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1、高考前三题 3 数列及其应用 典题选讲 1 已知数列 an 中 a1 1 a2k a2k 1 1 k a2k 1 a2k 3k 其中k 1 2 3 1 求a3 a5 2 求 an 的通项公式 解 I a2 a1 1 1 0 a3 a2 31 3 a4 a3 1 2 4 a5 a4 32 13 所以 a3 3 a5 13 II a2k 1 a2k 3k a2k 1 1 k 3k 所以 a2k 1 a2k 1 3k 1 k 同理a2k 1 a2k 3 3k 1 1 k 1 a3 a1 3 1 所以 a2k 1 a2k 1 a2k 1 a2k 3 a3 a1 3k 3k 1 3 1 k 1 k 1
2、1 由此得a2k 1 a1 3k 1 1 k 1 a2k a2k 1 1 k 1 k 1 1 k 1 当n为偶数时 于是a2k 1 1 1 k an 的通项公式为 当n为奇数时 an 2 等比数列 xn 各项均为正值 yn 2logaxn a 0且a 1 n N 已知y4 17 y7 11 1 求证 数列 yn 是等差数列 2 数列 yn 的前多少项的和为最大 最大值为多少 3 当n 12时 要使xn 2恒成立 求a的取值范围 解 1 设等比数列 xn 的公比为q 且q 0 yn 2logaxn yn 1 yn 2loga 2logaq yn 为等差数列 2 设 yn 的公差为d 由y4 17
3、 y17 11 可求得y1 23 d 2 yn 25 2n 可解得 n N n 12 yn 的前12项之和最大 最大值为S12 144 令 3 由 2 知 当n 12时 yn 0成立 yn 2logax xn a 当a 1 且n 12时 有xn a a 这与题意不符 故0 a 1 由0 a 1 且n 12 有xn a a 2 故所求a的取值范围为0 a 1 3 某企业2003年的纯利润为500万元 因设备老化等原因 企业的生产能力将逐年下降 若不能进行技术改造 预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元 今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造 预测在未扣除技术改造资金的情况下 第n年
4、 今年为第一年 的利润为500 1 万元 n为正整数 设从今年起的前n年 若该企业不进行 技术改造 技术改造后的累计纯利润为Bn万元 须扣除技术改造资金 求An Bn的表达式 的累计纯利润为An万元 进行 依上述预测 从今年起该企业至少经过多少年 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 解 依题设 An 500 20 500 40 500 20n 490n 10n2 Bn 500 1 1 1 100 600 500n Bn An 500n 10n2 10n 100 10 n n 1 10 因为函数y x x 1 10在 0 上为增函数 当1 n 3时 n n 1 10 12 10 0 10 20 仅当n 4时 Bn An 答 至少经过4年 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 100 490n 10n2 当n 4时 n n 1 10 0
