风险管理第二章风险度量

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1、1 第二章风险度量 主要内容 风险的度量 基于定义的理解基于概率论的风险度量基于效用论的风险度量金融风险的测度 2 3 2 1风险的度量 基于定义的理解 风险是损失发生的可能性1 主体2 损失3 可能性风险 损失 可能性风险 F 概率 损失 如何对风险进行度量 4 风险概率 损失频率 是表示风险发生的可能性大小 具体可以指一定时期内 一定数目的风险单位可能 或实际 发生损失的数量次数 通常以分数或百分率来表示 用于度量事件是否经常发生 风险后果 损失程度 是指风险事件发生对目标产生的影响 通常用一次风险事故发生造成的损失规模大小或金额多少来表示 通常情况下 发生损失的频率和损失程度成反比关系

2、使用风险概率和风险后果来分析风险 可以帮助我们甄别出那些需要强有力地控制与管理的风险为什么用两个变量 风险概率和风险后果 而不是一个变量 风险值 来度量风险 度量风险的指标 5 最大伤害事故 小伤害事故 无伤害事故 工业伤害事故频率与损失程度之间关系的HEINRICH三角图 1次 300次 29次 2 2用概率论来度量风险 用 钱 的数量直接来度量 7 一 风险型经济结果的度量1 均值 Mean 均值是最常用的平均数 观察值的总和除以观察值的个数只要观察数据中的任何一个值改变 均值也会相应改变 而众数 中位数一般没有这个特点 2 众数 Mode 出现次数最多的那个数的取值众数的计算简单 更适合

3、描述分类变量众数丢失了原始数据中比较多的信息 100个学生中有51个女生 性别变量的众数为女生100个学生中有99个女生 性别变量的众数为女生 8 3 中位数 Median 把一个变量的一组观察数据从小到大排序 排在中间位置的那个数的数值称为这个变量的中位数 中位数的优点是对于极端值不敏感4 分位数假定有100个数据 按从小到大排序 则最小的数据称为 第一个百分位数 次小的数据称为 第二个百分位数 中位数就是第五十个百分位数 9 二 风险的定量表示1 标准差 standarddeviation 标准差反映了数据到均值的一种平均距离标准差的平方称为 方差 2 平均绝对方差 10 3 半方差风险的

4、方差度量存在着一定缺陷 如对正离差和负离差的平等处理有违投资者对风险的真实心理感受 用半方差定义风险显然更符合现实 因为投资者只把下降部分的价格波动 即价格下跌认为是风险 Semivar E min 0 R E R 2 4 风险度即在特定的客观条件下 特定的时间内 的均方误差与预测损失的数学期望之比 它表示风险损失的相实际损失与预测损失之间对变异程度 即不可预测程度 的一个无量纲 或以百分比表示 的量 11 2 3用效用论来衡量风险规避程度 用 钱 的函数来度量 12 钱的数学期望是用来做决策的合适方法吗 一元钱对一个富翁和乞丐的意义是不同的 13 Riskisintheeyeofthebeh

5、older Riskisintangibleandwillbeseendifferentlybydifferentpeople Thefactorsthatwillinfluencepeople sperceptionsofriskinclude Experience Knowledge Culture Position FinancialstatusAbilitytoinfluencetheoutcomeAsymmetry putmoreweightontheimpactofalossthanonthebenefitfromagain Complacency 自信或过于自信 自我感觉不错 I

6、nadequatetimehorizons距离损失发生的时间越近 对损失的感受越大 14 圣彼得堡悖论 问题 传说当时在圣彼得堡街头流行着一种赌博 规则是由参加者先付一定数目钱 比如100卢布 然后掷分币 当第一次出现人像面朝上时一局赌博终止 如果到第n次才出现了人像朝上 参加者收回2n个卢布 n 1 2 3 决策人面临的问题是究竟参不参加赌 从数学期望来看 似乎只花100卢布就可以赢得 平均来说 无穷多卢布 参加赌是绝对合算的 可是实际情况与此相反 总是掷不了几次就结束 极少有收回100卢布以上的情况 15 圣彼得堡悖论 1738年发表 对机遇性赌博的分析 提出解决 圣彼得堡悖论 的 风险度

7、量新理论 指出用 钱的数学期望 来作为决策函数不妥 应该用 钱的函数的数学期望 DanielBernoulli 1700 1782 16 期望效用函数 1944年在巨著 对策论与经济行为 中用数学公理化方法提出期望效用函数 这是经济学中首次严格定义风险 JohnvonNeumann 1903 1957 OskarMorgenstern 1902 1977 17 一 效用函数 效用依赖于各种可能状态下的结果以及这些结果出现的概率 假设只有两种状态I和II 相应结果分别记为c1 c2 各结果出现的概率分别记为 1 2 那么 效用函数的一般形式为U f c1 c2 1 2 效用函数可以取不同具体形式

8、 如 U f c1 c2 1 2 1c1 2c2 U c1 c21 Cobb Douglas效用函数 U 1lnc1 2lnc2 18 二 期望效用 期望效用 expectedutility 是各状态下结果的效用的数学期望 即各状态下结果的效用以概率为权重的加权平均 U 1u c1 2u c2 这一效用函数也称纽曼 摩根斯顿 vonNeumann Morgenstern 效用函数 19 如果对于每一个单赌 效用函数u gs 有则称u gs 是关于单赌gs的期望效用函数 即VNM效用函数 20 三 风险态度 有些人为可能发生的意外购买保险 减少风险 有些人则购买彩票 增加风险 这些行为表现出人们

