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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）“”是“”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分不必要条件既不充分也不必要条件（2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ ）ABCD（3）直线关于直线对称的直线方程是（）（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）（5）已知随机变量服从正态分布，则（ ）ABCD，（6）若两条异面直线外的任意
2、一点，则（）过点有且仅有一条直线与都平行过点有且仅有一条直线与都垂直过点有且仅有一条直线与都相交过点有且仅有一条直线与都异面（7）若非零向量满足，则（） （8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（）（10）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）ABCD第II卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分（11）已知复数，则复数 （12）已知，且，则的值是 （13）不等式的解集是 （14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的
3、3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）（15）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是 （16）已知点在二面角的棱上，点在内，且若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是（17）设为实数，若，则的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（18）（本题14分）已知的周长为，且（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点（I）求证：；（II）求与平面所成的角（第20题）（第19题）（20）（本题14分）如图，直
4、线与椭圆交于两点，记的面积为（I）求在，的条件下，的最大值；（II）当，时，求直线的方程（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（I）求，；（II）求数列的前项和；（）记，求证：（22）（本题15分）设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分（1）A（2）D（3）D（4）B（5）A（6）B（7）C（8）D（9）B（10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算
5、每小题4分，满分28分（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）三、解答题（18）解：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分方法一：（I）证明：因为，是的中点，所以又平面，所以（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，是直线和平面所成的角因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此设，在直角梯形中，是的中点，所以，得是直角三角形，其中，所以在中，所以，故与平面所成的角是方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和
6、轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，（I）证明：因为，所以，故（II）解：设向量与平面垂直，则，即，因为，所以，即，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分（）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最大值（）解：由得， 设到的距离为，则，又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或21本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力满分15分（I）解：方程的两个根为，当时，所以
7、；当时，所以；当时，所以时；当时，所以（II）解：（III）证明：，所以，当时，同时，综上，当时，22本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分15分（I）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，又因为，不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立
