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1、学习资料 精品文档 一 二次函数常考点汇总 1 两点间的距离公式 22 BABA xxyyAB 2 中点坐标 线段AB的中点C的坐标为 22 BABA yyxx 直线 11 bxky 0 1 k 与 22 bxky 0 2 k 的位置关系 1 两直线平行 21 kk且 21 bb 2 两直线相交 21 kk 3 两直线重合 21 kk且 21 bb 4 两直线垂直1 21k k 3 一元二次方程有整数根问题 解题步骤如下 用和参数的其他要求确定参数的取值范围 解方程 求出方程的根 两种形式 分式 二次根式 分析求解 若是分式 分母是分子的因数 若是二次根式 被开方式是完全平方式 例 关于x的一
2、元二次方程012 22 mxmx有两个整数根 5 m且m为整数 求m的值 4 二次函数与x轴的交点为整数点问题 方法同上 例 若抛物线313 2 xmmxy与x轴交于两个不同的整数点 且m为正整数 试确定 此抛物线的解析式 5 方程总有固定根问题 可以通过解方程的方法求出该固定根 举例如下 已知关于x的方程 2 3 1 230mxmxm m为实数 求证 无论m为何值 方程总 有一个固定的根 解 当0m时 1x 当0m时 03 2 m m m x 2 13 m x 3 2 1 1 2 x 综上所述 无论m为何值 方程总有一个固定的根是1 6 函数过固定点问题 举例如下 已知抛物线2 2 mmxx
3、y m是常数 求证 不论m为何值 该抛物线总经过一个固 定的点 并求出固定点的坐标 解 把原解析式变形为关于m的方程xmxy12 2 01 02 2 x xy 解得 1 1 x y 抛物线总经过一个固定的点 1 1 题目要求等价于 关于m的方程xmxy12 2 不论m为何值 方程恒成立 学习资料 精品文档 小结 关于 x的方程 bax 有无数解 0 0 b a 7 路径最值问题 待定的点所在的直线就是对称轴 1 如图 直线 1 l 2 l 点A在 2 l上 分别在 1 l 2 l上确定两点M N 使得MNAM之 和最小 2 如图 直线 1 l 2 l相交 两个固定点A B 分别在 1 l 2
4、l上确定两点M N 使得 ANMNBM之和最小 3 如图 BA 是直线l同旁的两个定点 线段a 在直线l上确定两点E F E在F的 左侧 使得四边形AEFB的周长最小 8 在平面直角坐标系中求面积的方法 直接用公式 割补法 三角形的面积求解常用方法 如右图 S PAB 1 2 PM x 1 2 AN y 9 函数的交点问题 二次函数 cbxaxy 2 与一次函数 hkxy 1 解方程组 hkxy cbxaxy 2 可求出两个图象交点的坐标 2 解方程组 hkxy cbxaxy 2 即0 2 hcxkbax 通过可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点0 学习资料 精品文档 仅有一个交点0 没有
5、交点0 10 方程法 1 设 设主动点的坐标或基本线段的长度 2 表示 用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 3 列方程或关系式 11 几何分析法 特别是构造 平行四边形 梯形 相似三角形 直角三角形 等腰三角形 等图形时 利用几何分析法能给解题带来方便 几何要求几何分析涉及公式应用图形 跟平行有关的 图形 平移 2121 kkll 21 21 xx yy k 平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的 图形 勾股定理逆定理 利用相似 全等 平 行 对顶角 互余 互补等 22 BABA xxyyAB 直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的 图形 利用几何中的全等 中垂线的性质等 22 BABA
6、xxyyAB 等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图 形 利用相似 全等 平 行 对顶角 互余 互补等 例题精讲 一 基础构图 y 32 2 xx 以下几种分类的函数解析式就是这个 和最小 差最大 1 在对称轴上找一点P 使得 PB PC 的和最小 求出P 点坐标 2 在对称轴上找一点P 使得 PB PC 的差最大 求出P 点坐标 求面积最大 连接 AC 在第四象限找一点P 使得ACP面积最大 求出P 坐标 讨论直角三角连接 AC 在对称轴上找一点P 使得 ACP为直角三角形 求出 P 坐标或者在抛物线上求点P 使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 O x y A B C D O x
7、 y A B C D O x y A B C D 学习资料 精品文档 讨论等腰三角连接 AC 在对称轴上找一点P 使得ACP为等腰三角形 求出 P 坐标 讨论平行四边形1 点 E 在抛物线的对称轴上 点 F 在抛物线上 且以 B A F E 四点为顶点的四边形为平行四边形 求点F 的坐标 二 综合题型 例 1 中考变式 如图 抛物线cbxxy 2 与 x 轴交与 A 1 0 B 3 0 两点 顶点为D 交 Y轴于 C 1 求该抛物线的解析式与 ABC 的面积 2 在抛物线第二象限图象上是否存在一点M 使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若没有 请说明理由
8、3 若 E 为抛物线B C 两点间图象上的一个动点 不与 A B 重合 过 E 作 EF与X轴垂直 交 BC 于 F 设 E 点横坐标为x EF 的长度为 L 求 L 关于 X 的函数关系式 关写出X 的取值范围 当 E 点运动到什么位置时 线段EF 的值最大 并求此时E 点的坐标 4 在 5 的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 当 E 点运动到什么位置时 以点 E F H D 为顶点的四边形为平行四边形 5 在 5 的情况下点E 运动到什么位置时 使三角形BCE 的面积最大 O x y A B C D 学习资料 精品文档 例 2 考点 关于面积最值 如图 在平面直角坐标系中 点A C
9、 的坐标分别为 1 0 0 3 点 B 在 x 轴上 已知某 二次函数的图象经过A B C 三点 且它的对称轴为直线x 1 点 P 为直线 BC 下方的二次函数图 象上的一个动点 点P 与 B C 不重合 过点 P 作 y 轴的平行线交BC 于点 F 1 求该二次函数的解析式 2 若设点P 的横坐标为m 试用含m 的代数式表示线段PF 的长 3 求 PBC 面积的最大值 并求此时点P 的坐标 例 3 考点 讨论等腰 如图 已知抛物线y 2 1 x 2 bx c 与 y 轴相交于 C 与 x 轴相交于A B 点 A 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是
