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1、学习资料 精品文档 A P C D B P C G F B Q A D E 初二数学经典几何题型 1 已知 如图 P是正方形ABCD内点 PAD PDA 15 0 求证 PBC是正三角形 证明如下 首先 PA PD PAD PDA 180 150 2 15 PAB 90 15 75 在正方形ABCD 之外以 AD为底边作正三角形ADQ 连接 PQ 则 PDQ 60 15 75 同样 PAQ 75 又 AQ DQ PA PD 所以 PAQ PDQ 那么 PQA PQD 60 2 30 在 PQA中 APQ 180 30 75 75 PAQ PAB 于是 PQ AQ AB 显然 PAQ PAB 得
2、 PBA PQA 30 PB PQ AB BC PBC 90 30 60 所以 PBC是正三角形 2 已知 如图 在四边形ABCD 中 AD BC M N分别是 AB CD的中点 AD BC的延长线交MN于 E F 求证 DEN F 证明 连接 AC 并取 AC的中点 G 连接 GF GM 又点 N为 CD的中点 则 GN AD 2 GN AD GNM DEM 1 同理 GM BC 2 GM BC GMN CFN 2 又 AD BC 则 GN GM GNM GMN 故 DEM CFN 3 如图 分别以 ABC的 AC和 BC为一边 在 ABC的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG 点 P是
3、EF 的中点 求证 点P到边 AB的距离等于AB的一半 证明 分别过E C F作直线 AB的垂线 垂足分别为M O N 在梯形 MEFN 中 WE 平行 NF 因为 P为 EF中点 PQ平行于两底 所以 PQ为梯形 MEFN 中位线 所以 PQ ME NF 2 又因为 角0CB 角 OBC 90 角NBF 角 CBO 所以角 OCB 角 NBF 而角 C0B 角 Rt 角 BNF CB BF 所以 OCB全等于 NBF MEA 全等于 OAC 同理 所以 EM AO 0B NF 所以 PQ AB 2 4 设 P是平行四边形ABCD 内部的一点 且 PBA PDA 求证 PAB PCB 过点 P
4、作 DA的平行线 过点A作 DP的平行线 两者相交于点E 连接 BE A N F E C D M B 学习资料 精品文档 因为 DP AE AD PE 所以 四边形AEPD为平行四边形 所以 PDA AEP 已知 PDA PBA 所以 PBA AEP 所以 A E B P四点共圆 所以 PAB PEB 因为四边形AEPD为平行四边形 所以 PE AD 且 PE AD 而 四边形ABCD 为平行四边形 所以 AD BC 且 AD BC 所以 PE BC 且 PE BC 即 四边形EBCP也是平行四边形 所以 PEB PCB 所以 PAB PCB 5 P 为正方形ABCD 内的一点 并且PA a
5、PB 2a PC 3a正方形的边长 解 将 BAP绕 B点旋转 90 使 BA与 BC重合 P点旋转后到Q点 连接PQ 因为 BAP BCQ 所以 AP CQ BP BQ ABP CBQ BPA BQC 因为四边形DCBA 是正方形 所以 CBA 90 所以 ABP CBP 90 所以 CBQ CBP 90 即 PBQ 90 所以 BPQ是等腰直角三角形 所以 PQ 2 BP BQP 45 因为 PA a PB 2a PC 3a 所以 PQ 2 2a CQ a 所以 CP 2 9a 2 PQ 2 CQ 2 8a 2 a 2 9a 2 所以 CP 2 PQ 2 CQ 2 所以 CPQ是直角三角形
6、且 CQA 90 所以 BQC 90 45 135 所以 BPA BQC 135 作 BM PQ 则 BPM 是等腰直角三角形 所以 PM BM PB 2 2a 2 2a 所以根据勾股定理得 AB 2 AM 2 BM 2 2a a 2 2a 2 5 2 2 a 2 所以 AB 5 2 2 a 6 一个圆柱形容器的容积为V立方米 开始用一根小水管向容器内注水 水面高度达到容器高度一半 后 改用一根口径为小水管 倍的大水管注水 向容器中注满水的全过程共用时间t 分 求两根水管 各自注水的速度 解 设小水管进水速度为x 则大水管进水速度为4x A C B P D P A D C B 学习资料 精品文
7、档 由题意得 t x v x v 82 解之得 t v x 8 5 经检验得 t v x 8 5 是原方程解 小口径水管速度为 t v 8 5 大口径水管速度为 t v 2 5 7 如图 11 已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M 2 1 且P 1 2 为双曲 线上的一点 Q为坐标平面上一动点 PA垂直于x轴 QB垂直于y轴 垂足分别是A B 1 写出正比例函数和反比例函数的关系式 2 当点Q在直线MO上运动时 直线MO上是否存在这样的点Q 使得 OBQ与 OAP面积相等 如 果存在 请求出点的坐标 如果不存在 请说明理由 3 如图 12 当点Q在第一象限中的双曲线上运动时 作以OP O
