3 x y y x 则 k 4 已知 x x 1 4 那么 x x 1 2 2 1 x x 5 若 x x 1 a 那么 x x 1 2 2 1 x x 6 已知 a 32 1 b 3
6、2 1 求 7a2 11ab 7b2 a3 b3 a2 b2 3ab 1 7 已知 x x 1 8 则 x x1 2 8 已知 a2 a 1 0 则 a3 3 1 a 9 已知一元二次方程的两个根的平方和等于 5 两根积是 2 则这个方程可写成为 10 化简 33 5252 33 725725 11 已知 是方程 ax2 bx c 0 a 0 的两个根 求证 2 b c 2 b c a c22 三 三 练习练习 50 参考答案 参考答案 1 a2 2b a3 3ab 2 2 5 4 75 3 5 4 23或 23 14 52 5 a2 2 a4 4a2 2 6 109 36 7 62 8 4 9 x2 3x 2 0 10 1 2 运用韦达定理 把左边式子化为基本对称式表示
