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1、学习资料 精品文档 第二十四章圆 教学内容 1 本单元数学的主要内容 1 圆有关的概念 垂直于弦的直径 弧 弦 圆心角 圆周角 2 与圆有关的位置关系 点和圆的位置关系 直线与圆的位置关系 3 圆和圆的位置关系 4 正多边形和圆 5 弧长和扇形面积 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 2 本单元在教材中的地位与作用 学生在学习本章之前 已通过折叠 对称 平移旋转 推理证明等方式认识了许多图形的性 质 积累了大量的空间与图形的经验 本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上 进一步来探索一种特殊的曲线 圆的有关性质 通过本章的学习 对学生今后继续学习数 学 尤其是逐步树立分类讨论的数学思想
2、 归纳的数学思想起着良好的铺垫作用 本章的学 习是高中的数学学习 尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程 教学目标 1 知识与技能 1 了解圆的有关概念 探索并理解垂径定理 探索并认识圆心角 弧 弦之间的相等关 系的定理 探索并理解圆周角和圆心角的关系定理 2 探索并理解点和圆 直线与圆以及圆与圆的位置关系 了解切线的概念 探索切线与 过切点的直径之间的关系 能判定一条直线是否为圆的切线 会过圆上一点画圆的切线 3 进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算 4 熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆 锥的侧面积和全面积的计算 2 过程与方法 1 积极引
3、导学生从事观察 测量 平移 旋转 推理证明等活动 了解概念 理解等量 关系 掌握定理及公式 2 在教学过程中 鼓励学生动手 动口 动脑 并进行同伴之间的交流 3 在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳 的数学思想 4 通过平移 旋转等方式 认识直线与圆 圆与圆的位置关系 使学生明确图形在运动 变化中的特点和规律 进一步发展学生的推理能力 学习资料 精品文档 5 探索弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义 理解 算法的意义 3 情感 态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程 发展学生的数学思考能力 通过积极引导 帮助学生有意 识地积
4、累活动经验 获得成功的体验 利用现实生活和数学中的素材 设计具有挑战性的情 景 激发学生求知 探索的欲望 教学重点 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧及其运用 2 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等及其运用 3 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半及 其运用 4 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径及其运用 5 不在同一直线上的三个点确定一个圆 6 直线 L和 O 相交 dr 及其运用 7 圆的切线垂直于过切点的半径及其运用 8 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用
5、它解决一些具体问题 9 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角及其运用 10 两圆的位置关系 d 与 r1 和 r2 之间的关系 外离d r1 r2 外切 d r1 r2 相交 r2 r1 d r1 r2 内切 d r1 r2 内含d r2 r1 11 正多边形和圆中的半径R 边心距r 中心角 之间的等量关系并应用这个等量关系解 决具体题目 12 n 的圆心角所对的弧长为L nR 180 n 的圆心角的扇形面积是S扇形 n 2 360 及其运用这两个公式进行计算 13 圆锥的侧面积和全面积的计算 教学难点 1 垂径定理的探索与推导及利用它解决一些
6、实际问题 2 弧 弦 圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导 并运用它解决一些实际问题 3 有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用 4 点与圆的位置关系的应用 5 三点确定一个圆的探索及应用 6 直线和圆的位置关系的判定及其应用 7 切线的判定定理与性质定理的运用 8 切线长定理的探索与运用 9 圆和圆的位置关系的判定及其运用 10 正多边形和圆中的半径R 边心距r 中心角 的关系的应用 学习资料 精品文档 11 n 的圆心角所对的弧长L nR 180 及 S扇形 n 2 360 的公式的应用 12 圆锥侧面展开图的理解 教学关键 1 积极引导学生通过观察 测量 折叠 平移 旋转等数学活动探
7、索定理 性质 三个 位置关系并推理证明等活动 2 关注学生思考方式的多样化 注重学生计算能力的培养与提高 3 在观察 操作和推导活动中 使学生有意识地反思其中的数学思想方法 发展学生有条 理的思考能力及语言表达能力 单元课时划分 本单元教学时间约需 13 课时 具体分配如下 24 1 圆 3 课时 24 2 与圆有关的位置关系4 课时 24 3 正多边形和圆1 课时 24 4 弧长和扇形面积2 课时 教学活动 习题课 小结3 课时 24 1 圆 第一课时 教学内容 1 圆的有关概念 2 垂径定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧及其它 们的应用 教学目标 了解圆的有关概
8、念 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程 讲授圆的有关概念 利用操作几何 的方法 理解圆是轴对称图形 过圆心的直线都是它的对称轴 通过复合图形的折叠方法得 出猜想垂径定理 并辅以逻辑证明加予理解 重难点 关键 1 重点 垂径定理及其运用 2 难点与关键 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 教学过程 一 复习引入 学生活动 请同学口答下面两个问题 提问一 两个同学 1 举出生活中的圆三 四个 学习资料 精品文档 2 你能讲出形成圆的方法有多少种 老师点评 口答 1 如车轮 杯口 时针等 2 圆规 固定一个定点 固定一
