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1、东 北 大 学研 究 生 考 试 试 卷评分考试科目： 课程编号： 阅 卷 人： 考试日期： 姓 名： 学 号： 注 意 事 项1考 前 研 究 生 将 上 述 项 目 填 写 清 楚2字 迹 要 清 楚，保 持 卷 面 清 洁3交 卷 时 请 将 本 试 卷 和 题 签 一 起 上 交东北大学研究生院数学模型在现代机械设计中的应用1.概述现代机械设计是在继承和发展传统设计方法的基础上，融合了现代的科学理论和科学技术的成果而形成的，是以设计产品为目标的一个知识群体的总称。目前，现代机械设计已经发展成为一门新兴的综合性、交叉性学科。同时，几乎所有的工程问题，特别是是现代设计问题，都是与数学模型紧
2、密联系在一起的。建立合理的数学模型，是解决设计问题的关键所在。总体来讲，现代机械设计对数学模型的要求是：（1）数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标，计算过程稳定，计算结果可靠，从而实现设计方案。（2）所建立的数学模型要与当前计算机软硬件发展水平相适应，在算法上容易处理。本文将重点介绍在实践中应用非常广泛的两种现代设计方法，既机械最优化设计和机械可靠性设计，并简要说明相应的数学建模问题。2.机械优化设计 人们在长期的生产实践中，很早就已经应用数学方法解决了诸如给定周长求其所围面积最大的问题、给定表面积求其所围体积最大的问题。实际上，这些问题就是最优化问题的雏形。
3、在第二次世界大战以前，处理最优化问题主要应用古典的微分法和变分法。二战后，由于军事上的需要产生了运筹学，为古典法所解决不了的最优化问题提供了新的思路。20世纪50年代发展起来的数学规划理论为现代最优化设计奠定了理论基础。20世纪60年代，最优化方法开始应用于机械设计领域，并取得了长足的发展。总的来说，建立合理的数学模型，是解决机械最优化设计的关键。在机械最优化设计建模及求解过程中，应注意下列几方面的问题。2.1设计变量的选择设计变量是可能影响设计质量和设计结果的可变参数,在机械优化设计中, 设计变量是标志各零、部件的结构参数、尺寸大小的用来绘制结构图的各种设计参数, 是优化设计的最直接、最有价
4、值的内容。在优化设计的数学模型中, 设计变量数量选择的越多, 尽管可以淋漓尽致地描述问题,但也可能使建模变得更加困难,导致难以求解；反过来说, 设计变量过少, 有时就难以得到最佳的设计结果。因此,合理选择一定数量的设计变量不仅影响到模型的规模和建模的难度,也直接关系到优化结果能否令人满意,一般应遵循如下原则:（1）抓主要, 舍次要对性能和结构影响较大的参数建议选为设计变量,对设计目标影响甚微的某些参数甚至可以不予考虑,总的原则是在保证优化效果的前提下,使数学模型尽可能简单。（2）注意区分独立变量和相关变量 所谓独立变量是指在边界约束范围内和模型中其取值不受其它变量取值变化的影响的参数,即具有相
5、对独立性的变量。在工程实际问题中,有些参数的取值受到其它参数的影响或相互之间存在一定影响,这些参数称为相关变量。大多数情况下相关变量的相关性能通过函数关系式进行准确地表述,但如果数学上从设计变量中消去相关变量存在困难,则也可以将相关变量作为设计变量,但必须要附加相应的状态方程,即补充等式约束函数。（3）不要漏掉必要的设计变量由于借助于计算机自动计算的优化设计方法作为一种高效率的现代设计方法,在数学建模时,就要求对影响设计要求的各种因素通盘考虑、统一规划,不漏掉必要的设计变量,这样才能得到高质量的成功的优化结果。2.2目标函数的建立目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式,