10、线段 AC 上一动点 过点E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积最大时 求 点 D 的坐标 3 在直线BC 上是否存在一点P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点P 的坐标 若不存在 说明理由 例 4考点 讨论直角三角 如图 已知点A 一 1 0 和点 B 1 2 在坐标轴上 D B C O A y x E B C O A 备用图 y x y x B A F P x 1 C O 学习资料 精品文档 确定点 P 使得 ABP为直角三角形 则满足这样条件的点P共有 A 2个 B 4个 C 6个 D 7个 已知 如图一次函数y 2 1 x 1 的图象与x 轴交于点A 与 y
11、轴交于点B 二次函数y 2 1 x 2 bx c 的图象与一次函数y 2 1 x 1 的图象交于B C 两点 与 x 轴交于 D E 两点且 D 点坐标为 1 0 1 求二次函数的解析式 2 求四边形BDEC 的面积 S 3 在 x 轴上是否存在点P 使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形 若存在 求出所有的点 P 若不存在 请说明理由 例 5 考点 讨论四边形 已知 如图所示 关于x 的抛物线y ax 2 x c a 0 与 x 轴交于点 A 2 0 点 B 6 0 与 y 轴交于点 C 1 求出此抛物线的解析式 并写出顶点坐标 2 在抛物线上有一点D 使四边形ABDC 为等腰梯形
12、写出点D 的坐标 并求出直线AD 的 解析式 3 在 2 中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M 抛物线上有一动点P x 轴上有一动点Q 是 否存在以A M P Q 为顶点的平行四边形 如果存在 请直接写出点Q 的坐标 如果不 存在 请说明理由 O A B y C x D E 2 B A y O C x 学习资料 精品文档 综合练习 1 平面直角坐标系xOy 中 抛物线 2 44yaxaxac与 x 轴交于点 A 点 B 与 y 轴的正半轴 交于点 C 点A 的坐标为 1 0 OB OC 抛物线的顶点为D 1 求此抛物线的解析式 2 若此抛物线的对称轴上的点P 满足 APB ACB 求点P的坐标
13、 3 Q 为线段 BD 上一点 点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为A 若2QBQA 求点 Q 的 坐标和此时 QAA的面积 2 在平面直角坐标系xOy中 已知二次函数 2 2yaxaxc的图像与y轴交于点30 C 与x 轴交于 A B 两点 点B 的坐标为03 1 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标 2 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点 若直线OM 把四边形 ACDB 分成面积为1 2 的 两部分 求出此时点M的坐标 3 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点 问 点P 在何处时 CPB的面积最大 最大面积 是多少 并求出此时点P 的坐标 3 如图 在平面直角坐标系xOy中 抛物线xx
14、 m y2 2 2 与x轴负半轴交于点A 顶点为B 且对称轴与x轴交于点C 1 求点B的坐标 用含m的代数式表示 2 D为OB中点 直线 AD交y轴于E 若E 0 2 求抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 点 M 在直线OB上 且使得 AMC的周长最小 P在抛物线上 Q在直 线BC上 若以QPMA 为顶点的四边形是平行四边形 求点P的坐标 学习资料 精品文档 4 已知关于x的方程 2 1 4 30m xm x 1 若方程有两个不相等的实数根 求m的取值范围 2 若正整数m满足822m 设二次函数 2 1 4 3ym xm x的图象与x轴交于 AB 两点 将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折
15、 图象的其余部分保持不变 得到一 个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时 求出k的值 只需要求出两个满足题意的k 值即可 5 如图 抛物线y ax 2 2ax c a 0 与 y 轴交于点 C 0 4 与 x 轴交于点A 4 0 和 B 1 求该抛物线的解析式 2 点 Q 是线段 AB 上的动点 过点Q 作 QE AC 交 BC 于点 E 连接 CQ 当 CEQ 的面积最大时 求点Q 的坐标 3 平行于 x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P 与直线 AC 交于点 F 点 D 的坐标为 2 0 问是否有直线l 使 ODF 是等腰三角形 若存在 请求出点F
16、的坐标 若不存在 请说明理由 三 中考二次函数代数型综合题 题型一 抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧 例 1 已知二次函数y x 2 m 1 x m 2 的图象与x轴相交于A x1 0 B x2 0 两点 且 x1 x2 1 若x1x2 0 且m为正整数 求该二次函数的表达式 2 若x1 1 x2 1 求m的取值范围 3 是否存在实数m 使得过A B两点的圆与y轴相切于点C 0 2 若存在 求出m的值 若 不存在 请说明理由 学习资料 精品文档 4 若过点D 0 1 2 的直线与 1 中的二次函数图象相交于M N两点 且 MD DN 1 3 求该直 线的表达式 题型二 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题 例 2 已知二次函数y x 2 mx m 5 1 求证 不论m取何值时 抛物线总与x 轴有两个交点 2 求当 m取何值时 抛物线与x 轴两交点之间的距离最短 题型三 抛物线方程的整数解问题 例1 已知抛物线 22 2 1 0yxmxm与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数 且m 5 则 整数 m的值为 例 2 已知二次函数y x 2 2mx 4m 8 1 当 x 2 时 函数值
