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1、学习资料 精品文档 实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一 列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把 未知 转化为 已知 的重要方法 它的关键是把已知量和未知量联系起来 找出题目中的相等关系 一般来说 有几个未知数就列出几个方程 所列方程必须满足 1 方程两边表示 的是同类量 2 同类量的单位要统一 3 方程两边的数值要相等 知识点二 列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1 行程问题 1 追击问题 追击问题是行程问题中很重要的一种 它的特点是同向而行 这类问题比较直观 画线 段 用图便于理解与分析 其等量关系式是 两者的行程差 开始时两者相距的路程 2 相遇问题 相遇问题也是行程
2、问题中很重要的一种 它的特点是相向而行 这类问题也比较直观 因而也画线段图帮助理解与分析 这类问题的等量关系是 双方所走的路程之和 总路程 3 航行问题 船在静水中的速度 水速 船的顺水速度 船在静水中的速度 水速 船的逆水速度 顺水速度 逆水速度 2 水速 注意 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行 解题方法与船顺水航行 逆水航行问题类似 2 工程问题 工作效率 工作时间 工作量 3 商品销售利润问题 1 利润 售价 成本 进价 2 3 利润 成本 进价 利润率 4 标价 成本 进价 1 利润率 5 实际售价 标价 打折率 注意 商品利润 售价 成本 中的右边为正时 是盈利 为负时 就是
3、亏损 打几折就是按标价 的十分之几或百分之几十销售 例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十 4 储蓄问题 1 基本概念 本金 顾客存入银行的钱叫做本金 利息 银行付给顾客的酬金叫做利息 本息和 本金与利息的和叫做本息和 期数 存入银行的时间叫做期数 利率 每个期数内的利息与本金的比叫做利率 利息税 利息的税款叫做利息税 2 基本关系式 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 本金 本金 利率 期数 本金 1 利率 期数 利息税 利息 利息税率 本金 利率 期数 利息税率 学习资料 精品文档 税后利息 利息 1 利息税率 年利率 月利率 12 注意 免税利息 利息 5 配套问题
4、 解这类问题的基本等量关系是 总量各部分之间的比例 每一套各部分之间的比例 6 增长率问题 解这类问题的基本等量关系式是 原量 1 增长率 增长后的量 原量 1 减少率 减少后的量 7 和差倍分问题 解这类问题的基本等量关系是 较大量 较小量 多余量 总量 倍数 倍量 8 数字问题 解决这类问题 首先要正确掌握自然数 奇数 偶数等有关概念 特征及其表示 如当n 为整数时 奇数可表示为2n 1 或 2n 1 偶数可表示为2n 等 有关两位数的基本等量关系式为 两位数 十位数字 10 个位数字 9 浓度问题 溶液质量 浓度 溶质质量 10 几何问题 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质 周长
5、 面积等计算公式 11 年龄问题 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等 两人的年龄差是永远不会变的 12 优化方案问题 在解决问题时 常常需合理安排 需要从几种方案中 选择最佳方案 如网络的使用 到不同旅行社 购票等 一般都要运用方程解答 得出最佳方案 注意 方案选择题的题目较长 有时方案不止一种 阅读时应抓住重点 比较几种方案得出最佳方案 知识点三 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时 一般可分为以下六个步骤 1 审题 弄清题意及题目中的数量关系 2 设未知数 可直接设元 也可间接设元 3 找出题目中的等量关系 4 列出方程组 根据题目中能表示全部含
6、义的等量关系列出方程 并组 成方程组 5 解所列的方程组 并检验解的正确性 6 写出答案 要点诠释 1 解实际应用问题必须写 答 而且在写答案前要根据应用题的实际意义 检查求得的结果是否 合理 不符合题意的解应该舍去 2 设 答 两步 都要写清单位名称 3 一般来说 设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 4 列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系 审题时 注意从文字 图表中获得有关信息 注意用方 程组解应用题的过程中单位的书写 设未知数和写答案都要带单位 列方程组与解方程组时 不要带单 位 正确书写速度单位 避免与路程单位混淆 在寻找等量关系时 应注意挖掘隐含的条件
7、 列 方程组解应用题一定要注意检验 学习资料 精品文档 类型一 列二元一次方程组解决 行程问题 1 甲 乙两地相距160 千米 一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲 乙两地相向而行 1 小时 20 分相遇 相遇后 拖拉机继续前进 汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回 在汽车再次出发半小 时后追上了拖拉机 这时 汽车 拖拉机各自行驶了多少千米 思路点拨 画直线型示意图理解题意 1 这里有两个未知数 汽车的行程 拖拉机的行程 2 有两个等量关系 相向而行 汽车行驶小时的路程 拖拉机行驶小时的路程 160 千米 同向而行 汽车行驶小时的路程 拖拉机行驶小时的路程 解 设汽车的速度为每小时行千米 拖拉机
8、的速度为每小时千米 根据题意 列方程组解这个方程组 得 答 汽车行驶了165 千米 拖拉机行驶了85 千米 总结升华 根据题意画出示意图 再根据路程 时间和速度的关系找出等量关系 是行程问题的常用 的解决策略 四 行程问题 例 4在某条高速公路上依次排列着A B C 三个加油站 A 到 B 的距离为120 千米 B 到 C 的距 离也是 120 千米 分别在 A C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速 公路逃离现场 正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A C 两个加 油站驶去 结果往 B 站驶来的团伙在1 小时后就被其中一辆迎面而
