《最新北师大版八级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题复习课程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新北师大版八级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题复习课程.pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习资料 精品文档 1等腰三角形 知识点 1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 简述为等边对等角 用符号语言表示为 如图1 1 所示 在 ABC 中 AB AC B C 定理的证明 取 BC 的中点 D 连接 AD ABAC BDCD ADAD 已知 中点定 义 公共 边 ABD ACD SSS B C 全等三角形的对应角相等 定理的作用 证明同一个三角形中的两个内角相等 拓展等腰三角形还具有其他性质 1 等腰直角三角形的两个底角相等 都等于45 2 等腰三角形的底角只能是锐角 不能是钝角或直角 但顶角可以是锐角 钝角或直角 3 等腰三角形的三边关系 设腰长
2、为a 底边长为b 则 2 b a 4 等腰三角形的三角关系 设顶角为 A 底角为 B C 则 A 180 B C 180 2 B 180 2 C 知识点 2 等腰三角形的性质定理的推论 推论 1 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称 三线合一 1 用符号语言表示为 如图1 3 所示 在 ABC 中 AB AC 1 2 AD BC BD DC 在 ABC 中 AB AC AD BC 1 2 BD DC 在 ABC 中 AB AC BD DC 1 2 AD BC 2 推论 1 的证明 在 ABC 中 AB AC 1 2 AD AD ABD ACD SAS BD DC AD
3、B ADC 90 AD BC 在 ABC 中 AD BC ADB ADC 90 学习资料 精品文档 AB AC B C 又 AD AD Rt ADB Rt ADC AAS 1 2 BD CD 在 ABC 中 AB AC AD AD BD CD ABD ACD SSS 1 2 ADB ADC 90 AD BC 3 推论 1 的作用 证明角相等 线段相等或垂直 推论 2 等边三角形的三个角都相等 并且每个角都等于60 1 用符号语言表示为 如图1 4 所示 在 ABC 中 AB BC AC A B C 60 2 推论 2 的证明 AB AC B C AB BC A C A B C 又 A B C
4、180 即 3 A 180 A B C 60 知识点 3 等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简述为等角对等边 用符号语言表示为 如图1 6 所示 在 ABC 中 B C AB AC 判定定理的证明 如图1 6 所示 过 A 作 AD BC 于 D 则 ADB ADC 90 B C AD AD ABD ACD AAS AB AC 判定定理的作用 证明同一个三角形中的边相等 拓展如图 1 6 所示 在 ABC 中 学习资料 精品文档 1 如果 AD BC 1 2 那么 AB AC 2 如果 AD BC BD DC 那么 AB AC 3 如果 1 2 BD
5、 DC 那么 AB AC 知识点 4 等腰三角形的判定定理的推论 推论 1 1 推论 1 的内容 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形 2 用符号语言表示为 如图 1 8 所示 在 ABC 中 AB AC A 60 或 B 60 或 C 60 AB AC BC 3 推论 1 的证明 在 ABC 中 AB AC B C 又 A 60 B C 0 180 2 A 60 AB AC BC 或 B 60 A 180 2 B 60 AB AC BC 或 C 60 A 180 2 C 60 AB AC BC 推论 2 1 推论 2 的内容 三个角都相等的三角形是等边三角形 2 用符号语言表示为 如图
6、1 8 所示 在 ABC 中 A B C AB AC BC 3 推论 2 的证明 在 ABC 中 A B BC AC 等角对等边 又 B C AB AC 等角对等边 AB AC BC 4 推论 1 和推论 2 的作用 证明一个三角形是等边三角形 拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法 1 根据等边三角形的定义 证明三条边相等 2 根据推论1 证明两条边相等 有一个角是60 3 根据推论2 证明三个角都相等 推论 3 1 推论 3 的内容 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 学习资料 精品文档 2 用符号语言表示为 如图1 9 所示 在 Rt ABC
7、 中 C 90 A 30 BC 2 1 AB 3 推论 3 的作用 证明一条线段是另一条线段的一半或2 倍 知识点 5 反证法 先假设命题的结论不成立 然后从假设出发 推导出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结 果 从而否定假设 证明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法 拓展反证法是一种常用的间接证明方法 用反证法的一般步骤是 1 假设命题不成立 2 从假设出发推导出矛盾 3 否定假设 从而肯定命题的结论 规律方法小结 1 转化思想 在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中 都是通过构造全等三角形 转化为 全等得以证明的 2 类比思想 采用类比思想 把等腰三角形的性质和判定对照
8、着学习 3 用反证法进行证明时 注意推理的规范性和逻辑的严密性 不能忽略任何一种可能的情况 探究交流 想一想 还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗 解析有 作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD 如图 1 2 所示 21 公共边 角平分线定义 已知 ADAD ACAB ABD ACD SAS B C 全等三角形的对应角相等 课堂检测 1 如图 1 10 所示 在 ABC 中 AB AC AD 3 2 AC AE 3 2 AB 求证 BD CE 学习资料 精品文档 2 如图 1 12 所示 已知点D E 在 ABC 的边 BC 上 AB AC AD AE 求证 BD CE 3 如图 1 13 所
