《初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第二十三讲第二十三讲 圆与圆圆与圆 圆与圆的位置关系有外离 外切 相交 内切 内含五种情形 判定两圆的位置关系有 如下三种方法 1 通过两圆交点的个数确定 2 通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定 3 通过两圆的公切线的条数确定 为了沟通两圆 常常添加与两圆都有联系的一些线段 如公共弦 共切线 连心线 以 及两圆公共部分相关的角和线段 这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线 熟悉以下基本图形 基本结论 例题求解 例题求解 例 1 如图 Ol与半径为 4 的 O2内切于点 A Ol经过圆心 O2 作 O2的直径 BC 交 Ol于点 D EF 为过点 A 的公切线 若 O2D 22 那么 BAF
2、 度 思路点拨思路点拨 直径 公切线 O2的特殊位置等 隐含丰富的信息 而连 O2Ol必过 A 点 先求 出 D O2A 的度数 注 1 两圆相切或相交时 公切线或公共弦是重要的类似于 桥梁 的辅助线 它可以使 弦切角与圆周角 圆内接四边形的内角与外角得以沟通 同时 又是生成圆幂定理的重要因 素 2 涉及两圆位置关系的计算题 常作半径 连心线 结合切线性质等构造直角三角形 将分散的条件集中 通过解直角三角形求解 例 2 如图 Ol与 O2外切于点 A 两圆的一条外公切线与 O1相切于点 B 若 AB 与两圆的另一条外公切线平行 则 Ol 与 O2的半径之比为 A 2 5 B 1 2 C 1 3
3、 D 2 3 思路点拨思路点拨 添加辅助线 要探求两半径之间的关系 必须求出 COlO2 或 DO2Ol 的度数 为此需寻求 CO1B CO1A BO1A 的关系 2 例 3 如图 已知 Ol与 O2相交于 A B 两点 P 是 Ol上一点 PB 的延长线交 O2 于点 C PA 交 O2于点 D CD 的延长线交 Ol于点 N 1 过点 A 作 AE CN 交 Oll 于点 E 求证 PA PE 2 连结 PN 若 PB 4 BC 2 求 PN 的长 思路点拨思路点拨 1 连 AB 充分运用与圆相关的角 证明 PAE PEA 2 PB PC PD PA 探寻 PN PD PA 对应三角形的联
4、系 例 4 如图 两个同心圆的圆心是 O AB 是大圆的直径 大圆的弦与小圆相切于点 D 连结 OD 并延长交大圆于点 E 连结 BE 交 AC 于点 F 已知 AC 24 大 小两圆半径差 为 2 1 求大圆半径长 2 求线段 BF 的长 3 求证 EC 与过 B F C 三点的圆相切 思路点拨思路点拨 1 设大圆半径为 R 则小圆半径为 R 2 建立 R 的方程 2 证明 EBC ECF 3 过 B F C 三点的圆的圆心 O 必在 BF 上 连 O C 证明 O CE 90 注 本例以同心圆为背景 综合了垂径定理 直径所对的圆周角为直角 切线的判定 勾股 定理 相似三角形等丰富的知识 作
5、出圆中基本辅助线 运用与圆相关的角是解本例的关 键 3 例 5 如图 AOB 是半径为 1 的单位圆的四分之一 半圆 O1的圆心 O1在 OA 上 并与 弧 AB 内切于点 A 半圆 O2的圆心 O2在 OB 上 并与弧 AB 内切于点 B 半圆 O1与半圆 O2 相切 设两半圆的半径之和为x 面积之和为y 1 试建立以x为自变量的函数y的解析式 2 求函数y的最小值 思路点拨思路点拨 设两圆半径分别为 R r 对于 1 2 1 22 rRy 通过变形把 R2 r2用 x R r 的代数式表示 作出基本辅助线 对于 2 因x R r 故是在约束条件下求y的最 小值 解题的关键是求出 R r 的
6、取值范围 注 如图 半径分别为 r R 的 Ol O2外切于 C AB CM 分别为两圆的公切线 OlO2 与 AB 交于 P 点 则 1 AB 2rR 2 ACB Ol M O2 90 3 PC2 PA PB 4 sinP rR rR 5 设 C 到 AB 的距离为 d 则 dRr 211 学力训练学力训练 1 已知 Ol和 O2交于 A B 两点 且 Ol经过点 O2 若 AOlB 90 则 A O2B 的 度数是 2 矩形 ABCD 中 AB 5 BC 12 如果分别以 A C 为圆心的两圆相切 点 D 在圆 C 内 点 B 在圆 C 外 那么圆 A 的半径 r 的取值范围 2003 年
7、上海市中考题 3 如图 Ol O2相交于点 A B 现给出 4 个命题 4 1 若 AC 是 O2的切线且交 Ol于点 C AD 是 Ol的切线且交 O2于点 D 则 AB2 BC BD 2 连结 AB OlO2 若 OlA 15cm O2A 20cm AB 24cm 则 OlO2 25cm 3 若 CA 是 Ol的直径 DA 是 O2 的一条非直径的弦 且点 D B 不重合 则 C B D 三点不在同一条直线上 4 若过点 A 作 Ol的切线交 O2于点 D 直线 DB 交 Ol于点 C 直线 CA 交 O2于点 E 连结 DE 则 DE2 DB DC 则正确命题的序号是 写出所有正确命题
