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1、第25章 解直角三角形225.1 测量325.2 锐角三角函数41.锐角三角函数42用计算器求锐角三角函数值725.3 解直角三角形9阅读材料13小结14复习题15课题学习18第25章解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题25.1 测量当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题如图2511，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利
2、用相似三角形的知识试一试如图2512所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角BAC为34，并已知目高AD为1.5米现在若按1500的比例将ABC画在纸上，并记为ABC，用刻度直尺量出纸上BC的长度，便可以算出旗杆的实际高度你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图2512（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容练习1小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，
3、发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度2请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度习题2511如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部300米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40，目高15米试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度（精确到01米）2在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度25.2 锐角三角函数1.锐角三
4、角函数在251中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即ABCABC按的比例，就一定有，就是它们的相似比当然也有我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为RtABC，直角C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为A的对边与邻边，用a、b表示（如图2521）前面的结论告诉我们，在RtABC中，只要一个锐角的大小不变（如A34），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值思考一般情况下，在RtABC中，当锐角A取其他固定值时，A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？观察图2522中的Rt、Rt和Rt，易知RtRt_Rt_，所
5、以_可见，在RtABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即sinA，cosA，tanA，cotA分别叫做锐角A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A的三角函数显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0sinA1，0cosA1根据三角函数的定义，我们还可得出1，tanAcotA1例1求出图2523所示的RtABC中A的四个三角函数值解，sinA，cosA，tanA，cotA探索根据三角函数的定义，
6、sin30是一个常数用刻度尺量出你所用的含30角的三角尺中，30角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30是多少通过计算，我们可以得出sin30，即斜边等于对边的2倍因此我们可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半思考上述结论还可通过逻辑推理得到如图2524，RtABC中，C90，A30，作BCD60，点D位于斜边AB上，容易证明BCD是正三角形，DAC是等腰三角形，从而得出上述结论做一做在RtABC中，C90，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列A的四个三角函数值：（1）A30；（2）A60；（3）
7、A45为了便于记忆，我们把30、45、60角的三角函数值列表如下： sincostancot30451160练习1如图，在RtMNP中，N90P的对边是_，P的邻边是_；M的对边是_，M的邻边是_2求出如图所示的RtDEC（E90）中D的四个三角函数值3设RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求B的四个三角函数值：（1）a3，b4；（2）a5，c134求值：2cos602sin304tan452用计算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角（1）求已知锐角的三角函数值例2求sin635241的值（精确到000
8、01）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：D3MODESHIFT(SETUP)显示再按下列顺序依次按键：=o”41o”52o”63sin显示结果为0897859012所以sin63524108979D例3求cot7045的值（精确到00001）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列顺序依次按键：=o”45o”70tan1显示结果为03492156334所以cot704503492（2）由锐角三角函数值求锐角例4已知tanx07410，求锐角x（精确到1）D解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列顺序依次按键：=01470tanSHIFT()显示结果为365384
9、4577再按键：o”SHIFT显示结果为所以x3632例5已知cotx01950，求锐角x（精确到1）分析根据，可以求出tanx的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值练习1使用计算器求下列三角函数值（精确到00001）sin24，cos514220，tan7021，cot702已知下列锐角的各三角函数值，使用计算器求锐角（精确到1）（1）sin02476；（2）cos04174；（3）tan01890；（4）cot13773习题2521在RtABC中，C90，已知AC21，AB29，分别求A、B的四个三角函数值2在RtABC中，C90，BCAC34，求A的四个三角函数值3求下列各式的值（
10、1）sin3060；（2）4用计算器求下式的值（精确到00001）sin813217cos3843475已知cotA31748，利用计算器求锐角A（精确到1）25.3 解直角三角形我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具例1如图2531所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处大树在折断之前高多少？解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为，261036（米）所以，大树在折断之前高为36米在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程
11、，叫做解直角三角形例2如图2532，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）解在RtABC中，CAB90DAC50，tanCAB，BCABtanCAB2000tan502384（米）cos50，AC3111（米）答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，角度精确到1解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角练习1在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这
12、条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2海船以326海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离（画出图形后计算，精确到01海里）读一读如图2533，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角例3如图2534，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆227米的D处，用高120米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角22，求电线杆AB的高（精确到01米）解在RtACE中，AECEtanDBtan 227tan22 917，AB BEAEAECD917120104（米）答：电线杆的高度约为104米练习1如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角1631，求飞机A到控制点B的距离（精确到1米）2两座建筑AB与CD，其地面距离AC为504米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角25，测得其底部C的俯角50，求两座建筑物AB与CD
