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1、导数及其应用【专题测试】一、选择题1、函数f(x)=x3+ax+1在(-,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,则f(1)为( )A B.1 C. D.-12、设则( ) A sinx B sinx C cosx D -cosx3、设函数是上以5为周期的可导偶函数,则曲线在的切线的斜率为( ) 4设在内单调递增,则是的()充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件5、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A B C D6、在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( ) A3B2 C1D0二、填空题7、若函数有且仅有一个极值点,求实
2、数的取值范围 8、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则_9、已知曲线,则_。10、P是抛物线上的点,若过点P的切线方程与直线垂直,则过P点处的切线方程是_。 三、解答题11、已知函数,其中.()若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;()讨论函数的单调性;()若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.12、如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为(I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域;(II)求面积的最大值 13. 设函数满足: 都有,且时,取极小值 (1)的解析式; (2)当
3、时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直。14. 已知函数; (1)求曲线在处的切线方程; (2)设,如果过点可作曲线的 三条切线;求证:16.甲、乙两地相距千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度(km/h)的平方成正比,比例系数为,固定部分为元.(1)把全程运输成本(元)表示为(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?17. 已知定义在正实数集上的函数,其中设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同(I)用表示,并求的最大值;(II)求证
4、:() 参考答案一、选择题1、(C)2、(A)3、(B)4、(B)5、(A)6、(D)二、填空题7、8、329、10、2x-y-1=0三、解答题11、解:(),由导数的几何意义得,于是由切点在直线上可得,解得所以函数的解析式为()当时,显然()这时在,内是增函数当时,令,解得当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以在,内是增函数,在,(0,)内是减函数()由()知,在上的最大值为与中的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立从而得,所以满足条件的的取值范围是12 (I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系(如图),则点的横坐标为点的纵坐标满足方程,解得则,其定义
5、域为(II)记,则令,得因为当时,;当时,所以是的最大值因此,当时,也取得最大值,最大值为即梯形面积的最大值为点评:在求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先求出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域。如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(一般初等函数在自己的定义域内必可导),且此函数在这一开区间内有最大(小)值,那么只要对函数求导,当发现定义域内只有一个极值点时,立即可以断定在这个极值点处的函数值就是最大(小)值。如果定义域是闭区间,则必须对该点处的函数值与端点处的函数值进行比较才能确定.13. 解:(1) 都有 在上恒成立 时,取极小值 得时,取极小值 (2)当时,函数图象上
6、的点切线斜率 任取 则 得:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直。14. 解:(1) 得曲线在处的切线 曲线在处的切线方程为即 (2)由(1)得:过点作曲线的切线满足: 过点可作曲线的三条切线 关于方程有三个不同的根(*) 当时,单调递增 当时,单调递增 当时,单调递减 (*)15. 解:(1)由题意得: (2)当时,单调递减 得:当时,取最小值 当时, 当时,取最小值17.解:()设与在公共点处的切线相同,由题意,即由得:,或(舍去)即有令,则于是当,即时,;当,即时,故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为()设,则故在为减函数,在为增函数,于是函数在上的最小值是故当时,有,即当时,点评:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 用心 爱心 专心