《最新初中数学最值问题典型例题(含答案分析)34665教学内容.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初中数学最值问题典型例题(含答案分析)34665教学内容.pdf（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习资料 精品文档 中考数学最值问题总结 考查知识点 1 两点之间线段最短 垂线段最短 点关于线对称 线段的平移 2 代数计算最值问题3 二次函数中最值问题 问题原型 饮马问题造桥选址问题 完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点 出题背景变式 角 三角形 菱形 矩形 正方形 梯形 圆 坐标轴 抛物线等 解题总思路 找点关于线的对称点实现 折 转 直 几何基本模型 条件 如下左图 A B是直线l同旁的两个定点 问题 在直线l上确定一点P 使PAPB的值最小 方法 作点 A关于直线l的对称点A 连结A B交l于 点P 则PAPBA B的值最小 例 1 如图 四边形ABCD 是正方形 ABE 是等
2、边三 角形 M 为对角线BD 不含 B 点 上任意一点 将BM 绕点 B 逆时针旋转60 得到 BN 连接 EN AM CM 1 求证 AMB ENB 2 当 M 点在何处时 AM CM的值最小 当 M 点在何处时 AM BM CM的值最小 并说明理由 3 当 AM BM CM的最小值为时 求正方形的边长 A B A P l 学习资料 精品文档 例 2 如图 13 抛物线y ax 2 bx c a 0 的顶点为 1 4 交 x 轴于 A B 交 y 轴于 D 其中 B点的坐标为 3 0 1 求抛物线的解析式 2 如图 14 过点 A 的直线与抛物线交于点E 交 y 轴于点 F 其中 E 点的横
3、坐标为2 若直线 PQ 为抛物线的对称轴 点G 为 PQ 上一动点 则x 轴上是否存在一点H 使 D G F H 四点围成的四边形周长最小 若存在 求出这个最小值及G H 的坐标 若不存在 请 说明理由 3 如图 15 抛物线上是否存在一点T 过点 T 作 x 的垂线 垂足为M 过点 M 作直线 MN BD 交线段 AD于点 N 连接 MD 使 DNM BMD 若存在 求出点T 的坐标 若不存 在 说明理由 学习资料 精品文档 例 3 如图 1 四边形AEFG 与 ABCD 都是正方形 它们的边长分别为a b b 2a 且点 F 在 AD 上 以下问题的结果可用a b 表示 1 求 S DBF
4、 2 把正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转450得图 2 求图 2 中的 S DBF 3 把正方形AEFG 绕点 A 旋转任意角度 在旋转过程中 S DBF是否存在最大值 最小值 如果存在 试求出最大值 最小值 如果不存在 请说明理由 学习资料 精品文档 例 4 如图 在平面直角坐标系中 直线 1 y x 1 2 与抛物线 2 y ax bx3交于 A B 两点 点 A 在 x 轴上 点 B 的纵坐标为3 点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点 不与A B 重 合 过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB 与点 C 作 PD AB 于点 D 1 求 a b 及sinACP的值 2 设点
5、 P 的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD 的长 并求出线段PD 长的最大值 连接 PB 线段 PC 把 PDB 分成两个三角形 是否存在适合的m值 使这两个 三角形的面积之比为9 10 若存在 直接写出m值 若不存在 说明理由 学习资料 精品文档 例 5 如图 C 的内接 AOB中 AB AO 4 tan AOB 3 4 抛物线 2 yaxbx经过点 A 4 0 与点 2 6 1 求抛物线的函数解析式 2 直线 m与 C相切于点A 交 y 于点 D 动点 P在线段 OB上 从点 O出发向点B运 动 同时动点 Q在线段 DA上 从点 D出发向点A运动 点 P的速度为每秒1个单 位长 点Q的
6、速度为每秒2 个单位长 当PQ AD时 求运动时间t 的值 3 点 R在抛物线位于x 轴下方部分的图象上 当 ROB 面积最大时 求点R的坐标 学习资料 精品文档 例 1 证明 1 ABE 是等边三角形 BA BE ABE 60 MBN 60 MBN ABN ABE ABN 即 MBA NBE 又 MB NB AMB ENB SAS 5 分 解 2 当 M 点落在 BD 的中点时 A M C 三点共线 AM CM的值最小 7 分 如图 连接CE 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时 AM BM CM的值最小 9 分 理由如下 连接MN 由 1 知 AMB ENB AM EN MBN 60
7、 MB NB BMN 是等边三角形 BM MN AM BM CM EN MN CM 10 分 根据 两点之间线段最短 得 EN MN CM EC最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时 AM BM CM的值最小 即等于EC 的长 11 分 学习资料 精品文档 例 2 解 1 设所求抛物线的解析式为 2 1 4ya x 依题意 将点B 3 0 代 入 得 2 31 40a解得 a 1 所求抛物线的解析式为 2 1 4yx 2 如图 6 在 y 轴的负半轴上取一点I 使得点F 与点 I 关于 x 轴对称 在 x 轴上取一点H 连接 HF HI HG GD GE 则 HF HI 设过 A E