9、个 长度 绕定点拉紧运动就形成一个圆 二 探索新知 从以上圆的形成过程 我们可以得出 在一个平面内 线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周 另一个端点所形成的图形 叫做圆 固定的端点O 叫做圆心 线段OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆O 学生四人一组讨论下面的两个问题 问题 1 图上各点到定点 圆心O 的距离有什么规律 问题 2 到定点的距离等于定长的点又有什么特点 老师提问几名学生并点评总结 1 图上各点到定点 圆心O 的距离都等于定长 半径r 2 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此 我们可以得到圆的新定义 圆心为O 半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的
10、距离等于定长r 的点组成的图形 同时 我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图线段AC AB 经过圆心的弦叫做直径 如图24 1 线段 AB 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 以 A C 为端点的弧记作 读作 圆 弧 或 弧AC 大于半圆的弧 如图所示叫做优弧 小于半圆的弧 如图所 示 或叫做劣弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆 学生活动 请同学们回答下面两个问题 1 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 2 你是用什么方法解决上述问题的 与同伴进行交流 老师点评 1 圆是轴对称图形 它的对称轴是直径 我能找到无数多条直径 3
11、我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此 我们可以得到 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 学生活动 请同学按下面要求完成下题 如图 AB 是 O 的一条弦 作直径CD 使 CD AB 垂足为M 1 如图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 AC AC ABC AC BC B AC O BA C D O M 学习资料 精品文档 C E D O F 2 你能发现图中有哪些等量关系 说一说你理由 老师点评 1 是轴对称图形 其对称轴是CD 2 AM BM 即直径 CD 平分弦 AB 并且平分及 这样 我们就得到下面的定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的
12、两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下 已知 直径CD 弦 AB 且 CD AB 垂足为 M 求证 AM BM 分析 要证 AM BM 只要证 AM BM 构成的两个三角形全等 因此 只要连结 OA OB或 AC BC 即可 证明 如图 连结OA OB 则 OA OB 在 Rt OAM 和 Rt OBM 中 Rt OAM Rt OBM AM BM 点 A 和点 B 关于 CD 对称 O 关于直径CD 对称 当圆沿着直线CD 对折时 点A 与点 B 重合 与重合 与重合 进一步 我们还可以得到结论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 本题的证明作为课后练习 例1 如图 一条
13、公路的转弯处是一段圆弦 即图中 点 例2 O 是的圆心 其中 CD 600m E为上一点 例3 且 OE CD 垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 分析 例1 是垂径定理的应用 解题过程中使用了列方程的方法 这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解 如图 连接OC 设弯路的半径为R 则 OF R 90 m OE CD CF CD 600 300 m 根据勾股定理 得 OC 2 CF2 OF2 即 R2 300 2 R 90 2 解得 R 545 这段弯路的半径为545m 三 巩固练习 教材练习 ACBC ADBD AB ADB ACBC ADBD OAOB OM
14、OM AC BC AD BD ACBC ADBD CD CD CD 1 2 1 2 BA C O M 学习资料 精品文档 BA C E D O N M 四 应用拓展 例 2 有一石拱桥的桥拱是圆弧形 如图24 5 所示 正常水位下水面宽AB 60m 水面到拱顶距离CD 18m 当洪水泛滥时 水面宽MN 32m时是否需要采取紧急措施 请说明理由 分析 要求当洪水到来时 水面宽MN 32m 是否需要采取紧急措施 只要求出DE 的长 因此只要求半径R 然后运用几何代数解求R 解 不需要采取紧急措施 设 OA R 在 Rt AOC 中 AC 30 CD 18 R2 30 2 R 18 2 R2 900
15、 R 2 36R 324 解得 R 34 m 连接 OM 设 DE x 在 Rt MOE 中 ME 16 34 2 162 34 x 2 16 2 342 68x x2 342 x 2 68x 256 0 解得 x1 4 x2 64 不合设 DE 4 不需采取紧急措施 五 归纳小结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 圆的有关概念 2 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3 垂径定理及其推论以及它们的应用 六 布置作业 1 教材复习巩固1 2 3 24 1 圆 第 2 课时 教学内容 1 圆心角的概念 2 有关弧 弦 圆心角关系的定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等
16、 所对的弦也相等 3 定理的推论 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的圆心角相等 所 对的弦相等 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弧也相等 教学目标 了解圆心角的概念 掌握在同圆或等圆中 圆心角 弦 弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等 及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识 产生圆心角的概念 然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都 分别相等 最后应用它解决一些具体问题 学习资料 精品文档 重难点 关键 1 重点 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对弦也相等及其两 个推论和它们的应用 2 难点与关键 探索定理和推导及其应用 教学过程 一 复习引入 学生活动 请同学们完成下题 已知 OAB 如图所示 作出绕O 点旋转 30 45 60 的图形 老师点评 绕O 点旋转 O 点就是固定点 旋转30 就是旋转角 BOB 30 二 探索新知 如图所示 AOB 的顶点在圆心 像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 学生活动 请同学们按
