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1、曲边梯形的面积 一教材分析 地位和作用 曲边梯形的面积 是 人教版 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2 2第一章第五节的内容 曲边梯形的面积中蕴涵的积分思想贯穿整个定积分的始终 作为定积分的前奏曲 是定积分概念的引例和重要铺垫材料 借助曲边梯形的面积这一直观具体的实例来初步感受定积分的定义 使学生了解定积分的实际背景 建立定积分概念的认知基础 为理解后续定积分概念及几何意义奠定基础 也是充分感受用极限的思想方法思考与处理问题的好题材 二教学目标 一 知识目标 1 初步了解 感受定积分的实际背景 2 体会 以直代曲 逼近 的思想 二 能力目标 1 通过探索求曲边梯形的面积的过程 了解用 分
2、割 近似代替 求和 取极限 的方法 步骤分析问题 从而培养学生的逻辑思维能力 理解用极限的思想方法思考与处理问题 从而培养学生的创新意识 2 体会 以直代曲 逼近 的思想 以直代曲的过程中体会直与曲虽然是一对矛盾 但它们可以相互转化 体现对立统一的辩证关系 三教学重点 难点 重点 了解定积分的基本思想方法 以直代曲 逼近的思想 通过化整为零 积零为整求曲边梯形的面积这一过程 初步掌握求曲边梯形面积的步骤的 四步曲 即 分割 近似代替 求和 取极限 领会其微积分思想方法难点 以直代曲 逼近 思想的形成过程 由于这种 以直代曲 逼近 思想学生比较陌生 四教学方法和手段A在教学过程中我选用启发式 讨
3、论探究式的教学方法 运用多媒体的直观的功能 让学生在观察过程中通过类比 分析 归纳等方法解决问题 在师生互动中启发学生 促进学生积极思维 主动学习 激发学生的学习兴趣 B运用多媒体课件辅助课堂教学 通过创设情境 为学生提供丰富 生动 直观的观察材料 激发学生学习的积极性和主动性 教学总思路 根据从具体到抽象 从特殊到一般的原则 先研究一个特殊的曲边梯形面积问题 通过类比圆的面积的求法得到解决它的思想方法 并具体化为四个步骤 分割 近似代替 求和 取极限 从而求出它的面积 最后再说明这个方法可以推广到求一般曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法 因此 在本小节的教学中
4、应突出解决问题的思想方法和步骤 从而为引入定积分的概念 体会定积分的基本思想 初步了解定积分的概念奠定基础 五 教学程序的设计 依据教学思路本节课在程序上分为问题提出 历史介绍 方法讲解 链接生活 模拟训练 归纳总结 作业布置 等七个阶段 1 问题提出以思考给出求一般曲边梯形的面积问题 建构问题情境 然后根据从具体到抽象 从特殊到一般的原则 先研究一个特殊的曲边梯形面积问题 如何计算y x2在 0 1 上的曲边梯形的面积呢 设计意图 心理学表明 思维从疑问开始 问题的提出使学生的思维得以启动 同时这个曲边梯形并不象正方形 长方形 圆 扇形等有现成的公式可以利用 它没有现成的公式可用 问题本身具
5、有新鲜感和诱惑力 极大地引起了学生的兴趣 这样引入符合教学论中的激发性原则 2 历史介绍介绍300年前 牛顿 卡瓦列利 瓦里士等著名学者对这个问题的研究成果 同时介绍我国古代数学家刘徽早在三国时代 就提出了著名的 割圆术 以 直 代 曲 把圆的面积近似看成多边形面积来计算 提出以直代曲 逼近思想 给学生介绍公元3世纪诞生的刘徽 割圆术 用圆内接正多边形逼近圆周的方法 刘徽指出 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 这就是说 圆内接正多边形的边数无限增加的时候 它的面积的极限是圆面积 今天带着学生应用这种思想解决定积分的问题 从数学史角度体会最早的 直曲转化 思想