9、不同的风险态度 买彩票案例 21 购买彩票使你以0 5的概率拥有 5 以0 5的概率拥有 15 即c1 5 c2 15 1 0 5 2 0 5 不购买彩票 你无风险地拥有 10 一张彩票的期望价值 0 5 5 0 5 15 10 这是说 如果试验次数足够大的话 购买彩票的平均结果是 10 但是 假如只有一次试验机会 你选择什么呢 10的效用与期望价值为 10美元的彩票的期望效用相比如何呢 如果你认为 10美元的效用更大 即 10的效用 彩票的期望效用0 5 v 5 0 5 v 15 即期望值的效用 期望效用那么 你是一个风险回避者 也就是说 在平均结果相同的资产中 你选择价值稳定者 22 0

10、5 15 10 V 5 V 15 期望值的效用 期望效用 效用函数 财富 风险回避者 期望值的效用 期望效用 凹函数 风险规避者 期望值 23 厌恶风险 规避 型 保守型 厌恶风险的表现 Payextratoreducerisk buyinsuranceeventhoughpremiumexceedsexpectedclaimcosts Requirehigherexpectedreturnstotakeonmorerisk demandhigherexpectedreturnsonriskierstocks 厌恶风险 规避 者的财富效用函数曲线是向下凹的 意味着随着财富的增加 财富带来的边际

11、效益在递减 风险规避型的人重视风险的损失性 宁愿付出较高的代价来进行风险的转移 Riskpersehasanegativevalueforriskaverse 24 0 5 15 10 V 5 V 15 期望值的效用 期望效用 效用函数 财富 风险爱好者 期望值的效用 期望效用 期望值 25 0 5 15 10 V 5 V 15 期望值的效用 期望效用 效用函数 财富 风险中立者 期望值的效用 期望效用 期望值 26 四 风险规避程度的度量 在面临相同的风险时 不同风险规避型经济主体 为了避免风险愿意放弃的财富数量也是不同的 一 风险的Markowitz度量1 风险价格表示一个赌局 其两个结果

12、为a和b 为a出现的概率对这个经济主体而言 确定性的结果D与该赌局无差异 D称为确定性等效结果 风险性结果的期望值与确定性等效结果之差称为Markowitz的风险价格 即Pm E G D 27 b a E G D 28 风险价格例子一经济主体具有对数型的效用函数 即U W ln W 现在面临一个风险性经济机会 单位为万元 求风险价格 愿意放弃的量 解 先求出风险性经济机会的期望效用 U G 0 2 U 30 0 8 U 5 0 2 ln30 0 8 ln5 1 97U G U D 其中D为确定性等效结果则U D lnD 1 97 即D 7 17万元而E G 0 2 30 0 8 5 10万元则

13、风险价格Pm E G D 10 7 17 2 83万元则为了避免风险 风险规避型经济主体愿意放弃的最大财富数量就是2 83万元 29 2 加入初始财富后的风险价格假设经济主体目前的财富水平为W0 面临一个赌局 其两个结果为a和b 为a出现的概率则参加这个赌局后经济主体的财富水平为 其期望值为 令对参加这个赌局之后 消费者的效用变为了U D1 30 例子一经济主体具有对数型的效用函数 即U W ln W 其目前财富水平为10万元 现在面临一个风险性经济机会G 100 10 0 9 单位为万元 求赌局代价解 如果接受赌局 经济主体以0 9的可能财富变为110 0 1的可能财富变为20 其期望效用为

14、U G 0 9 U 110 0 1 U 20 0 9 ln110 0 1 ln20 4 53U G U D 其中D为确定性等效结果则D 92 76万元而E G 0 9 110 0 1 20 101万元则风险价格Pm E G D 101 92 76 8 24万元 31 二 Arrow Pratt风险规避度量 Arrow 1965 和Pratt 1964 提出 定义 给定一个 二次可微的 关于货币的伯努利效用函数 x处的Arrow Pratt绝对风险规避 absoluteriskaverse 系数定义为ARA 原因 风险中性等价于u 是线性的 即对于所有的x 即风险规避的程度与曲率是相关的 风险规

15、避程度的比较归结为函数u的凸性的比较 32 rA w 0 风险厌恶 凹函数 rA w 0 风险中性 线性函数 rA w 0 风险爱好 凸函数 2 4金融风险的测度 33 风险测度或风险度量 measurement 为什么要测度风险 从金融学角度而言 定价 投资学 保险学 无套利 流通类比 风险之于风险度量指标商品之于货币统一化的度量指标 构造一种共同的 语言 一种 交换媒介 概率与损失风险度量 Why Whymeasuresrisk Pre Markowitz expectedreturn portfolioselection mean variance Investmentswiththes

16、ameexpectedreturn weallalsoneeddiversification Variancedon tmeasurerisk Twoinvestments Ex1 2000 Ex2 2000 variance 2000 Variancesarethesame butintuitivelyrisksaredifferent 风险测度 measurement 风险测度 把一个代表风险的随机变量转化成一个实际值的过程 即 建立规则 假设X表示随机风险 为风险测度函数 r为风险测度值 则风险测度过程可以表示为 r X 定义 若 为一个样本空间 X R为代表一个投资在某阶段内的损失的随机变量 那么考虑一个概率空间 P 并令所有的风险X构成一个集合X 则函数 X R就是一个风险测度 风险度量的种类 VaRCoherentmeasuresofrisk 一致性风险度量 CVaRExpectedShortfallDistortionRiskmeasure VaR 在正常市场条件下和一定概率水平 置信度 下 某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失 设G是一项投资收益的现