6、 目标函数的构造与选择, 关系到优化结果的实用性,从不同角度出发或根据设计对象和要求的不同, 可能有若干个目标函数可供选择,在实际的优化设计中, 应根据所设计机械系统和结构的具体性质和应用场合,从若干个候选条件中筛选出最合理的标准作为目标函数, 一般没有量化的原则和规律可以遵循, 但根据以往机械优化设计的许多案例作参考。2.3约束条件的确定产品的设计过程通常对设计变量有各种限制, 这些限制用函数的形式反映在模型中, 就称为设计变量的约束条件, 或简称为设计约束。在机械设计领域, 设计的限制是多种多样的,但一般都归属于两大类,第一类称为性态约束,是预测可能被破坏或失效的特征,性态约束具体表现为设
7、计对象的某项性能指标, 因而一般性态约束也可以当作目标函数来处理。从计算角度上讲,性态约束的检验相对容易处理, 因此可利用目标函数和设计约束相互置换的特点, 根据具体问题的具体要求,更加灵活地处理和利用。第二类称为边界约束,用来规定设计变量的取值范围。不论是哪一类的约束条件,为了能定量处理,都必须是可计算的函数,在确定约束函数时应特别注意以下几点:(1) 避免出现矛盾约束。各种约束构成的可行域,优化模型一旦形成,求解的任务就是在可行域内寻找最优解,若有矛盾约束,很有可能使可行域成为空集。(2) 避免可行域无界。一般说来,可行域应是n 维空间中的闭域,如图所示在可行域为开域(无界)时,若目标函数
8、值向无界方向下降,且趋于,就不可能找到极值点。(3)尽量避免等价约束(多余约束) 和相关约束。在建立较为复杂的模型时, 往往出于工程上的保险考虑,总力图加入尽量多的约束,以保证不出现难以预料和实施的优化结果。另一种是相关约束, 即一个约束是其它几个约束的某种组合(线性或非线性),也导致不必要的约束增多,实际上相关约束也是一种特殊的多余约束, 可能导致广义函数的性态变差,从而收敛困难。(4)不能漏掉必须的约束。剔除多余约束的前提是要对约束是否多余有充分的把握,否则不要轻易这样做,必须的约束不能遗漏。因为漏掉必不可少的约束而导致设计失败的例子并不少见,优化设计工作者要从中吸取教训。2.4优化结果的
9、处理与分析优化设计方法和其它的设计方法一样,是一种解决复杂问题的工具,而不是解决问题的原则。在优化设计中,建立正确的数学模型和选用适当的优化方法固然是取得正确设计结果的先决条件,但绝非充要条件。由于工程问题的复杂性, 在优化求解后,还必须依据初始数据、中间结果和最终结果进行认真对比、分析, 以查明优化计算过程是否正常和最终结果是否具有合理性和可行性。目标函数的最优值是对计算结果分析的重要依据。将它与原始方案的目标函数值作比较,可以看出优化设计比原设计方案改进的效果。若多给几个不同的初始点进行计算, 从其结果可大致看出全局最优解。利用目标函数值的几组中间输出数据作曲线或列表,可查看其最优化过程进
10、行的是否正常。对于大多数机械优化设计问题,最优解往往位于一个或几个不等式约束条件的约束界面上,其约束函数值应等于或接近于零。若约束函数值全部不接近于零,即其所有的约束条件都不起作用,这时必须进一步研究所给约束条件对该设计问题是否完善、所取得的最优解是否正确。如有错误, 可尝试改变初始点甚至重新选择优化方法重新进行计算。在机械优化设计的实际应用中,其最后的分析与处理,常常是不容忽视的,特别是对设计变量的敏感度分析对进一步提高工程优化设计的质量很有意义。3.机械可靠性设计可靠性是产品的重要质量指标。产品的质量指标包括：性能、可靠性、经济性和安全性四个方面。性能是指产品出厂时（t=0）应具有的质量特
