《最新初中数学竞赛——余数定理和综合除法复习课程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初中数学竞赛——余数定理和综合除法复习课程.pdf（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习资料 精品文档 第 1 讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一 除法定理 f x 和 g x 是两个一元多项式 且 0g x 则恰好有两个多项式 q x 及 r x 使 f xq xg xr x 其中 0r x 或者 r x 比 g x 次数小 这里 f x 称为被除式 g x 称为除式 q x 称为商式 r x 称为余式 二 余数定理 对于一元n 次多项式 1 110 nn nn f xa xaxa xaL 用一元多项式xc 去除 f x 那么余式 是一个数 设这时商为多项式 g x 则有 f xxc g xf c 也就是说 xc 去除 f x 时 所得的余数是 f c 三 试根法的依
2、据 因式定理 如果 0f c 那么xc 是 f x 的一个因式 反过来 如果xc 是 f x 的一个因式 那么 0f c 四 试根法的应用 假定 1 110 nn nn fxa xaxa xaL 是整系数多项式 又设有理数 p c q 是 f x 的根 pq 是 互质的两个整数 则p是常数项 0 a 的因数 q是首项系数n a 的因数 特别的 如果1 n a 即 f x 是首 1 多项式 这个时候1q 有理根都是整数根 典型例题 一 多项式的除法 例 1 已知 32 4523f xxxx 2 21g xxx 试求 f x 除以 g x 所得的商式 Q x 和余 式 R x 学习资料 精品文档
3、例 2 已知 5432 342352818f xxxxxx 32 213g xxxx 试求 f x 除以 g x 所 得的商式 Q x 和余式 R x 例 3 已知 432 571023f xxxxx 2 1g xx 试求 f x 除以 g x 所得的商式 Q x 和余 式 R x 二 综合除法 例 4 用综合除法计算 432 531 1 xxxxx 学习资料 精品文档 例 5 用综合除法求 f x 除以 g x 所得的商式 Q x 和余数R 1 2 253f xxx 3g xx 2 32 321f xxx 1 3 g xx 例 6 用综合除法计算 432 6534 21 xxxxx 例 7
4、先用综合除法求出 fx 除以 g x 所得的商式和余式 不再作除法 写出 f x 除以 h x 的商 式和余式 32 243fxxxx 3g xx 1 2 3 h xx 2 1 3 2 h xx 三 余数定理和多项式理论 例 8 43 241f xxxx 2g xx 求余数R的值 学习资料 精品文档 例 9 32 23814f xxxx 除以23x的余数R是多少 例 10 1 求1x除 542 7465f xxxx 所得的余数 2 求22x除 542 7465f xxxx 所得的余数 例 11 多项式 32 4715axbxx可以被31x和23x整除 求a b 例 12 试确定 a b的值 使
5、多项式 432 235f xxxaxxb 被 1 2 xx 整除 学习资料 精品文档 例 13 已知 432 22f xxaxxbx 能被 2 2xx整除 求ab的值 例 14 证明 当 a b是不相等的常数时 若关于x 的整式 f x 能被 x a xb整除 则 f x 也 能被积 xax b 整除 例 15 多项式 f x 除以1x 2x所得的余数分别为3 和 5 求 f x 除以 1 2 xx所得的 余式 例 16 已知关于若x 的三次多项式 f x 除以 2 1x时 余式是21x 除以 2 4x时 余式是 34x 求这个三次多项式 学习资料 精品文档 例 17 已知关于 x 的三次多项
6、式 f x 除以 2 1x时 余式是25x 除以 2 4x时 余式是34x 求这个三项式 例 18 已知 32 232f xxxx 除以整数系数多项式 g x 所得的商式及余式均为 h x 试求 g x 和 h x 其中 h x 不是常数 例 19 已知 32 3xkx除以3x 其余数比1x除所得的余数少2 求k的值 例 20 若多项式 432 xxaxbxc能被 3 1 x 整除 求 a b c 的值 学习资料 精品文档 例 21 如果当 x 取0 1 2时 多项式分别取值0 0 1 试确定一个二次多项式 f x 四 因式分解 试根法 例 22 分解因式 3 54xx 例 23 分解因式 3
7、2 6116xxx 例 24 分解因式 432 2928xxxx 学习资料 精品文档 例 25 分解因式 432 93732xxxx 例 26 分解因式 65432 234321xxxxxx 例 27 分解因式 3223 92624xx yxyy 例 28 分解因式 32511 1 33 xxx 学习资料 精品文档 例 29 分解因式 32 xabc xabbcca xabc 例 30 分解因式 32 1 3 2 axaxaxa 例 31 分解因式 32 32 23 2 lm xlmn xlmn xmn 思维飞跃 例 32 若 2 310 xx 求 32 5518xxx的值 学习资料 精品文档
8、 例 33 若 2 f xxmxn mn 都是整数 既 是 多 项 式 42 625xx的 因 子 又 是 多 项 式 42 34285xxx的因子 求 f x 例 34 求证 若ab 则多项式 f x 除以 xaxb 所得的余式是 f af baf bbf a x abab 例 35 f x 除以1x 2x 3x多得的余数分别为1 2 3 求 f x 除以 1 2 3 xxx多 得的余式 例 36 求证 99998888777722221111 1f xxxxxxL能被 9872 1g xxxxxxL整除 作业 学习资料 精品文档 1 分解因式 1 32 46aaa 2 432 33116a
9、aaa 3 432234 7136xx yx yxyy 2 若 32 23f xxxaxb除以 1x所得的余数为7 除以1x所得的余数为5 试求ab 的值 3 多项式 f x 除以1x 2x和3x所得的余数分别为1 2 3 试求 f x 除以 1 2 3 xxx 所得的余式 4 若 5 54xqxr 能被 2 2 x 整除 求q与r的值 5 分解因式 32 45xx 学习资料 精品文档 6 分解因式 432 2344xxxx 7 分解因式 432 2744xxxx 8 分解因式 5432 271214103xxxxx 9 分解因式 33 2 2 xy xyx y 学习资料 精品文档 10 分解
10、因式 3223 6532xx yxy y 11 分解因式 32 84 2 xabc xabbcca xabc 12 分解因式 32 1 3 2 axaxaxa 13 已知多项式 543 3811f xxxxxk能被2x 整除 求k的值 学习资料 精品文档 14 求证 ab bc c a都是 222 abcbcacab 的因式 并分解因式 15 一个整系数3 次多项式 fx 有三个不同的整数 123 a aa 使 123 1f af af a 又设b为不同于 123 aaa 的任意整数 试证明 1f b 16 已知 a b c d是正整数 则 4414243abcd xxxx能被 32 1xxx整除