9、上的巡逻车堵截住 而另一团伙经过3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少 研析 设巡逻车 犯罪团伙的车的速度分别为x y 千米 时 则 学习资料 精品文档 3120 120 xy xy 整理 得 40 120 xy xy 解得 80 40 x y 因此 巡逻车的速度是80 千米 时 犯罪团伙的车的速度是40 千米 时 点评 相向而遇 和 同向追及 是行程问题中最常见的两种题型 在这两种题型中都存在着一个相等 关系 这个关系涉及到两者的速度 原来的距离以及行走的时间 具体表现在 相向而遇 时 两者所走的路程之和等于它们原来的距离 同向追及 时 快者所走的路程减去慢者
10、所走的路程等于它们原来的距离 变式 1 甲 乙两人相距36 千米 相向而行 如果甲比乙先走2 小时 那么他们在乙出发2 5 小 时后相遇 如果乙比甲先走2 小时 那么他们在甲出发3 小时后相遇 甲 乙两人每小时各走多少千米 变式 2 两地相距280 千米 一艘船在其间航行 顺流用14 小时 逆流用20 小时 求船在静水中 的速度和水流速度 类型二 列二元一次方程组解决 工程问题 2 一家商店要进行装修 若请甲 乙两个装修组同时施工 8 天可以完成 需付两组费用共3520 元 若先请甲组单独做6 天 再请乙组单独做12 天可完成 需付两组费用共3480 元 问 1 甲 乙两 组工作一天 商店应各
11、付多少元 2 已知甲组单独做需12 天完成 乙组单独做需24 天完成 单独请哪 组 商店所付费用最少 思路点拨 本题有两层含义 各自隐含两个等式 第一层含义 若请甲 乙两个装修组同时施工 8 天可以完成 需付两组费用共3520 元 第二层含义 若先请甲组单独做6 天 再请乙组单独做12 天可完 成 需付两组费用共3480 元 设甲组单独做一天商店应付x 元 乙组单独做一天商店应付y 元 由第一 层含义可得方程8 x y 3520 由第二层含义可得方程6x 12y 3480 解 1 设甲组单独做一天商店应付x 元 乙组单独做一天商店应付y 元 依题意得 学习资料 精品文档 解得 答 甲组单独做一
12、天商店应付300 元 乙组单独做一天商店应付140 元 2 单独请甲组做 需付款300 12 3600 元 单独请乙组做 需付款24 140 3360 元 故请乙组单独做费用最少 答 请乙组单独做费用最少 总结升华 工作效率是单位时间里完成的工作量 同一题目中时间单位必须统一 一般地 将工作总 量设为 1 也可设为a 需根据题目的特点合理选用 工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析 六 工程问题 例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务 要求在规定期限内完成 按照这个服装厂原来的生 产能力 每天可生产这种服装150 套 按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 4 5 现在 工厂
13、改进了人员组织结构和生产流程 每天可生产这种工作服200 套 这样不仅比规定时间少用1 天 而 且比订货量多生产25 套 求订做的工作服是几套 要求的期限是几天 分析 设订做的工作服是x 套 要求的期限是y 天 依题意 得 4 150 5 200125 yx yx 解得 3375 18 x y 点评 工程问题与行程问题相类似 关键要抓好三个基本量的关系 即 工作量 工作时间 工作效率 以及它们的变式 工作时间 工作量 工作效率 工作效率 工作量 工作时间 其次注意当题目与工作量大 小 多少无关时 通常用 1 表示总工作量 变式 小明家准备装修一套新住房 若甲 乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱
14、5 2 万元 若甲公 司单独做4 周后 剩下的由乙公司来做 还需9 周完成 需工钱4 8 万元 若只选一个公司单独完成 从 节约开支的角度考虑 小明家应选甲公司还是乙公司 请你说明理由 类型五 列二元一次方程组解决 生产中的配套问题 三 配套问题 例 3 某厂共有120 名生产工人 每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母20 个 如果一个螺栓与两个 学习资料 精品文档 螺母配成一套 那么每天安排多名工人生产螺栓 多少名工人生产螺母 才能使每天生产出来的产品配成 最多套 分析 要使生产出来的产品配成最多套 只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套 根据题意 每天生 产的螺栓与螺母应满足关系式 每天生产的
15、螺栓数 2 每天生产的螺母数 1 因此 设安排 人生产螺栓 人生产螺母 则每天可生产螺栓25 个 螺母20 个 依题意 得 120 502201 xy xy 解之 得 20 100 x y 故应安排20 人生产螺栓 100 人生产螺母 点评 产品配套是工厂生产中基本原则之一 如何分配生产力 使生产出来的产品恰好配套成为主管 生产人员常见的问题 解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系 其中两种最常见的配套问 题的等量关系是 1 二合一 问题 如果 件甲产品和 件乙产品配成一套 那么甲产品数的 倍等于乙产品数的 倍 即 ab 甲产品数乙产品数 2 三合一 问题 如果甲产品 件 乙产品 件
16、 丙产品 件配成一套 那么各种产品数应满足 的相等关系式是 abc 甲产品数乙产品数丙产品数 5 某服装厂生产一批某种款式的秋装 已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖5 只 现计划 用 132 米这种布料生产这批秋装 不考虑布料的损耗 应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配 套 思路点拨 本题的第一个相等关系比较容易得出 衣身 衣袖所用布料的和为132 米 第二个相等关 系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的 即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍 注意 别把2倍的关 系写反了 解 设用米布料做衣身 用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套 根据题意 得 答 用 60 米布料做衣身 用72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套 总结升华 生产中的配套问题很多 如螺钉和螺母的配套 盒身与盒底的配套 桌面与桌腿的配套 学习资料 精品文档 衣身与衣袖的配套等 各种配套都有数量比例 依次设未知数 用未知数可把它们之间的数量关系表示出 来 从而得到方程组 使问题得以解决 确定等量关系是解题的关键 变式 1 现有 190 张铁皮做盒子 每张铁皮做8 个盒身或22 个盒底 一个盒身与两
