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1、学习资料 精品文档 初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓 动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点 它们在线段 射 线或弧线上运动的一类开放性题目 解决这类问题的关键是动中求静 灵活运用 有关数学知识解决问题 关键 动中求静 数学思想 分类思想 函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形 四边形 函数图像等图形 通过 对 称 动点的运动 等研究手段和方法 来探索与发现图形性质及图形变化 在解 题过程中渗透空间观念和合情推理 选择基本的几何图形 让学生经历探索的过 程 以能力立意 考查学生的自主探究能力 促进培养学生解决问题
2、的能力 图 形在动点的运动过程中观察图形的变化情况 需要理解图形在不同位置的情况 才能做好计算推理的过程 在变化中找到不变的性质是解决数学 动点 探究题 的基本思路 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合 动态几何 动手 操作 实验探究等方向发展 这些压轴题题型繁多 题意创新 目的是考察学生 的分析问题 解决问题的能力 内容包括空间观念 应用意识 推理能力等 从 数学思想的层面上讲 1 运动观点 2 方程思想 3 数形结合思想 4 分类思想 5 转化思想等 研究历年来各区的压轴性试题 就能找到今年中考 数学试题的热点的形成和命题的动向 它有
3、利于我们教师在教学中研究对策 把 握方向 只的这样 才能更好的培养学生解题素养 在素质教育的背景下更明确 地体现课程标准的导向 本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和 区分度小题处理手法提出自己的观点 专题一 建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 是初中数学的重要内容 动点问题反映的是一种函数思想 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 引起未知量与已知量间的一种变化关系 这种变化关系就是动点问题中的函数关 系 那么 我们怎样建立这种函数解析式呢 下面结合中考试题举例分析 一 应用勾股定理建立函数解析式 二 应用比例式建立函数解析式 三 应用求图形面
4、积的方法建立函数关系式 专题二 动态几何型压轴题 动态几何特点 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把 握好一般与特殊的关系 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图 形的性质 图形的特殊位置 动点问题一直是中考热点 近几年考查探究运动 中的特殊性 等腰三角形 直角三角形 相似三角形 平行四边形 梯形 特殊 角或其三角函数 线段或面积的最值 下面就此问题的常见题型作简单介绍 解 题方法 关键给以点拨 一 以动态几何为主线的压轴题 一 点动问题 二 线动问题 三 面动问题 二 解决动态几何问题的常见方法有 1 特殊探路 一般推证 2 动手实践 操作确认 3 建立联系 计算说明
5、 学习资料 精品文档 三 专题二总结 本大类习题的共性 1 代数 几何的高度综合 数形结合 着力于数学本质及核心内容的考查 四大数学思想 数学结合 分类讨论 方程 函数 2 以形为载体 研究数量关系 通过设 表 列获得函数关系式 研究特殊 情况下的函数值 专题三 双动点问题 点动 线动 形动构成的问题称之为动态几何问题 它主要以几何图形为载 体 运动变化为主线 集多个知识点为一体 集多种解题思想于一题 这类题综 合性强 能力要求高 它能全面的考查学生的实践操作能力 空间想象能力以及 分析问题和解决问题的能力 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年 中考试题的热点 现采撷几例加以分类浅析 供
6、读者欣赏 1 以双动点为载体 探求函数图象问题 2 以双动点为载体 探求结论开放性问题 3 以双动点为载体 探求存在性问题 4 以双动点为载体 探求函数最值问题 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型 这类试题信息量大 对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高 解题时需要用运动和变化的眼光 去观察和研究问题 挖掘运动 变化的全过程 并特别关注运动与变化中的不变 量 不变关系或特殊关系 动中取静 静中求动 专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五 以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点 中考经常考察 有一类动点问题 题中未 说到圆 却与圆有关 只要巧妙地构造圆 以圆
7、为载体 利用圆的有关性质 问 题便会迎刃而解 此类问题方法巧妙 耐人寻味 例 1 如图 已知在矩形ABCD 中 AD 8 CD 4 点 E 从点 D 出发 沿线段DA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 方向移动 同时点F 从点 C 出发 沿射线CD 方向以每秒2 个单位 长的速度移动 当B E F 三点共线时 两点同时停止运动 设点E 移动的时间为t 秒 1 求当 t 为何值时 两点同时停止运动 2 设四边形BCFE 的面积为S 求 S与 t 之间的函数关系式 并写出t 的取值范围 3 求当 t 为何值时 以E F C 三点为顶点的三角形是等腰三角形 4 求当 t 为何值时 BEC BFC A