11、性；可靠性则是指产品出厂后（t0）所表现出来的一种质量特性，是产品性能的延伸和扩展。机械可靠性是可靠性学科中的重要部分。19611975，美国关于可靠性军用标准陆续问世，可靠性技术开始向非军事产品、民用产品扩展，标志着可靠性理论体系正式形成。20世纪70年代，可靠性工程以较快的步伐深入到机械设备产品中。可靠性设计以概率论的相关知识为基础，将设计变量看作是服从于某一分布的随机变量，并在此基础上建立数学模型进而求解。3.1机械可靠性设计的数学模型可靠性设计的数学基础是概率论。则依据概率论建立了可靠性设计的数学模型应力-强度干涉模型。在进行机械强度可靠性设计或分析时, 考虑到变量的不确定性, 认为机
12、械零部件的设计变量（如载荷、几何尺寸及其它影响因素等）和强度参量（如材料的机械性能, 影响零件强度的尺寸系数、形状系数、表面质量系数及工作环境影响系数等）都是随机变量, 遵守某一分布规律, 并且可以求得合成的应力s的分布函数f(s)和强度的分布密度函数f()，如图1所示。图1 应力-强度分布的干涉模型图中的阴影部分表示干涉分布区当应力s大于强度时,零部件就要发生破坏。图中阴影面积内的任一点,应力s大于强度,所以干涉分布区的面积表示零部件产生破坏的概率Pf。零部件可靠度的定义是:对于应力s所有的可能值, 强度均大于应力s的概率。显然, 可靠度R与失效破坏概率Pf的关系为:R=P ( s )=1
13、- Pf 运用应力-强度干涉模型，可得到如下可靠度计算公式：R=P ( s )当机械零部件的应力和强度分布已知,即密度函数f(s)和f() 已知时,应用上式就可计算出零部件的可靠度。3.2可靠性数学模型分析机械设备的可靠性在很大程度上取决于机件或某一系统的可靠性。提高设备的可靠性就必须从提高每一个机件的可靠性入手,强调所有机件在整机使用寿命内的最佳无故障配合。无论何种失效形式,如果用数学模型来描述,可表述为：失效故障的发生仅随运行时间的增加而上升；失效故障的发生与设计参数及标准有关。所谓可靠性是指系统在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力。如果用“概率”来量度这一“能力”,就是可靠度,
14、用R(t)表示。累积失效概率是指机械产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率,常用Pf 表示。这样以来，就可以方便的运用概率论的相关结论建立系统的可靠性数学模型。通过对大量机件故障案例的分析与研究,发现在排除设备的偶然性故障(如外力作用造成的故障)的前提下,随着设备使用时间的推移及老化, 其故障模型主要有6种,如图2所示。对这6种模型进一步分析研究后,得出了以下结论:在寿命期内,前3种(A,B,C) 图2(a)(c)故障模型为与使用时间相关的故障,主要适用于那些非常简单的零部件和设备,尤其是存在直接接触磨损或接触腐蚀介质的。后3种(D,E,F)图2(d)(f)为与使用年限不相关的故障。一般来
15、讲,部件越复杂或越简单,它就越可能服从于故障模型E,F,即存在于设备或部件复杂程度两极。D,E,F这3种模型的主要特征是设备运行初期以后的一段时间内与可靠性设计没有多少关系或根本无关。像这类部件往往在其使用寿命内都不发生故障,如一旦发生故障,往往是不可再修复的。如机座、集成部件、飞轮等这些要么特别简单,要么特别复杂的部件。造成这些部件出现故障而失效的原因,往往是与设计过程中的参数、标准有关,与疲劳、刚度、强度有关。图2 六种故障模型4展望在数学模型层面对设计方法的改进可靠性设计的目的, 是要保证失效概率不超过一个人们都可以接受的数值, 同时也不造成材料的浪费；而优化设计的目的之一是保证设计的经济性。在优化设计的数学模型中加入可靠性的约束条件, 可以兼顾设计的安全性、经济性和可靠性。通过对近期学者们的相关工作的研究可以发现，在最优化模型中引入可靠性约束后，使原有的设计方案在满足可靠性的前提下，能够得出最优的结果。可见，这是一种行之有效的结合方式。另外，如果将最优化目标函数的约束条件作为可靠性积分的积分区间，则可以构造