8、Q为邻边的平行四边形OPCQ 求平 行四边形OPCQ周长的最小值 解 1 设正比例函数解析式为ykx 将点M 2 1 坐标代入得 1 2 k 所以正比例函数解 析式为 1 2 yx 同样可得 反比例函数解析式为 2 y x 2 当点Q在直线DO上运动时 设点Q的坐标为 1 2 Q mm 图 x y B A O M Q P 图 x y B C A O M P Q 学习资料 精品文档 于是 2 1111 2224 OBQ SOBBQmmm 创 而 1 1 2 1 2 OAP S 所以有 2 1 1 4 m 解得2m 所以点Q的坐标为 1 2 1 Q 和2 21 Q 3 因为四边形OPCQ是平行四边
9、形 所以OP CQ OQ PC 而点P 1 2 是定点 所以OP的长也是定长 所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只 需求OQ的最小值 因为点Q在第一象限中双曲线上 所以可设点Q的坐标为 2 Q n n 由勾股定理可得 222 2 42 4OQnn nn 所以当 2 2 0n n 即 2 0n n 时 2 OQ有最小值4 又因为OQ为正值 所以OQ与 2 OQ 同时取得最小值 所以OQ有最小值2 由勾股定理得OP 5 所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 8 如图 P是边长为1 的正方形ABCD对角线AC上一动点 P与A C不重合 点E在射线BC上 且 PE PB 1 求证 PE PD P
10、E PD 2 设AP x PBE的面积为y 求出y关于x的函数关系式 并写出x的取值范围 当x取何值时 y取得最大值 并求出这个最大值 解 1 证法一 四边形ABCD是正方形 AC为对角线 BC DC BCP DCP 45 PC PC PBC PDC SAS PB PD PBC PDC 又 PB PE A B C D P E 1 2 H 学习资料 精品文档 PE PD i 当点E在线段BC上 E与B C不重合 时 PB PE PBE PEB PEB PDC PEB PEC PDC PEC 180 DPE 360 BCD PDC PEC 90 PE PD ii 当点E与点C重合时 点P恰好在AC
11、中点处 此时 PE PD iii 当点E在BC的延长线上时 如图 PEC PDC 1 2 DPE DCE 90 PE PD 综合 i ii iii PE PD 2 过点P作PF BC 垂足为F 则BF FE AP x AC 2 PC 2 x PF FC xx 2 2 1 2 2 2 BF FE 1 FC 1 x 2 2 1 x 2 2 S PBE BF PF x 2 2 x 2 2 1 xx 2 2 2 12 即xxy 2 2 2 1 2 0 x 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 22 xxxy 2 1 a 0 当 2 2 x时 y 最大值 4 1 1 证法二 过点P作GF AB 分
12、别交AD BC于G F 如图所示 四边形ABCD是正方形 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形 AGP和 PFC都是等腰直角三角形 GD FC FP GP AG BF PGD PFE 90 A B C P D E F A B C P D E F G 1 2 3 学习资料 精品文档 又 PB PE BF FE GP FE EFP PGD SAS PE PD 1 2 1 3 2 3 90 DPE 90 PE PD 2 AP x BF PG x 2 2 PF 1 x 2 2 S PBE BF PF x 2 2 x 2 2 1 xx 2 2 2 12 即xxy 2 2 2 1 2 0 x 2 4 1
13、 2 2 2 1 2 2 2 1 22 xxxy 2 1 a 0 当 2 2 x时 y 最大值 4 1 9 如图 直线y k1x b 与反比例函数 y k2x 的图象交于A 1 6 B a 3 两点 1 求 k1 k2的值 2 直接写出 k1x b k2x 0 时 x 的取值范围 3 如图 等腰梯形OBCD 中 BC OD OB CD OD边在 x 轴上 过点C作 CE OD于点 E CE和反比 例函数的图象交于点P 当梯形OBCD 的面积为 12 时 请判断PC和 PE的大小关系 并说明理由 学习资料 精品文档 10 如图 12 已知直线 1 2 yx与双曲线 0 k yk x 交于AB 两点 且点A的横坐标为4 1 求k的值 2 若双曲线 0 k yk x 上一点C的纵坐标为8 求AOC 的面积 3 过原点O的另一条直线l交双曲线 0 k yk x 于PQ 两点 P点在第一象限 若由 点ABPQ 为顶点组成的四边形面积为24 求点P的坐标 图 12 O x A y B
