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1、学习资料 精品文档 中考数学冲刺复习资料 二次函数压轴题 面积类 1 如图 已知抛物线经过点A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 1 求抛物线的解析式 2 点 M 是线段 BC 上的点 不与B C 重合 过 M 作 MN y 轴交抛物线于N 若点 M 的横坐标为m 请用 m 的代数式表示MN 的长 3 在 2 的条件下 连接NB NC 是否存在m 使 BNC 的面积最大 若存在 求 m 的值 若不存在 说明理由 解答 解 1 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 则 a 0 1 0 3 3 a 1 抛物线的解析式 y x 1 x 3 x2 2x 3 2 设直线BC 的解析式为 y k
2、x b 则有 解得 故直线 BC 的解析式 y x 3 已知点 M 的横坐标为m MN y 则 M m m 3 N m m2 2m 3 故 MN m2 2m 3 m 3 m2 3m 0 m 3 3 如图 S BNC S MNC S MNB MN OD DB MN OB S BNC m2 3m 3 m 2 0 m 3 当 m 时 BNC 的面积最大 最大值为 学习资料 精品文档 2 如图 抛物线的图象与x 轴交于 A B 两点 与y 轴交于 C 点 已知B 点坐标为 4 0 1 求抛物线的解析式 2 试探究 ABC 的外接圆的圆心位置 并求出圆心坐标 3 若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一
3、点 求 MBC 的面积的最大值 并求出此时M 点的坐标 解答 解 1 将 B 4 0 代入抛物线的解析式中 得 0 16a 4 2 即 a 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 由 1 的函数解析式可求得 A 1 0 C 0 2 OA 1 OC 2 OB 4 即 OC2 OA OB 又 OC AB OAC OCB 得 OCA OBC ACB OCA OCB OBC OCB 90 ABC 为直角三角形 AB 为 ABC 外接圆的直径 所以该外接圆的圆心为AB 的中点 且坐标为 0 3 已求得 B 4 0 C 0 2 可得直线BC 的解析式为 y x 2 设直线 l BC 则该直线的解析式可表示
4、为 y x b 当直线l 与抛物线只有一个交点时 可列方程 x b x2 x 2 即 x2 2x 2 b 0 且 0 4 4 2 b 0 即 b 4 直线 l y x 4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点 有 学习资料 精品文档 解得 即 M 2 3 过 M 点作 MN x 轴于 N S BMC S梯形OCMN S MNB S OCB 2 2 3 2 3 2 4 4 平行四边形类 3 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y x2 mx n 经过点 A 3 0 B 0 3 点 P 是直线 AB 上的动点 过点P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M 设点 P 的横坐标为t 1 分别求出直线AB
5、和这条抛物线的解析式 2 若点 P 在第四象限 连接AM BM 当线段PM 最长时 求 ABM 的面积 3 是否存在这样的点P 使得以点P M B O 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请直接写出点P的横坐标 若不存在 请说明理由 1 分别利用待定系数法求两函数的解析式 把 A 3 0 B 0 3 分别代入 y x2 mx n 与 y kx b 得到关于m n 的两个方程组 解方程组即可 2 设点 P 的坐标是 t t 3 则 M t t2 2t 3 用 P 点的纵坐标减去M 的纵坐标 得到 PM 的长 即PM t 3 t2 2t 3 t2 3t 然后根据二次函数的最值得到 学习资料 精品文
6、档 当 t 时 PM 最长为 再利用三角形的面积公式利用 S ABM S BPM S APM计算即可 3 由 PM OB 根据平行四边形的判定得到当PM OB 时 点 P M B O 为顶点的四 边形为平行四边形 然后讨论 当P 在第四象限 PM OB 3 PM 最长时只有 所以不可 能 当 P 在第一象限 PM OB 3 t2 2t 3 t 3 3 当 P 在第三象限 PM OB 3 t2 3t 3 分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答 解 1 把 A 3 0 B 0 3 代入 y x2 mx n 得 解得 所以抛物线的解析式是y x2 2x 3 设直线 AB 的解析式是y
7、kx b 把 A 3 0 B 0 3 代入 y kx b 得 解得 所以直线 AB 的解析式是y x 3 2 设点 P 的坐标是 t t 3 则 M t t2 2t 3 因为 p 在第四象限 所以 PM t 3 t2 2t 3 t 2 3t 当 t 时 二次函数的最大值 即PM 最长值为 则 S ABM S BPM S APM 3 存在 理由如下 PM OB 当 PM OB 时 点 P M B O 为顶点的四边形为平行四边形 当 P 在第四象限 PM OB 3 PM 最长时只有 所以不可能有PM 3 当 P 在第一象限 PM OB 3 t2 2t 3 t 3 3 解得 t1 t2 舍 去 所以
8、 P 点的横坐标是 当 P 在第三象限 PM OB 3 t2 3t 3 解得 t1 舍去 t2 所以 P 点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是或 学习资料 精品文档 4 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点O 逆时针旋转90 得到 A B O 1 一抛物线经过点A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点P 使四边形PB A B 的面积 是 A B O 面积 4 倍 若存在 请求出P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形PB A B 是哪种形状的四边形 并写
