《最新初中数学函数知识点归纳新讲解学习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初中数学函数知识点归纳新讲解学习.pdf（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习资料 精品文档 函数知识点总结 掌握函数的定义 性质和图像 平面直角坐标系 1 定义 平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系 简称为直角坐标系 2 各个象限内点的特征 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3 坐标轴上点的坐标特征 x 轴上的点 y 为零 y 轴上的点 x 为零 原点的坐标为 0 0 4 点的对称特征 已知点P m n 关于 x 轴的对称点坐标是 m n 横坐标相同 纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是 m n 纵坐标相同 横坐标反号 关于原点的对称点坐标是 m n 横 纵坐标都反号 5 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 平行于 x 轴的直线上的任意两
2、点 纵坐标相等 平行于 y 轴的直线上的任意两点 横坐标相等 6 各象限角平分线上的点的坐标特征 第一 三象限角平分线上的点横 纵坐标相等 第二 四象限角平分线上的点横 纵坐标互为相反数 7 点 P x y 的几何意义 点 P x y 到 x 轴的距离为 y 点 P x y 到 y 轴的距离为 x 点 P x y 到坐标原点的距离为 22 yx 8 两点之间的距离 X轴上两点为 A 0 1 x B 0 2 x AB 12 xx Y轴上两点为 C 0 1 y D 0 2 y CD 12 yy 已知 A 11 yx B 22 yx AB 2 12 2 12 yyxx 学习资料 精品文档 9 中点坐
3、标公式 已知A 11 yx B 22 yx M 为 AB的中点 则 M 2 12 xx 2 12 yy 10 点的平移特征 在平面直角坐标系中 将点 x y 向右平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向左平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向上平移 b 个单位长度 可以得到对应点 x y b 将点 x y 向下平移 b 个单位长度 可以得到对应点 x y b 函数的基本知识 基本概念 1 变量 在一个变化过程中可以取不同数值的量 常量 在一个变化过程中只能取同一数值的量 2 函数 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量x 和 y 并且对于
4、 x 的每一个确定的 值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就把x 称为自变量 把 y 称为因变量 y 是 x 的函数 判断 A是否为 B的函数 只要看B取值确定的时候 A是否有唯一确定的值与之对应 3 确定函数定义域的方法 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 4 函数的图像 一般来说 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些点组成的图形 就
5、是这个函数的图象 5 函数解析式 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式 6 描点法画函数图形的一般步骤 第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 第二步 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描 出表格中数值对应的各点 第三步 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来 7 函数的表示方法 列表法 解析式法 图象法 学习资料 精品文档 一次函数图象和性质 知识梳理 一 一次函数的基础知识 1 定义 一般地 形如y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 当 b 0 时 y kx b 即 y
6、 kx 称为正比倒函数 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数的一般形式 y kx b k 0 说明 k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数 2 解析式 y kx b k b 是常数 k0 3 图像 一次函数y kx b 的图象是经过 0 b 和 k b 0 两点的一条直线 我们称它为直 线 y kx b 4 增减性 单调性 k 0 y 随 x 的增大而增大 单调增 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时直线与y 轴交于原点上方 即y 轴的正半轴 当 b0 b0 经过 第一 二 三象限 不经过 第四象限 经过 第一 三 四象限 不经过 第二象限 经过 第一 三象限 不经过 第二
7、四象限 增减性 单调性 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 单调增 k0 y 随 x 的增大而减小 单调减 k 0 y 随 x 增大而增大 单调增 4 反比例函数的图象 双曲线 1 图像的 画法 描点法 列表 应以O为中心 沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数 描点 有小到大的顺序 连线 从左到右光滑的曲线 对称性 是中心对称图形 对称中心是原点 是轴对称图形 对称轴是直线和 2 1 2 yxyx 3 反比例函数 x k y k 为常数 0k 中自变量0 x 函数值0y 所以双曲线是不 经过原点 断开的两个分支 称为左 右支 延伸部分逐渐靠近坐标轴 但是永远不与坐标轴相交 时两支曲线
8、分别位于一 三象限且每一象限内随 的增大而减小 时两支曲线分别位于二 四象限且每一象限内随 的增大而增大 3 0 0 kyx kyx 4 比例系数k的几何含义 右图 反比例函数y k x k 0 中比例系数k 的 几何意义 即过双曲线y k x k 0 上任意一点P 作 x 轴 y 轴垂线 设垂足分 别为 A B 则所得矩形OAPB 的面积 阴影面积 为k 由 y k x 变形可得 k xy 因为面积为正数 所以k 取绝对值 5 反比例函数性质如下表 k 的符号k 0 k 0 o y x y x o 学习资料 精品文档 二 次 函数图象和性质 知识梳理 一 二次函数的基础知识 1 定义 一般地
