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1、 一 问题1 1背景在通信工程中 信号的可靠性是至关重要的 在信号的传输过程中 往往遇到噪声干扰 干扰可能来自系统的外部 也可能有系统本身的非线性输出过程产生 例如有一非线性系统 其输入与输出的关系是 其中t是时间 那么当输入是包含频率的信号时 输出y t 中不仅包含输入信号而且还会出现等新的频率成分 这些新的频率称为交调 如果交调的频率出现在原有频率的附近 就会产生干扰 非线性交调的频率设计 1 1 2 具体问题现有一SCS 非线性 系统 其输入输出关系由如下一组数据给出 其中A1 25 A2 10 A3 45式输入信号的振幅 对输入信号频率的设计要求为 1 2 输出中的交调均不得出现在的范
2、围内 i 1 2 3 此范围称为的接受带 如下图 输入信号为 2 4 不得出现在的接收带内 i j 1 2 3 i j 5 为简单起见 只取整数值 且交调只考虑2阶类型 即 i j 1 2 3 和3阶类型 即 i j k 1 2 3 3 定义输出的信噪比 单位 dB 其中Bi是输出中对应于频率为的信号的振幅 Cn是某一频率为的交调的振幅 若出现在处 i 1 2 3 则对应的SNR应大于10分贝 3 二 数据拟合 2 1概念 在生产和科研等实际问题当中 常常通过实验测量得到一批离散数据 这些数据是问题内在规律的反映 这种规律用数学语言来描述就是函数关系 数据拟合就是通过已知数据 去寻找某个近似函
3、数 使所得的函数与已知数据有较小的误差 4 求600C时的电阻R 设R at ba b为待定系数 例1 已知热敏电阻数据 5 求血药浓度随时间的变化规律c t 作半对数坐标系 semilogy 下的图形 例2 6 y f x 数据拟合的一般提法为 已知某函数y f x 的一组测量数据 xi yi i 1 2 n 要寻求一个函数g x 使g x 与上述测量数据在某种准则下最为接近 即g xi yi 则可以用g x 近似代替f x 7 2 2 线性最小二乘拟合 问题归结为 求a1 a2 am使s最小 因为a1 a2 am都以线性形式出现 故称此方法为线性最小二乘拟合 权系数wi根据需要可灵活选择
4、8 上方程称为正规方程组 对于给定的测量数据 只要函数系选得合适 就可以从正规方程组中解出a1 a2 am 9 2 3 多项式插值拟合 2 4 样条函数拟合 略 10 g x a1g1 x amgm x 中函数 g1 x gm x 的选取 1 通过机理分析建立数学模型来确定g x 2 将数据 xi yi i 1 n作图 通过直观判断确定g x 3 取g x 为x的多项式函数 11 函数形式功能 Fit date funs vars 用变量为vars 函数类为funs 按最小二乘法拟合一组数据dateInterpolatingPolynomial f1 f2 x 求点 i fi i 1 2 的插
5、值多项式InterpolatingPolynomial x1 f1 x2 f2 x 求点 xi fi i 1 2 的插值多项式Interpolation x1 f1 x2 f2 求点 xi fi i 1 2 的近似函数 分段多项式插值 Mathematica的拟合函数 12 三 非线性交调的频率设计参考解答 1 问题分析 交调 避免交调的影响 选择频率 确定信噪比 13 交调及其阶 uk t 可能产生 k阶类型的交调 14 1 不考虑系统外部的干扰 2 拟合出的输入输出关系 对输入信号自变量u t 为负的部分也是成立的 注 假设是论文研究中要用到的 不要硬凑 不要写题目明确给出的条件 假设个数
6、不要太多 在研究过程中对假设进行修改 2 模型假设 15 3 模型建立与求解 16 1 输入输出关系的确立根据题目给出的数据条件 首先要确定输入输出的函数关系 这是一个曲线拟合问题 由于交调是因为输入u t 的乘方产生的 故此处用多项式拟合输入输出关系是恰当的 用什么函数拟合 17 那么 我们试用不同次数的多项式进行拟合来比较 结果发现 用 4次的多项式进行拟合时 拟合出的多项式 其次数 4的项的系数非常小 10 以致不会对结果产生影响 故用三次多项式进行拟合已达到精度了 uk t 可能产生 k阶类型的交调 题目要求考虑二阶和三阶类型的交调 故最高次数必定 3 拟合多项式的最高次数是多少 注