8、 两点的一次函数解析式为 y kx b k 0 点 E 在抛物线上且点E 的横坐标为2 将 x 2 代入抛物线 2 1 4yx 得 2 21 43y 点 E 坐标为 2 3 又 抛物线 2 1 4yx图像分别与x 轴 y 轴交于点A B D 当 y 0 时 2 1 40 x x 1 或 x 3 当 x 0 时 y 1 4 3 点 A 1 0 点 B 3 0 点 D 0 3 又 抛物线的对称轴为 直线x 1 点 D 与点 E 关于 PQ 对称 GD GE 分别将点 A 1 0 点 E 2 3 代入 y kx b 得 0 23 kb kb 解得 1 1 k b 过 A E 两点的一次函数解析式为
9、y x 1 当 x 0 时 y 1 点 F 坐标为 0 1 DF 2 又 点 F 与点 I 关于 x 轴对称 点 I 坐标为 0 1 2222 242 5EIDEDI 又 要使四边形DFHG 的周长最小 由于DF 是一个定值 只要使 DG GH HI 最小即可 由图形的对称性和 可知 DG GH HF EG GH HI 只有当 EI 为一条直线时 EG GH HI 最小 设过 E 2 3 I 0 1 两点的函数解析式为 111 0 yk xb k 分别将点E 2 3 点 I 0 1 代入 11 yk xb 得 11 1 23 1 kb b 学习资料 精品文档 解得 1 1 2 1 k b 过
10、A E 两点的一次函数解析式为 y 2x 1 当 x 1 时 y 1 当 y 0 时 x 1 2 点 G 坐标为 1 1 点 H 坐标为 1 2 0 四边形 DFHG 的周长最小为 DF DG GH HF DF EI 由 和 可知 DF EI 22 5 四边形DFHG 的周长最小为22 5 3 如图 7 由题意可知 NMD MDB 要使 DNM BMD 只要使 NMMD MDBD 即可 即 2 MDNMBD 设点 M 的坐标为 a 0 由 MN BD 可得 AMN ABD NMAM BDAB 再由 1 2 可知 AM 1 a BD 3 2 AB 4 1 3 23 2 1 44 AMBDa MN
11、a AB 2222 9MDODOMa 式可写成 2 3 2 9 1 3 2 4 aa 解得 3 2 a或3a 不合题意 舍去 点 M 的坐标为 3 2 0 又 点 T 在抛物线 2 1 4yx图像上 当 x 3 2 时 y 15 2 点 T 的坐标为 3 2 15 2 学习资料 精品文档 例 3 解 1 点 F 在 AD 上 AF 2 a2 a2 即 AF 2a DFb2a 2 DBF 1113 SDF ABb2abbab 2222 2 连接 DF AF 由题意易知AF BD 四边形 AFDB 是梯形 DBF 与 ABD 等高同底 即BD 为两三角形的底 由 AF BD 得到平行线间的距离相等
12、 即高相等 2 DBFABD 1 SSb 2 3 正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中 F 点的轨迹是以点A 为圆心 AF 为半径的圆 第一种情况 当b 2a 时 存在最大值及最小值 BFD 的边 BD 2b 当 F 点到 BD 的距离取得最大 最小值时 S BFD取得最大 最小值 如图 当 DF BD 时 S BFD的最大值 2 12b2ab 2b b2a 222 S BFD的最小值 2 12b2ab 2b b2a 222 第二种情况 当b 2a 时 存在最大值 不存在最小值 S BFD的最大值 2 b2ab 2 学习资料 精品文档 例 4 解 1 由 1 x 1 0 2 得到 x 2
13、 A 2 0 由 1 x 1 3 2 得到 x 4 B 4 3 2 y ax bx3经过 A B 两点 4a2b3 0 16a 4b3 3 解得 1 a 2 1 b 2 设直线 AB 与 y 轴交于点E 则 E 0 1 根据勾股定理 得AE 5 PC y 轴 ACP AEO OA22 5 sinACP sinAEO AE55 2 由 1 可知抛物线的解析式为 2 11 y xx3 22 由点 P 的横坐标为m 得 P 2 11 mmm3 22 C 1 mm 1 2 PC 221111 m 1mm3m m 4 2222 在 Rt PCD 中 2 212 559 5 PDPC sinACP m m
14、 4 m1 2555 5 0 5 当 m 1 时 PD 有最大值 9 5 5 存在满足条件的m值 532 m 29 或 学习资料 精品文档 例 5 解 1 将点 A 4 0 和点 2 6 的坐标代入 2 y axbx中 得方程组 16 4 0 4 2 6 ab ab 解之 得 1 2 2 a b 抛物线的解析式为 2 1 2 2 yxx 2 连接 AC交 OB于 E 直线 m切 C 于 A AC m 弦 AB AO ABAO AC OB m OB OAD AOB OA 4 tan AOB 4 3 OD OA tan OAD 4 4 3 3 作 OF AD于 F 则 OF OA sin OAD
15、4 5 3 2 4 t 秒时 OP t DQ 2t 若 PQ AD 则 FQ OP t DF DQ FQ t ODF中 t DF 22OFOD 1 8 秒 3 令 R x 2 1 x 2 2x 0 x 4 作 RG y轴于 G 作 RH OB于 H交 y 轴于 I 则 RG x OG 2 1 x 2 2x Rt RIG 中 GIR AOB tan GIR 4 3 IG 3 4 x IR 3 5 x Rt OIH 中 OI IG OG 3 4 x 2 1x2 2x 2 1 x 2 3 2 x HI 5 4 2 1 x 2 3 2 x 于是RH IR IH 3 5 x 5 4 2 1 x 2 3 2 x 5 2 x 2 15 33 x 5 2 x 2 5 11 x 5 2 x 4 11 2 40 121 当 x 4 11 时 RH最大 S ROB最大 这时 2 1 x 2 2x 2 1 4 11 2 2 4 11 32 55 点 R 4 11 32 55