6、3方法讲解引导学生从感性上理解 再逐步上升到理性上的认识 这符合人们认识事物的一般规律 即先由感性认识再逐步上升到理性认识 同时计算机的直观形象的演示 也符合教学论中的直观性原则 极限理论与计算机的结合运用 使学生清楚地看到曲边梯形的面积由量变到质变的变化过程 这也符合事物的发展变化由量变到质变的哲学原理 引导学生观察 分析 归纳得出曲边梯形的定义 把由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形称为曲边梯形 求曲边梯形面积 这是一个一般而又抽象的问题 学生从未遇过类似的问题 因此 直接解决这个问题超出了学生的认知水平 为了使学生建立解决它的基本经验 引导学生先考虑一个特殊
7、的曲边梯形面积问题 如何求由抛物线y x2与直线x 1 y 0所围成的曲边梯形的面积 由刘徽的 割圆术 中以 直 代 曲 思想的启示 用正多边形逼近圆求圆面积 以直代曲 逼近 的思想启发学生得到解决问题的思路 将求曲边梯形面积的问题转化为求 直边图形 面积的问题 接着提问怎样以 直 代 曲 先让学生讨论 采用 以直代曲 逼近 的思想方法求曲边梯形面积的具体实施步骤 问题 具体怎样以直代曲 引导学生思考能整体以 直 代 曲 吗 误差太大 为减小误差需要先将整个曲边梯形分割 细分后再对小曲边梯形 以直代曲 即在小范围内 以直代曲 将上述 以直代曲 和逼近的思想具体化为四个步骤 第一步分割 化整为零
8、 教学中应引导学生体会 用 以直代曲 的方法求曲边梯形的面积时 关键是减小误差 如果将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形 在每个局部小范围内实施 以直代曲 那么就能有效地减小误差 而且分割得越细 误差就会越小于是我们可以在区间 0 1 上等间隔地插入分点 把区间 0 1 等分割成个小区间 分别过上述个分点作轴的垂线 这些垂线把曲边梯形分成若干个小曲边梯形 第三步求和 积零为整 给出 整 的近似值 将所有这些小矩形之和加起来 对所有这些近似值求和 得到原曲边梯形面积的近似值 第二步近似代替 以不变高代替变高 以矩形代替曲边梯形 给出 零 的近似值 分割后得到个小曲边梯形 提问 对每个曲边梯形面积如何
9、以直代曲 引导学生用恰当的方式做近似代替 学生可能会提出多种 以直代曲 的方法 教学中应分析各种方法的利弊 引导学生用矩形近似代替小曲边梯形 数学最讲究简洁 第四步取极限使近似值向精确值转化 当小区间无限细分到无限小时 通过图象动画演示可以看到区间分的越细 那么就越接近近似值 为此我们把让区间无限接近与零直到不能再分为止 这就是一个极限的过程 强调极限思想 图象动画这就促成了上述近似向精确的转化 显然 分割越细 近似程度越好 采用几何直观和列表计算相结合的方法 引导学生观察近似值的变化趋势 教学中 引导学生想象近似值随分割的不断细化而趋向于曲边梯形面积的过程 利用信息技术向学生展示逼近过程 以
10、增强学生的直观感知 链接生活 运用所学的思想及方法来解决生活中的问题 举世瞩目的长江三峡溢流坝 其断面形状是根据流体力学原理设计的 如图1所示 上端一段是是抛物线 中间部分是直线 下面部分是圆弧 建造这样的大坝自然要根据它的体积备料 计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢 显然这是一曲边梯形的面积 所以根据刚刚学习过的思想和方法我们来计算长江三峡溢流坝上部断面面积 假设上部分抛物线方程为将等分成n等份 抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用长为高为的矩形代替 模拟训练求y 1 x2在 0 1 上曲边梯形面积作为练习题目的设置 主要是为了强化本节课的重点 通过学生自己亲自尝试 体验 才能深刻理解 分割 近似代替 求和 取极限 的微积分思想方法 归纳总结 1 求曲边梯形面积的思想方法 以直代曲 逐渐逼近 2 四步曲 步骤 分割近似代替求和取极限 教师引导 学生总结 教学反思1揭示解决问题的思想方法 以直代曲和逼近的思想 事实上 这就是定积分概念中蕴涵的最本质的思想 2强调解决问题的四个步骤 将思想转化为具体的方法步骤 上述 以只代曲 和逼近的思想具体化为可以具体操作的四个步骤 板书设计 曲边梯形面积 思想方法 以直代曲 逼近 四步曲步骤 分割近似代替求和取极限实例应用
