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1、三角函数的最值 一 高考要求 1 能利用三角函数的定义域 值域 单调性和它们的图象等 求三角函数的最大值和最小值 2 能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值 3 会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决 最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一 需要综合运用三角函数概念 图象 性质以及诱导公式 同角三角函数基本关系式 三角变换等 也是函数内容的交汇点 常见方法有 1 涉及正 余弦函数以及asin bcos 可考虑利用三角函数的有界性 二 重点解析 三 知识要点 2 形如y asin2x bsinx c或y acos2x bsinx c的函数可通过适当变换 配方求解
2、 3 形如sinx cosx sinxcosx在关系式中时 可考虑换元法处理 常见的三角换元 1 若x2 y2 1 可设x cos y sin 2 若a x2 y2 b 可设x rcos y rsin a r2 b 6 对于x y z xyz 由在 ABC中 有tanA tanB tanC tanAtanBtanC 可设x tanA y tanB z tanC A B C 典型例题 1 求函数y 2sec2x cot4x的最值 解 y 2 1 tan2x cot4x 2 tan2x tan2x cot4x 2 3 5 仅当tan2x cot4x 即tanx 1时取等号 y无最大值 解 由已知y
3、 0 只需考察y2的最值 y无最小值 3 已知函数f x cos4x 2cosxsinx sin4x 1 求f x 的最小正周期 解 1 f x cos4x 2cosxsinx sin4x cos2x sin2x cos2x sin2x sin2x cos2x sin2x f x 的最小正周期为 解 y 2sinxcosx 8 sinx cosx 19 4 设0 x 求函数y sin2x 8 sinx cosx 19的最大值和最小值 0 x 当t 1 即x 时 y取最大值27 因此由f x 的值域为 5 1 可得 解得 a 2 b 5或a 2 b 1 对于任意的t1 t2 1 3 且t1 t2
4、有 0 即f t1 f t2 0 f t1 f t2 f t 在 1 3 上是增函数 当t 1时 ymin f t min 0 此时 sinx 1 x的集合为 讨论如下 8 若方程4sin2x cos4x a 0恒有实数解 求a的取值范围 解法1从方程有解的角度考虑 原方程即为 2cos22x 2cos2x 3 a 0 令t cos2x 则 t 1 且 2t2 2t 3 a 0恒有解 解法2从二次函数图象及性质考虑 问题转化为 a为何值时 f t 2t2 2t a 3的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在 1 1 内 8 若方程4sin2x cos4x a 0恒有实数解 求a的取值范围 解法3正
5、难则反 从反面考虑 若方程f t 2t2 2t a 3 0的两根均在 1 1 之外 则 f 1 0 解得 a 1 解法4从分离参数的角度考虑 原方程即为 a 2cos22x 2cos2x 3 cos2x 1 课后练习 f x 的最小正周期为 解 由已知当a 0时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x 2 函数y acosx b a b为常数 若 7 y 1 求bsinx acosx的最大值 解得a 4 b 3 此时 当a 0时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x 解得a 4 b 3 此时 当a 0时 不合题意 综上所述 bsinx acosx的
6、最大值为5 解 y 1 sin2x 2asinx a sinx a 2 a2 a 1 令sinx t 则y t a 2 a2 a 1 1 t 1 若 a1 则当t 1时 y有最大值 3 求函数y cos2x 2asinx a a为定值 的最大值M M 1 a 2 a2 a 1 a 若 1 a 1 即 1 a 1 则当t a时 y有最大值 M a a 2 a2 a 1 a2 a 1 若 a 1 即a 1 则当t 1时 y有最大值 M 1 a 2 a2 a 1 3a 4 当a 0时 求函数f x sinx a cosx a 的最大值 最小值以及相应的x的取值 解 f x sinxcosx a si
7、nx cosx a2 a为常数 只需求y t a 2的最值 解法1由已知0 sin 1且1 sin2 2msin 2m 2 0恒成立 令t sin 则0 t 1且1 t2 2mt 2m 2 0恒成立 即f t t2 2mt 2m 1 t m 2 m2 2m 1 0对t 0 1 恒成立 故可讨论如下 1 若m0 即2m 1 0 2 若0 m 1 则f m 0 即 m2 2m 1 0 亦即m2 2m 1 0 0 m 1 3 若m 1 则f 1 0 即0 m 2 0 m R m 1 解法2题中不等式即为2 1 sin m 1 sin2 0 sin 1 当sin 1时 不等式显然恒成立 此时m R 当
8、0 sin 1时 令t 1 sin 则t 0 1 且 6 设0 P sin2 sin cos 1 若t sin cos 用含t的式子表示P 2 确定P的取值范围 并求出P的最大值和最小值 解 1 t sin cos t2 1 2sin cos 1 sin2 sin2 1 t2 P 1 t2 t 0 即P t2 t 1 P t2 t 1的图象是开口向下的抛物线 其对称轴为 当t 1时 P取最小值 1 由题设3 a 4 a 1 令t sinx 则0 t 1 故有 要求f x 的最大值M a 可分情况讨论如下 g t 在 0 1 上先增后减 g t 在 0 1 上为减函数 g t 在 0 1 上为增函数 解得a 3或 2 均不合题意 舍去