9、 形如 2 yaxbxc abc 是常数 0a 的函数 叫做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数0a 而 bc 可以为零 二次函数的定义域 x 的取值范围 全体实数 R 2 解析式 表达式 一般式 2 yaxbx c 0a a bc 是常数 说明 等号左边是函数 右边是关于自变量x 的二次式 x的最高次数是2 abc 是常数 a 是二次项系数 b是一次项系数 c 是常数项 22 2244 2424 bacbbacb yaxbxc aaaa 对于二次函数 经过配方变形为顶点式 y a x 其顶点坐标为 补充 二次函数解析式的表示方法 三种 一般式 2 yaxbxc a b c
10、为常数 0a 顶点式 2 ya xhk a h k为常数 0a 抛物线的顶点 P h k 22 2244 2424 bacbbacb yaxbxc aaaa 对于二次函数 经过配方变形顶点式 y a x 其顶点坐标为 两根式 交点式 12 ya xxxx 0a 1 x 2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标 仅限于与 x 轴有两个交点 A x1 0 和 B x2 0 的抛物线 即 0 其中 22 12 44 22 bbacbbac xx aa 即一元二次方程求根公式 注 在 3 种形式的互相转化中 有如下关系 222 12 444 h 2422 bacbbbacbbac xx aaaa k 注意
11、 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只 有抛物线与x 轴有交点 即 2 40bac时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式 的这三种形式可以互化 图像的大致位置 经过象限第象限第象限 增减性 单调性 单 调区间内讨论 在每一象限内 从左到右看 y 随 x的增大而减小 0 U 0 区间内 单调减 在每一象限内 从左到右看 y 随 x 的增大而增大 0 U 0 区间内 单调增 图像的对称性中心称图形 对称中心是原点 同时 也是轴对称图形 对称轴是直线y x 和直线 y x 学习资料 精品文档 二次函数 2 ya xhk与 2 yaxbx
12、c的比较 从解析式上看 2 ya xh k 与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前 者 即 2 2 4 24 bacb ya x aa 其中 2 4 24 bacb hk aa 3 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 4
13、 二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc 化为顶点式 2 ya xhk 确定其开口方向 对称轴及 顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与y轴的交点0c 以及0c 关于对称轴对称的点2hc 与 x轴的交点 1 0 x 2 0 x 若与 x 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与x 轴的交点 与y轴的交点 3 二次函数的图像 抛物线 1 对称性 抛物线是轴对称图形 对称轴 直线 2 x b a 对称轴 直线 对称轴与抛物线唯一的交点为抛 物线的顶点 P 特别
14、地 当 b 0 时 抛物线的对称轴是y 轴 即直线 x 0 2 抛物线有一个顶点P 2 4 24 bacb aa 坐标为 P 当 2 b a 0时 P在 y 轴上 当 2 4bac 0 时 P在 x 轴上 4 a b c 与抛物线的关系 a是二次项系数 b 是一次项系数 c 是常数项 1 a 决定抛物线的开口方向和大小 开口方向 a 为正 a 0 开口朝上 有最小值 a 为负 a 0 开口朝下 有最大值 开口大小 a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 a b 共同决定x 2 b a 对称轴 直线 ab的符号决定对称轴 a b x 2 的位置 分两种情况 当 a与 b 同号时 即 ab 0 对
15、称轴在 y 轴左侧 当 a与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右侧 y 5x 2 y x 2 x y 学习资料 精品文档 y x O 概括的说就是 左同右异 3 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 分三种情况 当0c时 抛物线与y轴的交点在x 轴上方 即抛物线与y轴交点的纵坐标为正 当0c时 抛物线与y轴的交点为坐标原点 即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 当0c时 抛物线与y轴的交点在x 轴下方 即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总之 只要 abc 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 6 抛物线与 x 轴交点个数 2 4bac 0 时 抛物线与 x 轴有
16、 2 个交点 A x1 0 和 B x2 0 2 4bac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 顶点 P 0 2 a b 2 4bac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 配图 开口向上 开口向下 情况类似 7 类比一元二次方程的根的情况 特别地 二次函数 以下称函数 2 yaxbxc 当 y 0 时 二次函数为关于x 的一元二次方程 以下称方程 即 2 0axbxc 此时 函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根 8 二次函数 2 2 4 24 bacb ya x aa 的图像和性质 a 0 a 0 图象 开口 对 称 轴 顶点坐标 最值 当 x 时 y 有最值 y 当 x 时 y 有最值 y y 0 x 0 y x 0 y x A B P 学习资料 精品文档 增 减 性 在对称轴左 侧 y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而 在对称轴右 侧 y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而 9 应用 1 最大面积 2 最大利润 3 其它 10 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk 确定其顶点坐标h