7、拟合函数一般只对内插有效 外推一般不可靠 18 19 由 得正规方程组 20 解得 高阶误差为2 6716e 007 故三阶拟合是比较精确的 得输入输出关系式为 拟合曲线如图 3 4 21 也可以用Mathematica求出拟合函数 函数形式功能 Fit date funs vars 用变量为vars 函数类为funs 按最小二乘法拟合一组数据date 程序 date 0 0 5 2 25 10 6 80 20 20 15 30 35 70 40 56 40 50 75 10 60 87 85 80 98 50 Fit date u u 2 u 3 u 结果 0 244091u 0 04538
8、29u 2 0 000413273u 3 22 假设 输入输出关系 3 4 对u t 为负的部分也是成立 2 频率约束条件下的初步配置 将输入代入 3 4 式 经整理得到输出y t 的频率成分有以下几种 23 直接用计算机求解满足上述条件的频率组 计算量较大 先化简 因为 24 用计算机求解满足 3 7 的频率组 具体作法是 采用穷举法 逐一选出满足 3 7 式的频率组 在计算过程中 不妨设f1 f2 f3 求得满足频率约束 3 7 即满足条件 1 2 4 的6组解为 25 3 信噪比条件下的进一步配置 仅y3包含有影响的交调 y3较复杂 要方便的求出各种频率的系数 比较好的办法是采用Four
9、ier级数展开 将 3 5 式代入 3 4 得 信噪比SNR的约束 当交调出现在fi 时 要求SNR 10 B 因此 需从上述6组解中 进一步求出满足SNR要求的解 26 将y3表为复数形式 y3为周期函数 可将其展为Fourier级数 27 于是y3中对应于单频率成份 i的系数是 归纳为一般形式 y3中对应于单频率成份 i的系数Cn1 n2 n3满足n1 n2 n3 1 且 n1 n2 n3 1类似地得 y3中对应于频率成份2 i j i j k的系数Cn1 n2 n3满足n1 n2 n3 1 且 n1 n2 n3 3 28 故y3中对应于 1的系数是 得对应于频率f1的振幅为 计算信噪比中
10、所需频率的振幅 29 得对应于频率2f1 f2的振幅为 类似得对应于频率f1 f2 f3的振幅为 30 将上述各种频率的振幅用于 2 中求出的满足频率约束条件的6组配置 分别计算出有关的信噪比SNR 检验是否SNR 10 dB 最终求出满足条件的解有二组 36 42 55 35 49 55 31 4 稳定性分析 1 解关于拟合多项式系数的稳定性由前可以看出 拟和多项式的系数不会影响交调频率的改变 但各种频率的振幅将随拟和多项式的系数发生变化 故须讨论拟合多项式系数变化时对信噪比的影响 即当拟和多项式的系数在什么范围变化时 设计频率的解具有不变性 原解仍为解 非解仍为非解 设另一个拟和多项式为
11、32 计算有关的信噪比 并使1 2组频率仍为解 3 6组频率仍为非解 即可得的变化范围 在此范围内解是稳定的 33 34 2 高阶拟合多项式 4阶 对解的影响前面在拟合输出函数时 采用的是三阶多项式 实际上大于等于4次的函数亦能够产生一阶 二阶 三阶的交调 但由于4次及4次以上的项其系数非常小 10 5 故其产生的交调的振幅相对3次项产生的该交调的振幅的变化在的解的稳定范围之内 故用三次多项式作拟合函数是足够精确的 5 推广与改进 两个有意义的推广是 1 将输入信号由3项改为n项 2 讨论输入输出曲线的拟合在负部进行其它假定下解的情况 35 某居民区有一供居民用水的园柱形水塔 一般可以通过测量其水位来估计水的流量 但面临的困难是 当水塔水位下降到设定的最低水位时 水泵自动启动向水塔供水 到设定的最高水位时停止供水 这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量 通常水泵每天供水一两次 每次约两小时 水塔是一个高12 2米 直径17 4米的正园柱 按照设计 水塔水位降至约8 2米时 水泵自动启动 水位升到约10 8米时水泵停止工作 表1是某一天的水位测量记录 试估计任何时刻 包括水泵正供水时 从水塔流出的水流量 及一天的总用水量 估计水塔的水流量 作业 36