8、的序号 4 如图 半圆 O 的直径 AB 4 与半圆 O 内切的动圆 Ol与 AB 切于点 M 设 Ol的半径 为y AM 的长为x 则y与x的函数关系是 自变量x的取值范围是 5 如图 施工工地的水平地面上 有三根外径都是 1 米的水泥管两两相切摞在一起 则其 最高点到地面的距离是 A 2 B 2 2 1 C 2 31 D 2 3 1 6 如图 已知 Ol O2相交于 A B 两点 且点 Ol在 O2上 过 A 作 Oll 的切线 AC 交 B Ol的延长线于点 P 交 O2于点 C BP 交 Ol于点 D 若 PD 1 PA 5 则 AC 的长为 A 5 B 52 C 52 D 53 7
9、如图 Ol和 O2外切于 A PA 是内公切线 BC 是外公切线 B C 是切点 PB AB PBA PAB PAB OlAB PB PC OlA O2A 上述结论 正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 8 两圆的半径分别是和 r R r 圆心距为 d 若关于x的方程0 2 22 dRrxx有两个 相等的实数根 则两圆的位置关系是 A 一定内切 B 一定外切 C 相交 D 内切或外切 9 如图 Ol和 O2内切于点 P 过点 P 的直线交 Ol于点 D 交 O2于点 E DA 与 O2 相切 切点为 C 1 求证 PC 平分 APD 2 求证 PD PA PC2 AC DC 3
10、 若 PE 3 PA 6 求 PC 的长 10 如图 已知 Ol和 O2外切于 A BC 是 Ol和 O2的公切线 切点为 B C 连结 BA 并延长交 Ol于 D 过 D 点作 CB 的平行线交 O2于 E F 求证 1 CD 是 Ol的直径 2 试判断线段 BC BE BF 的大小关系 并证明你的结论 11 如图 已知 A 是 Ol O2的一个交点 点 M 是 OlO2的中点 过点 A 的直线 BC 垂 直于 MA 分别交 Ol O2于 B C 1 求证 AB AC 2 若 Ol A 切 O2于点 A 弦 AB AC 的弦心距分别为 dl d2 求证 dl d2 O1O2 3 在 2 的条
11、件下 若 dld2 1 设 Ol O2的半径分别为 R r 求证 R2 r2 R2r2 12 已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P 则点 P 到两圆外公切线的距离为 13 如图 7 根圆形筷子的横截面圆半径为 r 则捆扎这 7 根筷子一周的绳子的长度 为 14 如图 Ol和 O2内切于点 P O2的弦 AB 经过 Ol的圆心 Ol 交 Ol于 C D 6 若 AC CD DB 3 4 2 则 Ol与 O2的直径之比为 A 2 7 B 2 5 C 2 3 D 1 3 15 如图 Ol与 O2相交 P 是 Ol上的一点 过 P 点作两圆的切线 则切线的条数可 能是 A 1 2 B 1
12、3 C 1 2 3 D 1 2 3 4 16 如图 相等两圆交于 A B 两点 过 B 任作一直线交两圆于 M N 过 M N 各引所在 圆的切线相交于 C 则四边形 AMCN 有下面关系成立 A 有内切圆无外接圆 B 有外接圆无内切圆 C 既有内切圆 也有外接圆 D 以上情况都不对 17 已知 如图 O 与相交于 A B 两点 点 P 在 O 上 O 的弦 AC 切 P 于点 A CP 及其延长线交 P P 于点 D E 过点 E 作 EF CE 交 CB 的延长线于 F 1 求证 BC 是 P 的切线 2 若 CD 2 CB 22 求 EF 的长 3 若 k PE CE 是否存在实数 k
13、使 PBD 恰好是等边三角形 若存在 求出是的值 若 不存在 请说明理由 18 如图 A 和 B 是外离两圆 A 的半径长为 2 B 的半径长为 1 AB 4 P 为连 接两圆圆心的线段 AB 上的一点 PC 切 A 于点 C PD 切 B 于点 D 1 若 PC PD 求 PB 的长 2 试问线段 AB 上是否存在一点 P 使 PC2 PD2 4 如果存在 问这样的 P 点有几个 并 求出 PB 的值 如果不存在 说明理由 3 当点 F 在线段 AB 上运动到某处 使 PC PD 时 就有 APC PBD 请问 除上述情况外 当点 P 在线段 AB 上运动到何处 说明 PB 的长为多少 或
14、PC PD 具有何种关系 时 这两个三角形仍相似 并判断此时直线 CP 与 OB 的位置关系 证明你 的结论 19 如图 D E 是 ABC 边 BC 上的两点 F 是 BA 延长线上一点 DAE CAF 7 1 判断 ABD 的外接圆与 AEC 的外接圆的位置关系 并证明你的结论 2 若 ABD 的外接圆半径是 AEC 的外接圆半径的 2 倍 BC 6 AB 4 求 BE 的长 20 问题 要将一块直径为 2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底 面 操作 方案一 在图甲中 设计一个使圆锥底面最大 半圆形铁皮得以最充分利用的方 案 要求 画示意图 方案二 在图乙中 设计一个使圆柱两个底面最大 半圆形铁皮得以最充分利用的方案 要求 画示意图 探究 1 求方案一中圆锥底面的半径 2 求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径 3 设方案二中半圆圆心为 O 圆柱两个底面的圆心为 O1 O2 圆锥底面的圆心为 O3 试判断以 O1 O2 O3 O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形 并加以证明 8 参考答案参考答案 9 10
