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1、3 2均值不等式 证明 1 指出定理适用范围 2 强调取 的条件 重要不等式 如果a b R 那么 当且仅当a b 时 式中等号成立 证明 即 当且仅当a b时 均值不等式 注意1 适用的范围 a b为非负数 2 语言表述 两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数 几何直观解释 令正数a b为两条线段的长 用几何作图的方法 作出长度为和的两条线段 然后比较这两条线段的长 具体作图如下 1 作线段AB a b 使AD a DB b 2 以AB为直径作半圆O 3 过D点作CD AB于D 交半圆于点C 4 连接AC BC CA 则 当a b时 OC CD 即 当a b时 OC CD 即 看做正数
2、a b的等比中项 那么上面不等式可以叙述为 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 例1 已知x 0 y 0 xy 24 求4x 6y的最小值 并说明此时x y的值 练习1 已知a b 4 求y 2a 2b的最小值 当且仅当 例2 已知ab 0 求证 并推导出式中等号成立的条件 练习3 已知 求函数 的最大值 思考 已知 求函数 的值域 2 2 例4 已知函数 求函数的最小值 课后延伸 已知x 0 y 0 且x y 1 求的最小值 练习 已知x y为正数 且2x y 2求最小值 提示 1 的妙用 下面几道题的解答可能有错 如果错了 那么错在哪里 已知函数 求函数的最小值和此时x的取值 运用均值不等式的过程中 忽略了 正数 这个条件 已知函数 求函数的最小值 用均值不等式求最值 必须满足 定值 这个条件 用均值不等式求最值 必须注意 相等 的条件 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值 运用均值不等式求最值的条件 一正二定三相等