9、出四边形PB A B 的两条性质 解 1 A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转90 得到的 又 A 0 1 B 2 0 O 0 0 A 1 0 B 0 2 方法一 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c a 0 抛物线经过点A B B 解得 满足条件的抛物线的解析式为y x2 x 2 方法二 A 1 0 B 0 2 B 2 0 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 2 将 B 0 2 代入得出 2 a 0 1 0 2 解得 a 1 故满足条件的抛物线的解析式为y x 1 x 2 x2 x 2 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 P x y 则 x 0 y 0 P 点坐标满
10、足y x2 x 2 学习资料 精品文档 连接 PB PO PB S四边形PB A B S B OA S PB O S POB 1 2 2 x 2 y x x2 x 2 1 x2 2x 3 A O 1 B O 2 A B O 面积为 1 2 1 假设四边形PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 则 4 x2 2x 3 即 x2 2x 1 0 解得 x1 x2 1 此时 y 12 1 2 2 即 P 1 2 存在点 P 1 2 使四边形PB A B的面积是 A B O 面积的 4 倍 3 四边形PB A B为等腰梯形 答案不唯一 下面性质中的任意2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相
11、等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下底平行 等腰梯形两腰相等 10 分 或用符号表示 B A B PBA 或 A B P BPB PA B B B P A B B A PB 5 如图 抛物线y x 2 2x c 的顶点 A 在直线 l y x 5 上 1 求抛物线顶点A 的坐标 2 设抛物线与y 轴交于点B 与 x 轴交于点C D C 点在 D 点的左侧 试判断 ABD 的形状 3 在直线l 上是否存在一点P 使以点 P A B D 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求点P 的坐标 若不存在 请说明理由 学习资料 精品文档 解 1 顶点A 的横坐标为x 1 且顶点A 在 y x 5 上
12、当 x 1 时 y 1 5 4 A 1 4 2 ABD 是直角三角形 将 A 1 4 代入 y x2 2x c 可得 1 2 c 4 c 3 y x2 2x 3 B 0 3 当 y 0 时 x2 2x 3 0 x1 1 x2 3 C 1 0 D 3 0 BD 2 OB2 OD2 18 AB2 4 3 2 12 2 AD 2 3 1 2 42 20 BD2 AB2 AD2 ABD 90 即 ABD 是直角三角形 3 存在 由题意知 直线y x 5 交 y 轴于点 E 0 5 交 x 轴于点 F 5 0 OE OF 5 又 OB OD 3 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形 BD l 即 PA
13、 BD 则构成平行四边形只能是PADB 或 P ABD 如图 过点 P 作 y 轴的垂线 过点A 作 x 轴的垂线交过P 且平行于x轴的直线于点G 设 P x1 x1 5 则 G 1 x1 5 则 PG 1 x1 AG 5 x1 4 1 x1 PA BD 3 由勾股定理得 1 x1 2 1 x 1 2 18 x12 2x1 8 0 x1 2 或 4 P 2 7 或 P 4 1 存在点 P 2 7 或 P 4 1 使以点A B D P 为顶点的四边形是平行四边形 学习资料 精品文档 周长类 6 如图 Rt ABO 的两直角边OA OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上 O 为坐 标原点
14、A B 两点的坐标分别为 3 0 0 4 抛物线y x 2 bx c 经过点 B 且顶 点在直线x 上 1 求抛物线对应的函数关系式 2 若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE 点 A B O 的对应点分别是D C E 当 四边形 ABCD 是菱形时 试判断点C 和点 D 是否在该抛物线上 并说明理由 3 在 2 的条件下 连接BD 已知对称轴上存在一点P 使得 PBD 的周长最小 求 出 P 点的坐标 4 在 2 3 的条件下 若点M 是线段 OB 上的一个动点 点M 与点 O B 不重合 过点 M 作 BD 交 x 轴于点 N 连接 PM PN 设 OM 的长为 t PMN 的面积为
15、S 求 S 和 t 的函数关系式 并写出自变量t 的取值范围 S是否存在最大值 若存在 求出最大值 和此时 M 点的坐标 若不存在 说明理由 学习资料 精品文档 解 1 抛物线y 经过点 B 0 4 c 4 顶点在直线x 上 b 所求函数关系式为 2 在 Rt ABO 中 OA 3 OB 4 AB 四边形 ABCD 是菱形 BC CD DA AB 5 C D 两点的坐标分别是 5 4 2 0 当 x 5 时 y 当 x 2 时 y 点 C 和点 D 都在所求抛物线上 3 设 CD 与对称轴交于点P 则 P 为所求的点 设直线 CD 对应的函数关系式为y kx b 则 解得 当 x 时 y P
16、4 MN BD OMN OBD 即得 ON 设对称轴交x 于点 F 则 PF OM OF t S PNF NF PF t S 0 t 4 a 0 抛物线开口向下 S存在最大值 由 S PMN t2 t t 2 当 t 时 S取最大值是 此时 点M 的坐标为 0 学习资料 精品文档 等腰三角形类 7 如图 点A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点P 使得以点P O B 为顶点的三角形是等腰三 角形 若存在 求点P 的坐标 若不存在 说明理由 解 1 如图 过B 点作 BC x 轴 垂足为C 则 BCO 90 AOB 120 BOC 60 又 OA OB 4 OC OB 4 2 BC OB sin60 4 2 点 B 的坐标为 2 2 2 抛物线过原点O 和点 A B 可设抛物线解析式为y ax2 bx 将 A 4 0 B 2 2 代入 得 解得 此抛物线的解析式为y x2 x 3 存在 如图 抛物线的对称轴是直线x 2 直线 x 2 与 x