9、示 已知 CAE 是 ABC 的一个外角 1 2 AD BC 求证 ABC 是等腰三角形 4 下面是数学课堂的一个学习片段 阅读后 回答问题 学习等腰三角形的有关内容后 张老师请同学们交流讨论这样一个问题 已知等腰三角形ABC 的 A 等于 30 求其余两角 同学们经过片刻的思考与交流后 李明同学举手说 其余两角是30 和 120 王华同学说 其余 两角是 75 和 75 还有一些同学也提出了不同的看法 假如你也在课堂上 你的意见如何 为什么 5 已知等边三角形ABC 和点 P 设点 P 到 ABC 三边 AB AC BC 的距离分别是h1 h2 h3 ABC 的高为 h 若点 P 在边 BC
10、 上 如图1 17 1 所示 此时h3 0 可得结论 h1 h2 h3 h 请直接应用上述信息解决下列问题 点 P 在 ABC 内 如图1 17 2 所示 点 P 在 ABC 外 如图 1 17 3 所示 这两种情况时 上述结 论是否还成立 若成立 请给出证明 若不成立 h1 h2 h3与 h 之间又有怎样的关系 请写出你的猜想 不 需证明 学习资料 精品文档 体验中考 1 已知等腰三角形ABC 的周长为10 若设腰长为x 则 x 的取值范围是 2 如图 1 20 所示 在 ABC 和 DEF 中 AB DE BE CF B 1 求证 AC DF 要求 写 出证明过程中的重要依据 2 直角三角
11、形 知识概览图 知识点 1 勾股定理及其逆定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 即c2 a2 b2 c 为斜边长 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的两边求第三边 2 已知直角三角形的一条边 求另外两条边的数量关系 3 用于证明平方关系的问题 4 利用勾股定理作出长为n 的线段 勾股定理的各种表达形式 勾股定理 a2 b2 c2 a b 为直角边长 c 为斜边长 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这 个三角形是直角三角形 互逆命题与互逆定理 直角三角形全等的判定 斜边 直角边定理 直角三角形 学习资料 精品文档 在 Rt ABC 中 C 90
12、A B C 的对边长分别为a b c 则 a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 a 2 b2 c 22 ba a 22 bc b 22 ac 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角 三角形 勾股定理的逆定理的作用 判定某一三角形是否是直角三角形 勾股定理是直角三角形的性质定理 而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理 直角三角形的判定 1 首先确定最大边 如 c 2 验证 c2与 a2 b2是否具有相等关系 若 c2 a2 b2 则 ABC 是直角三角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 不是直角三角形 勾股数 1 能够成为直角三角形三边长的三个正整
13、数 称为勾股数或勾股弦数 2 勾股数必须是正整数 如3 4 5 5 12 13 等 拓展应用勾股定理时 必须是在同一直角三角形中 应用勾股定理的逆定理判定一个三 角形是直角三角形时 一定是最长边所对的角是直角 其他两边所对的角是锐角 知识点 2 互逆命题与互逆定理 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个 命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 拓展每个命题都有逆命题 原命题是真命题 而它的逆命题不一定是真命题 原命题和 逆命题的真假性一般有四种情况 真 假 真 真 假 假 假 真 学习资料 精品文档 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那
14、么它也是一个定理 这两个定理称为互逆定 理 其中一个定理称为另一个定理的逆定理 拓展每个命题都有逆命题 但不是所有的定理都有逆定理 知识点 3 直角三角形全等的判定定理 直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定 理可以简单地用 斜边 直角边 或 HL 表示 定理的作用 判定两个直角三角形全等 定理的证明 如图1 30 所示 已知 Rt ABC Rt A B C C C 90 AB A B AC A C 求证 Rt ABC Rt A B C 证明 在 ABC 和 A B C 中 C C 90 BC 22 ACAB B C 22 CABA AB A B AC
15、A C BC B C Rt ABC Rt A B C SSS 知识拓展 HL 是直角三角形所独有的判定定理 对于一般三角形不成立 判定两个 直角三角形全等时 这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件 只需找出另外两个条件即 可 而这两个条件中必须有一个是边对应相等 与一般三角形全等一样 只有三个角相等的两 个直角三角形不一定全等 课堂检测 1 写出命题 同位角相等 两直线平行 的逆命题 并判断真假 学习资料 精品文档 2 如图 1 31 所示 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 50 BC 30 CD AB 于点 D 求 CD 的长 3 在正方形 ABCD 中 如图 1 32 所示 F
16、为 DC 的中点 E 为 BC 上一点 且 EC 4 1 BC 求证 EFA 90 4 试判断三边长分别为2n2 2n 2n 1 2n2 2n 1 n 0 的三角形是否是直角三角形 5 如图 1 38 所示 一艘货轮向正北方向航行 在点A 处测得 MAD 30 货轮以每 小时 20 海里的速度航行 1 小时后到达 B 处 测得 MBD 45 该货轮到达灯塔M 的正东 方向的 D 处时 货轮与灯塔M 的距离是多少 精确到 0 1 海里 3 1 732 体验中考 学习资料 精品文档 1 如图 1 41所示 在 ABC 中 AB AC AD 是底边上的高 若AB 5 cm BC 6 cm 求 AD 的长度 2 如图 1 45 所示 在直角梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 DE AC 于点 F 交 BC 于点 G 交 AB 的延长线于点 E 且 AE AC 1 求证 BG FG 2 若 AD DC 2 求 AB 的长