8、 B C D E F O 学习资料 精品文档 例 2 正方形ABCD边长为 4 M N分别是BC CD上的两个动点 当M点 在 BC上运动时 保持AM和MN垂直 1 证明 RtRtABMMCN 2 设BMx 梯形ABCN的面积为y 求y与x之间的函数关系式 当M点运动到 什么位置时 四边形ABCN面积最大 并求出最大面积 3 当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN 求此时x的值 例 3 如图 在梯形ABCD中 354245ADBCADDCABB 动 点M从B点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动 动点N 同时从C点 出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动
9、 设运动的时间为t秒 09 年济南中考 1 求BC的长 2 当MNAB 时 求t的值 3 试探究 t为何值时 MNC 为等腰三角形 例 4 如图 在Rt AOB 中 AOB 90 OA 3cm OB 4cm 以点 O 为坐标原点建 立坐标系 设P Q 分别为 AB OB 边上的动点它们同时分别从点A O 向 B 点匀速运动 速度均为1cm 秒 设 P Q 移动时间为t 0 t 4 1 求 AB 的长 过点 P 做 PM OA 于 M 求出 P 点的坐标 用 t 表示 2 求 OPQ 面积 S cm2 与运动时间t 秒 之间的函数关 系式 当t 为何值时 S有最大值 最大是多少 3 当 t 为何
10、值时 OPQ 为直角三角形 4 若点 P 运动速度不变 改变Q 的运动速度 使 OPQ 为正 三角形 求Q 点运动的速度和此时t 的值 答案解析 例 1 解 1 当 B E F 三点共线时 两点同时停止运动 如图2 所示 1 分 由题意可知 ED t BC 8 FD 2t 4 FC 2t ED BC FED FBC FDED FCBC 24 28 tt t 解得 t 4 当 t 4 时 两点同时停止运动 3 分 y A O M Q P B x A D C B M N D M A B C N 图 2 A B C D E F 学习资料 精品文档 2 ED t CF 2t S S BCE S BCF
11、 1 2 8 4 1 2 2t t 16 t2 即 S 16 t2 0 t 4 6 分 3 若 EF EC 时 则点F 只能在 CD 的延长线上 EF 2 222 24 51616tttt EC2 222 416tt 2 51616tt 2 16t t 4 或 t 0 舍去 若 EC FC 时 EC2 222 416tt FC2 4t2 2 16t 4t2 4 3 3 t 若 EF FC 时 EF2 222 24 51616tttt FC 2 4t2 2 51616tt 4t2 t1 168 3 舍去 t2 168 3 当 t 的值为 4 4 3 3 168 3时 以 E F C 三点为顶点的
12、三角形是等腰三 角形 9 分 4 在 Rt BCF 和 Rt CED 中 BCD CDE 90 2 BCCF CDED Rt BCF Rt CED BFC CED 10 分 AD BC BCE CED 若 BEC BFC 则 BEC BCE 即 BE BC BE2 2 1680tt 2 1680tt 64 t1 16 8 3 舍去 t2 168 3 当 t 168 3时 BEC BFC 12 分 例 2 解 1 在正方形ABCD中 490ABBCCDBC AMMNQ 90AMN 90CMNAMB 在RtABM 中 90MABAMB CMNMAB RtRtABMMCN 2 RtRtABMMCNQ
13、 4 4 ABBMx MCCNxCN 2 4 4 xx CN 2 2 2 1411 4428210 2422 ABCN xx ySxxx 梯形 N D A C B M 学习资料 精品文档 当2x时 y取最大值 最大值为10 3 90BAMNQ 要使ABMAMN 必须有 AMAB MNBM 由 1 知 AMAB MNMC BMMC 当点M运动到BC的中点时 ABMAMN 此时2x 例 3 解 1 如图 过A D分别作AKBC于K DHBC于H 则四边形ADHK 是矩形 3KHAD 在Rt ABK 中 2 sin 454 24 2 AKABg 2 cos454 24 2 BKABgg 在Rt CD
14、H 中 由勾股定理得 22 543HC 43310BCBKKHHC 2 如图 过D作DGAB 交BC于G点 则四边形ADGB是平行四边形 MN AB MNDG 3BGAD 1037GC 由题意知 当M N运动到t秒时 102CNtCMt DG MN NMCDGC 又 CC MNCGDC CNCM CDCG 图 A D C B K H 图 A D C B G M N 学习资料 精品文档 即 102 57 tt 解得 50 17 t 3 分三种情况讨论 当NCMC时 如图 即102tt 10 3 t 当MNNC时 如图 过N作NEMC于E 90CCDHCNEC NECDHC NCEC DCHC 即
15、 5 53 tt 25 8 t 当MNMC时 如图 过M作MFCN于F点 11 22 FCNCt 90CCMFCDHC MFCDHC FCMC HCDC 即 1 102 2 35 t t 60 17 t 综上所述 当 10 3 t 25 8 t或 60 17 t时 MNC 为等腰三角形 例 4 1 由题意知 BD 5 BQ t QC 4 t DP t BP 5 t PQ BC BPQ BDC BC BQ BD BP 即 45 5tt 9 20 t A D C B M N 图 图 A D C B M N H E 图 A D C B H N M F 学习资料 精品文档 当 9 20 t时 PQ B
16、C 3 分 2 过点 P作 PM BC 垂足为M BPM BDC 35 5PMt 5 5 3 tPM 4 分 tS 2 1 5 5 3 t 8 15 2 5 10 3 t 5 分 当 5 2 t时 S有最大值 15 8 6 分 3 当 BP BQ 时 tt5 2 5 t 7 分 当 BQ PQ 时 作 QE BD 垂足为E 此时 BE 2 5 2 1t BP BQE BDC BD BQ BC BE 即 54 2 5 t t 13 25 t 9 分 当 BP PQ 时 作 PF BC 垂足为F 此时 BF 22 1t BQ BPF BDC BD BP BC BF 即 5 5 4 2 t t 13 40 t 11 分 1 40 13 t 2 5 2 t 3 25 13 t 均使 PBQ 为等腰三角形 12 分
